第三章 §3.2 3.2.2 第1课时　双曲线的简单几何性质 课件（共65张PPT）

(共65张PPT)
第1课时　双曲线的简单几何性质
第三章　 3.2.2　双曲线的简单几何性质
1.掌握双曲线的简单几何性质.
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
学习目标
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质.
导语
随堂演练
课时对点练
一、双曲线的几何性质
二、由双曲线的几何性质求标准方程
三、求双曲线的离心率
内容索引
一、双曲线的几何性质
提示　1.范围
所以x≥a 或x≤－a; y∈R.
2.对称性
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.
3.顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .
顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个.
(2)如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
方程为x2－y2＝m(m≠0).
4.渐近线
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图.
5.离心率
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 _____________________
____________________
图形
知识梳理
性质 范围 ________________ _______________ 对称性 对称轴： ；对称中心：_____ 顶点坐标 ____________________ ____________________
渐近线 ___________
____________
离心率 e＝ ，e∈ ，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0) x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
坐标轴
原点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
(1，＋∞)
a2＋b2
注意点：
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大.
(2)等轴双曲线的离心率为 渐近线方程为y＝±x.
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.
(4)焦点到渐近线的距离为b.
例1　(教材P124例3改编)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
延伸探究　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
跟踪训练1　求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5；
二、由双曲线的几何性质求标准方程
例2　求满足下列条件的双曲线的方程：
①②联立，无解.
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
反思感悟　由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.
(2)巧设双曲线方程的技巧
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
跟踪训练2　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
解　当所求双曲线的焦点在x轴上时，
当所求双曲线的焦点在y轴上时，
三、求双曲线的离心率
√
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
反思感悟　求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝ 得解.
(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
所以c2－2ac－a2＝0，
即e2－2e－1＝0，
1.知识清单：
(1)双曲线的几何性质.
(2)等轴双曲线.
(3)双曲线的离心率.
2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法.
3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
课堂小结
随堂演练
1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则
A.实轴长为 B.虚轴长为4
C.焦距为6 D.离心率为
√
1
2
3
4
√
√
2.双曲线 的左焦点与右顶点之间的距离等于
A.6 B.8 C.9 D.10
√
1
2
3
4
解析　由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，
所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是
A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
√
1
2
3
4
解析　令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
1
2
3
4
1
2
3
4
课时对点练
√
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为
√
解析　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.设双曲线 (a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为
A.4 B.3 C.2 D.1
√
解析　由双曲线的几何性质可得，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
|PF|的最小值为c－a＝2，D正确.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒
数，则该双曲线的方程为____________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
a2＝64，c2＝64－16＝48，
从而a′＝6，b′2＝12，
9.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
解　由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
解　设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
于是双曲线的离心率为2.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
又2c＝10，∴c＝5.
由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.若双曲线与椭圆 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝
－x，则双曲线的方程为
A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160
C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24
√
解析　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，
则PF1⊥TF2，|TF2|＝c，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
32
所以|PQ|＝12.双曲线图象如图.
|PF|－|AP|＝2a＝4， ①
|QF|－|QA|＝2a＝4， ②
①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，
∴周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
△APF1的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，
可得|PA|＋|PF1|的最小值不小于9，
又F2为双曲线的左焦点，可得|PF1|＝|PF2|＋2a，
|PA|＋|PF1|＝|PA|＋|PF2|＋2a ，
当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值5＋2a，
所以5＋2a≥9，即a≥2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即|PF2|＝2a时取等号，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，