第三章 §3.3 3.3.1抛物线及其标准方程 课件（共62张PPT）

(共62张PPT)
3.3.1　抛物线及其标准方程
第三章　 §3.3　抛物线
1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.
2.会求简单的抛物线方程.
学习目标
通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当01时，点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当k＝1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？
导语
随堂演练
课时对点练
一、抛物线的定义
二、抛物线定义的应用
三、抛物线的实际应用问题
内容索引
一、抛物线的定义
问题1　利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
提示　点M随着点H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线.
2.焦点：定点 .
3.准线：定直线 .
注意点：
(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).
(2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
距离相等
F
知识梳理
l
问题2　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
提示　我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.
设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}.
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0).
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_____________ _________
__________
_______________ ________
__________
y2＝2px(p>0)
知识梳理
y2＝－2px(p>0)
_____________ _________
___________
_______________ ________
______
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
注意点：
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上.
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.
例1　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)经过点(－3，－1)；
解　因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.
解　对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
反思感悟　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数.
跟踪训练1　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝_____，准线方程为________.
2
x＝－1
解析　因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为________
____________.
解析　设方程为x2＝2my(m≠0)，
由焦点到准线的距离为5，
知|m|＝5，m＝±5，
所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝
－10y.
x2＝10y
和x2＝－10y
二、抛物线定义的应用
例2　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝
则x0等于
A.1 B.2 C.4 D.8
√
∴x0＝1.
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.
延伸探究
1.若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值.
解　将x＝3代入y2＝2x，
所以点A在抛物线内部.
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
即所求最小值为1.
反思感悟　 抛物线定义的应用
实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
跟踪训练2　(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为_____.
解析　把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，
即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0).
故点A到焦点的距离为4.
4
(2)设点A的坐标为(1， )，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解析　由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，
所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.
三、抛物线的实际应用问题
例3　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，
建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
反思感悟　涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
跟踪训练3　某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为
√
解析　如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线为x2＝－2py(p>0)，
1.知识清单：
(1)抛物线的定义.
(2)抛物线的标准方程的四种形式.
(3)抛物线定义的应用.
2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归.
3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
课堂小结
随堂演练
由此可知准线方程为y＝2.
√
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2.已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则该抛物线的焦点坐标为
√
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2
3
4
解析　由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，
∴右顶点的坐标为(4,0).
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
1
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y2＝16x
∴抛物线的标准方程为y2＝16x.
4.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为____________________.
(－9,6)或(－9，－6)
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解析　由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，
设点M到准线的距离为d，
得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，
故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6).
课时对点练
1.准线与x轴垂直，且经过点(1，－ )的抛物线的标准方程是
A.y2＝－2x B.y2＝2x
C.x2＝2y D.x2＝－2y
√
解析　由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p> 0)，
则(－ )2＝2p，
解得p＝1，因此抛物线的标准方程为y2＝2x.
基础巩固
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2.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为
A.y2＝x B.x2＝8y
C.x2＝－8y D.y2＝－8x
√
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√
解析　若抛物线的焦点在x轴上，
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以(－2)2＝2p×4，
解得p＝ ，
所以抛物线的方程为y2＝x.
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
又因为抛物线经过点P(4，－2)，
所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.
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3.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为
A.圆 B.椭圆
C.直线 D.抛物线
√
解析　由题意可知，
动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义，
故应选D.
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4.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线 上，则抛物线的方程为
A.y2＝8x B.y2＝4x
C.y2＝2x D.y2＝±8x
√
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即为(－2,0)或(2,0)，
所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
5.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
√
解析　易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，
其中F(1,0)为抛物线y2＝4x的焦点.由图可知，
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6.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点
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A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m
√
解析　若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，
设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1,0.25) ，
代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，p＝2，
所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0,1).
所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
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∵抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，
该双曲线的一个焦点在抛物线y2＝8x的准线上，
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∴a2＋b2＝4， ②
由①②，得a2＝3，b2＝1，
8.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－ 那么|PF|＝___.
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解析　如图，∠AFE＝60°，
因为F(2,0)，
所以E(－2,0)，
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故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.
9.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
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∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
解　设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
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又(－3)2＝2pm，
∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
10.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程.
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解　不妨设点A在第一象限且A(m，n)，
则B(－m，n)，可得m2＝2pn，
AB⊥y轴，且OA⊥OB，
即△AOB为等腰直角三角形，
则OA的斜率为1，即m＝n，
解得m＝n＝4，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
√
解析　由题意知，A为抛物线的焦点.
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综合运用
则|PA|＋|PB|＝d＋|PB|，d＋|PB|的最小值为B到准线的距离，
当PB垂直于准线时取最小值.
√
解析　过点Q作QQ′⊥l于点Q′，如图.
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∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，
又焦点F到准线l的距离为4，
∴|QF|＝|QQ′|＝3.
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解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0).
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即x1＋x2＋x3＝3，
14.对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________.(要求填写适合条件的序号)
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②④
解析　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
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若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，
则k＝－2，此时存在，
所以④满足.
15.已知P为抛物线x2＝12y上一个动点，Q为圆(x－4)2＋y2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是
A.4 B.3
C.2 D.1
√
拓广探究
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解析　由抛物线的方程可知焦点F(0,3)，则准线方程为y＝－3，
如图，过点P作x轴的垂线，垂足为点A，延长PA交准线于点B，设圆(x－4)2＋y2＝1的圆心为点C.
根据抛物线的定义可得|PA|＝|PB|－|AB|＝|PF|－|AB|，
∴|PA|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－|AB|＝|PF|＋|PQ|－3，
∴当|PA|＋|PQ|最小时，则|PF|＋|PQ|最小，即F，P，Q(Q位于C，P之间)三点共线时，|PA|＋|PQ|最小，
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∴(|PA|＋|PQ|)min＝(|PF|＋|PQ|)min－3＝4－3＝1.
16.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
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解　依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值.
如图，连接AF，交抛物线于点P，
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值.
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过点B作BQ垂直于准线于点Q，交抛物线于点P1(如图).
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.