第三章 §3.2 3.2.1 第2课时 双曲线及其标准方程的应用 课件（共66张PPT）

(共66张PPT)
第2课时　双曲线及其标准方程的应用
第三章　 3.2.1　双曲线及其标准方程
1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.
2.双曲线在实际生活中的应用.
学习目标
双曲线是我们在平时生活中经常见到的图形，这节课研究双曲线在实际生活中的应用.
导语
随堂演练
课时对点练
一、双曲线定义的应用
二、双曲线方程的设法
三、双曲线的实际生活应用
内容索引
一、双曲线定义的应用
√
解析　设点C(1,4)，点B在圆上，则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，
设A′为双曲线右焦点，
所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10.
反思感悟　求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决.
√
解析　设F1是双曲线的左焦点，
根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a，
所以|PF|＝|PF1|－2a，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，
当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即图形中点P在P′处取得最小值，
二、双曲线方程的设法
解　如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8， ①
又m2＋n2＝(2c)2＝80， ②
由①②得m·n＝8，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴λ＝5或λ＝30(舍去).
三、双曲线的实际生活应用
例3　神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角.
解　设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，
以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
反思感悟　利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系.
(2)求出双曲线的标准方程.
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
跟踪训练3　如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的
距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是______________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________ km.
解析　如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
则|DA|－|DB|＝2，
根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.
故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
当A，M，C共线时等号成立.
1.知识清单：
(1)双曲线定义的应用.
(2)双曲线方程的求法.
(3)双曲线在实际生活中的应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错.
课堂小结
随堂演练
1.如图，双曲线C： 的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是
A.3 B.4 C.6 D.8
√
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解析　如图所示，设双曲线的右焦点为F2，
连接P2F2，因为双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，
根据双曲线的对称性，可得|P1F1|＝|P2F2|，
所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
2.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是
A.双曲线的一支 B.双曲线
C.椭圆 D.抛物线
√
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解析　由已知可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|，
根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点双曲线上，
则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线.
解析　设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
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设双曲线的右焦点为M，则M(4,0)，
由双曲线的定义可得|PF|－|PM|＝4，
则|PF|＝4＋|PM|，
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当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立.
因此，|PF|＋|PA|的最小值为9.
课时对点练
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基础巩固
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解析　方法一　由题意得椭圆的焦点为(0,3)，(0，－3)，
所以双曲线的焦点为(0,3)，(0，－3)，
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解得λ＝－7(舍去)或λ＝－20.
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解析　由题意，根据双曲线的定义及|AF1|＝2|AF2|＝4，
可得|AF1|－|AF2|＝2＝2a，解得a＝1，
因为∠F1AF2＝90°，
所以|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2＝20，
即(2c)2＝20，即c2＝5，
又b2＋a2＝c2，则b2＝c2－a2＝4，
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解析　∵F1(－5,0)，F2(5,0)，
∴c＝5，|F1F2|＝10，
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∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，
由双曲线的定义可知，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，
∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.
4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－ ，0)，点P在双曲线上，
且线段PF1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是
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解析　由已知条件，得焦点在x轴上，
∵线段PF1的中点的坐标为(0,2)，
由①②解得a2＝1，b2＝4，
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∴|MF1|2＋|MF2|2＝40.
则(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36.
∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，即a＝3.
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6.已知点P在曲线C1： 的右支上，点Q在曲线C2：(x＋5)2＋y2＝1上，
点R在曲线C3：(x－5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是
A.6 B.8 C.10 D.12
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而这两个焦点恰好是两圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝1的圆心，
且两圆的半径分别是r2＝1，r3＝1，
所以|PQ|max＝|PF1|＋1，|PR|min＝|PF2|－1，
所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PF1|＋1)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋2＝8＋2＝10.
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(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
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8.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，且|PF1|
＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝_____.
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又|PF1|＝2|PF2|，
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则c2＝16＋9＝25，
∴c＝5.
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依题意知b2＝25－a2，
化简得4a4－129a2＋125＝0，
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∴a2＝1，b2＝24，
10.2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，
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若PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.
解　矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，
第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近，
依题意知，界线是第三类点的轨迹，
设M为界线上的任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50，
∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线
为y轴，建立平面直角坐标系，
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综合运用
解析　设点P在双曲线的右支上，
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|PF1|·|PF2|＝2.
则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，
12.双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C：
的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是
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|PF1|＝6＋8＝14，|F1F2|＝10，
解析　如图所示，设圆心为C，双曲线右焦点为A′(3,0)，
且|PB|≥|PC|－1，|PA|＝|PA′|＋4，
所以|PB|＋|PA|≥|PC|＋|PA′|＋3≥|A′C|＋3＝8，
当且仅当A′，B，C三点共线时取得等号.
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14.一块面积为12公顷的三角形形状的农场，如图所示，在△PEF中，已知tan∠PEF＝ ，tan∠PFE＝－2，试建立适当的直角坐标系，求出分别
以E，F为左、右焦点且过点P的双曲线方程为____________.
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解析　以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
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焦点为E(－c，0)，F(c，0).
设∠PFx＝α，则tan α＝tan(π－∠EFP)＝2，
和y＝2(x－c). ②
在△EFP中，|EF|＝2c，EF上的高为点P的纵坐标，
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∴c＝3，即P点坐标为(5,4).
又b2＝c2－a2＝4，
出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C： (m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为_________.
15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点
拓广探究
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2k(a－m)
解析　光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，
|BF2|＝2m＋|BF1|，
|BF1|＋|BA|＋|AF1|
＝|BF2|－2m＋|BA|＋|AF1|＝|AF2|＋|AF1|－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m).
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所以1即tan θ的取值范围为(1,4).
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