第三章 §3.3 3.3.2 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 课件（共75张PPT）

(共75张PPT)
第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用
第三章　 3.3.2　抛物线的简单几何性质
1.了解抛物线的简单应用.
2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题.
学习目标
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、直线与抛物线的位置关系
二、弦长问题
三、抛物线的轨迹问题
内容索引
一、直线与抛物线的位置关系
问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.
提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点.
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当 时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.
(2)若k＝0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
Δ>0
Δ>0
知识梳理
Δ<0
一个
注意点：
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.
例1　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. (*)
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点.
反思感悟　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
跟踪训练1　已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析　由题意知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，
得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k<0或0[－1,1]
二、弦长问题
问题2　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？
提示　1.利用弦长公式.
2.根据抛物线的定义|AB|＝x1＋x2＋p.
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ .
x1＋x2＋p
知识梳理
注意点：
(2)y1·y2＝－p2.
所以直线AB的斜率存在，设为k，
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0
或2x＋y－p＝0.
延伸探究
若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离.
反思感悟　求弦长问题的方法
(2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
跟踪训练2　已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点.
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
(2)若OA⊥OB，求实数m的值.
解　因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0(舍去).
所以m＝－8，经检验符合题意.
三、抛物线的轨迹问题
(1)求点P的轨迹方程；
解　过点P作x轴的垂线且垂足为点N，
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
解　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
反思感悟　求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程.
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程.
解　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离.
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且 ＝2，p＝4，
故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x.
跟踪训练3　若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.
1.知识清单：
(1)直线和抛物线的位置关系.
(2)抛物线中弦长问题.
(3)抛物线的轨迹问题.
2.方法归纳：直接法、定义法、代数法.
3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误.
课堂小结
随堂演练
1.动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是
A.椭圆 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.抛物线
√
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解析　依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，
设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，
所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.
2.已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
√
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解析　当直线l与y轴平行或重合时，
直线l与抛物线x2＝2py(p>0)有一个交点，
此时直线l与抛物线是相交的.当直线l的斜率存在，
直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切.
3.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_______.
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(4,2)
得x2－8x＋4＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2).
4.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝_______.
0或1
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解析　当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
∴k＝1.
综上，k＝0或1.
课时对点练
1.过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|等于
A.16 B.12 C.10 D.8
√
解析　由题意得p＝6，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋6＝12.
基础巩固
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2.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆心C的轨迹为
A.抛物线 B.双曲线
C.椭圆 D.圆
√
解析　设圆C的半径为r，
则圆心C到直线y＝0的距离为r，
由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，
所以圆心C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，
故圆心C的轨迹是抛物线.
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3.直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为
√
消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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4.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是
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解析　方法一　设与抛物线相切的直线，
且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0.
与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0，
由题意知，Δ＝16＋12m＝0，
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方法二　设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，
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5.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且|OE|＝ 则p等于
A.2 B.3 C.6 D.12
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6.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为
A.2 B.4 C. D.8
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＝2p2＝16，
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7.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若
|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为____.
解析　抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1，p＝2.
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解析　设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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解得x0＝3(负值舍去).
9.过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A，B两点.求证：
(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；
证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)，
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∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，
∵y1≠0，y2≠0，
∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
(2)直线AB过定点.
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证明　当直线AB的斜率存在时，
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∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
∴AB过定点(2p,0).
当直线AB的斜率不存在时，则kOA＝1，
∴直线OA：y＝x，与抛物线方程联立，得x2＝2px，
∴A(2p,2p)，故直线AB过定点(2p,0)，
综上，AB过定点(2p,0).
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10.如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.
(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
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解　由题意知，中点弦所在的直线斜率存在.
设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴所求直线方程为2x－y－1＝0.
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.
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解　依题意知，直线m，n的斜率存在，
设直线m的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，
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同理，|CD|＝4k2＋4，
当且仅当k＝±1时取得最小值.
11.设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为
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综合运用
得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解，
∴直线3x＋4y＋12＝0与抛物线相离.
又d1＋d2＝d1＋1＋d2－1，
而d1＋1为P到准线x＝－1的距离，
故d1＋1为P到焦点F(1,0)的距离，
从而d1＋1＋d2的最小值为F到直线3x＋4y＋12＝0的距离，
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故d1＋d2的最小值为2.
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解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
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∵点M在x轴的上方，
∵MN⊥l，
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|MF|＝|MN|＝3＋1＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形.
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解析　设AB的方程为x＝my＋4，
代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
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14.已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若∠AMB＝90°，则k＝_____.
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解析　由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1,0)，
所以直线AB的方程为y＝k(x－1)，
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得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为∠AMB＝90°，
所以 ＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]
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＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2
解得k＝2.
经检验，k＝2符合题意.
15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2＝2px(p>0)，如图，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿
拓广探究
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y2＝3x
平行于x轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为__________.
当直线PQ的斜率不存在时，易得|PQ|＝2p；
当直线PQ的斜率存在时，
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整理得4k2x2－(4k2p＋8p)x＋k2p2＝0，
综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p＝3，
所以抛物线的方程为y2＝3x.
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16.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.
(1)求抛物线C的方程；
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代入y2＝2px(p>0)，
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设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，
即3p＋p＝8，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
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解　设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，
得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵直线l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，解得b＝1.
∴直线l的方程为y＝x＋1.
由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1.
设P(m，m＋1)，
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∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
1
2
3
4
5
6
7
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9
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