第三章 §3.3 3.3.2 第1课时　抛物线的简单几何性质 课件（共53张PPT）

(共53张PPT)
第1课时　抛物线的简单几何性质
第三章　 3.3.2　抛物线的简单几何性质
1.掌握抛物线的几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
学习目标
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
在上一节中，我们已经学习了抛物线的定义及其标准方程，这一节我们利用方程研究抛物线的几何性质.
导语
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
随堂演练
课时对点练
一、抛物线的几何性质
二、抛物线的几何性质的应用
内容索引
一、抛物线的几何性质
问题1　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，
你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？
提示　1.范围
当x>0时，抛物线y2 ＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线.
2.对称性
观察图象，不难发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，
我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0,0).
4.离心率
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.用e表示，e＝1.
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 轴 轴 轴 轴
x
x
知识梳理
y
y
1
焦点坐标 F______ F_________
准线方程 x＝_______ x＝____ y＝______
y＝____
顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝___ 注意点：
只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
例1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
反思感悟　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1　边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是
√
解析　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
二、抛物线的几何性质的应用
例2　(1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长.
解　如图所示，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又|OA|＝|OB|，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称，
由此得∠AOx＝30°，
(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.
解　如图，设点A(x0，y0)，
由题意可知点B(x0，－y0)，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
反思感悟　利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点弦：解决焦点弦问题.
跟踪训练2　(1)(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0,2)，使得 则p的值可以为
A.2 B.4 C.6 D.8
√
√
解析　由题意可得，以MF为直径的圆过点(0,2)，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，
据此可知该圆与y轴相切于点A(0,2)，
故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.
(2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是______.
解析　由抛物线方程可知F(1,0)，准线l的方程为x＝－1.
如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，
在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，
1.知识清单：
(1)抛物线的几何性质.
(2)抛物线的几何性质的应用.
2.方法归纳：待定系数法.
3.常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误.
课堂小结
随堂演练
1.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是
A.开口向上，焦点为(0,1)
B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为(1,0)
D.开口向右，焦点为
√
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2
3
4
解析　由抛物线y＝4x2，
2. (多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
√
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4
√
解析　设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
3.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为
√
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解析　设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，
由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，
4.已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝______.
0
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4
解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，
故y1＝－y2，
即y1＋y2＝0.
课时对点练
1.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝ 则抛物线的焦点到直线AB的距离为
√
解析　由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，
基础巩固
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2.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是
A.y＝3x2或y＝－3x2 B.y＝3x2
C.y2＝－9x或y＝3x2 D.y＝－3x2或y2＝9x
√
解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，
由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).
把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，
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4.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为 则点P到抛物线的焦点F的距离为
A.4 B.5 C.6 D.7
√
解析　由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
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∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.
解析　曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9，
其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，
5.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为
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6.(多选)点M(1,1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，则a的值可以为
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因为点M(1,1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，
7.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点
为F，则直线AF的斜率为______.
解析　∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，
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∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0).
8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝_____.
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解析　如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，
∵M为FN的中点，|MM′|＝1，
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∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.
9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝ ，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程.
解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
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所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.
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解　设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
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∵|AF|＋|BF|＝8，
∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，
∴|QA|＝|QB|，
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∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
√
∴点A的坐标为(1，±2).
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综合运用
12.已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|＝2，∠PFO＝ ，则抛物线C的方程为
A.y2＝6x B.y2＝2x
C.y2＝x D.y2＝4x
√
解析　过P向x轴作垂线，设垂足为Q，
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将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程为y2＝6x.
13.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为 则抛物线方程为
A.y2＝6x B.y2＝8x
C.y2＝16x D.y2＝x
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解析　设M(x1，y1)，
解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.
14.抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线 相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝_____.
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解得p2＝36，p＝6.
15.如图，已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，则
|PA|＋|PB|的最小值为________.
拓广探究
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解析　抛物线的准线方程是x＝－1，
又根据抛物线的几何性质知，
抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，
所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是点F到直线x－y＋4＝0的距离，
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16.已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
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解　抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
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解　如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，
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因为F(2,0)，
所以M(3,0).
故设A(3，m)，
代入y2＝8x得m2＝24，