第一章 §1.1 1.1.2空间向量的数量积运算 课件（共59张PPT）

(共59张PPT)
1.1.2　空间向量的数量积运算
第一章　§1.1　空间向量及其运算
1.了解空间向量的夹角.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求
空间两点间的距离.
学习目标
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
导语
随堂演练
课时对点练
一、空间向量的夹角
二、空间向量的数量积运算
三、利用空间向量数量积的性质求模长
内容索引
一、空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作
则 叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围 ________________
向量垂直 如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作a b
知识梳理
∠AOB
⊥
0≤〈a，b〉≤π
例1　(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
解析　显然〈a，b〉＝0 a∥b，
但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，
即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b 〈a，b〉＝0.
故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.
解　连接BD(图略)，
则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，
AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
反思感悟　(1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.
(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
A.30° B.60° C.150° D.120°
√
二、空间向量的数量积运算
1.(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝ .零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝ .
(2)运算律
|a||b|·cos〈a，b〉
0
知识梳理
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝ ，λ∈R
交换律 a·b＝____
分配律 a·(b＋c)＝________
λ(a·b)
b·a
a·b＋a·c
2.向量的投影
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉 向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②).
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量 ，向量 称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a， 的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.
例2　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
反思感悟　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
跟踪训练2　已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为______.
解析　∵a＋b＋c＝0，
∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
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三、利用空间向量数量积的性质求模长
问题　类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质.
提示　(1)若a，b为非零向量，则a⊥b a·b＝0；
(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立).
例3　如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
解　∵CA⊥AB，BD⊥AB，
反思感悟　用数量积求两点间距离的步骤
(1)将两点间的连线用向量表示；
(2)用其他向量表示此向量；
(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|.
跟踪训练3　已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为
√
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影.
(2)空间向量数量积、性质及运算律.
2.方法归纳：化归转化.
3.常见误区：
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
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√
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3.若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a－b|＝____.
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解析　|a－b|2＝(a－b)2
＝a2＋b2－2a·b＝1.
∴|a－b|＝1.
60°　 1
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解析　方法一　连接A1D(图略)，
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即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
方法二　根据向量的线性运算可得
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课时对点练
1.在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点， 的夹角为
A.30° B.60° C.120° D.150°
√
基础巩固
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2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于
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3.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝ 则两直线的夹角为
A.30° B.60° C.120° D.150°
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则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
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5.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于
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6.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是
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7.已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝_____.
22
解析　|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，
∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，
故|a－b|＝22.
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8.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝_____.
60°
解析　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，
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所以〈a，b〉＝60°.
9.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
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则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
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10.如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离.
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11.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是
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综合运用
12.如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝_____.
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解析　∵OA，OB，OC两两垂直，
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14.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，
的取值范围是______.
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[0,1]
A.8 B.4 C.2 D.1
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拓广探究
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∵AB⊥平面BP2P8P6，
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16.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离.
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解　在平行四边形ABCD中，
∵∠ACD＝90°，
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在空间四边形ABCD中，
∵AB与CD成60°角，
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此时B，D两点间的距离为2，