第三章 §3.2 3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用 课件（共66张PPT）

(共66张PPT)
第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用
第三章　 3.2.2　双曲线的简单几何性质
1.理解直线与双曲线的位置关系.
2.会求解有关弦长问题.
学习目标
上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.
导语
随堂演练
课时对点练
一、双曲线定义的应用
二、直线与双曲线的位置关系
三、弦长公式及中点弦问题
内容索引
一、双曲线定义的应用
问题1　思考双曲线例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？
提示　当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值大于1时，点M的轨迹是双曲线.
知识梳理
二、直线与双曲线的位置关系
问题2　类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？
提示　有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况.
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式.
(1)Δ>0时，直线与双曲线有 不同的公共点.
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有 公共点.
(3)Δ<0时，直线与双曲线 公共点.
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有 公共点.
注意点：
直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.
两个
一个
知识梳理
没有
一个
例1　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0. (*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
此时方程(*)有两个不同的实数解，
即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
延伸探究　若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0. (*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
此时方程(*)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，
故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，
有且只有一个公共点.
直线l与双曲线有且只有一个公共点.
反思感悟　(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
解　(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0时，k＝±2，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
三、弦长公式及中点弦问题
例2　已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为
√
∴右焦点为F(2,0)，
根据题意易得过F的直线斜率存在，
设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
化简得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，
∵线段AB中点的横坐标为4，
则(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB＝82－4×10＝24，
反思感悟　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
解　方法一　设被点B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，
设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵点B(1,1)是弦的中点，
故双曲线上不存在被点B(1,1)所平分的弦.
方法二　设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交，
故双曲线上不存在被点B平分的弦.
1.知识清单：
(1)双曲线的第二定义.
(2)判断直线与双曲线交点个数.
(3)弦长公式.
2.方法归纳：定义法，数形结合.
3.常见误区：
直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的位置关系.代数计算中的运算失误.
课堂小结
随堂演练
A.1 B.2 C.1或2 D.0
√
1
2
3
4
所以它与双曲线只有1个交点.
2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为
A.(－2,2) B.[－2,2)
C.(－2,2] D.[－2,2]
√
1
2
3
4
解析　易知k≠±2，
将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ>0可得－23.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是
A.(1,2) B.(－2，－1)
C.(－1，－2) D.(2,1)
√
1
2
3
4
解析　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，
1
2
3
4
课时对点练
1.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
解析　直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；
直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点.
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.若直线x＝a与双曲线 －y2＝1有两个交点，则a的值可以是
A.4 B.2 C.1 D.－2
√
所以若x＝a与双曲线有两个交点，
则a>2或a<－2，故只有A符合题意.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设F1(－c，0)，A(－c，y0)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3x＋4y－5＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　易知所求直线的斜率存在，设为k，
则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
消去y得关于x的一元二次方程
(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)，
∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设B为双曲线的右焦点，如图所示.
∵四边形OABC为正方形且边长为2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
(1)直线AB的方程；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当k＝1时，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)△OAB的面积(O为坐标原点).
解　由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2(2,0)，
又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.已知双曲线E的中心在原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又因为a2＋b2＝c2＝9，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　设双曲线的半焦距为c，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又A1(－a，0)，A2(a，0)，
因为A1B⊥A2C，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10
∴c2＝a2＋b2＝3a2＝3，
∴a2＝1，b2＝2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设△AF1F2的内切圆圆心为I1，
△BF1F2的内切圆圆心为I2，边|AF1|，|AF2|，|F1F2|上的切点分别为M，N，E，
易知I1，E的横坐标相等，
则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，
由|AF1|－|AF2|＝2a，即|AM|＋|MF1|－(|AN|＋|NF2|)＝2a，
得|MF1|－|NF2|＝2a，即|F1E|－|F2E|＝2a，
记I1的横坐标为x0，则E(x0，0)，于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a，
同理圆心I2的横坐标也为a，则有I1I2⊥x轴，
设直线l的倾斜角为θ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)求双曲线的方程；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，∴b2＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16