第一章 §1.2 第1课时　空间向量基本定理 课件（共55张PPT）

(共55张PPT)
第1课时　空间向量基本定理
第一章　 §1.2　空间向量基本定理
1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.
2.掌握空间向量的正交分解.
学习目标
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a，b，c表示呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、空间向量基本定理
二、空间向量的正交分解
三、用基底表示空间向量
内容索引
一、空间向量基本定理
问题1　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝ ，p 能否用i，j，k表示呢？
问题2　你能证明唯一性吗？
提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.
1.空间向量的基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在 的有序实数组(x，y，z)，使得 .
2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做基向量.
唯一
p＝xa＋yb＋zc
知识梳理
基底
注意点：
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
反思感悟　基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
跟踪训练1　(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有
A.{a，b，x} B.{x，y，z}
C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c}
√
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可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.
二、空间向量的正交分解
1.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
2.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使 .像这样，把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量正交分解.
两两垂直
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知识梳理
a＝xi＋yj＋zk
两两垂直
三、用基底表示空间向量
反思感悟　用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律；
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
解　如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
1.知识清单：
(1)空间的基底.
(2)空间向量基本定理.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：
(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件.
(2)运算错误，利用基底表示向量时计算要细心.
课堂小结
随堂演练
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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解析　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，
否则不能当基底，
当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.
因此p q，q p.
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3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，
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课时对点练
1.(多选)若{a，b，c}是空间一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是
A.a,2b,3c B.a＋b，b＋c，c＋a
C.a＋b＋c，b＋c，c D.a＋2b,2b＋3c,3a－9c
√
解析　因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；
对于D，a＋2b,2b＋3c,3a－9c满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，
所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底.
基础巩固
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2.(多选)给出下列命题，其中是真命题的是
A.若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}
也可以作为空间的一个基底
B.已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.已知A，B，M，N是空间中的四点， 不能构成空间的一
个基底，则A，B，M，N四点共面
D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，
b，c}构成空间的一个基底
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解析　A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝
∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A是真命题；
B中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，显然B是真命题；
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D中，因为a，b，c共面，所以{a，b，c}不能构成基底，故D错误.
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4.已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则
A.a，p，q是空间的一组基底
B.b，p，q是空间的一组基底
C.c，p，q是空间的一组基底
D.p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底
√
解析　假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，
得c＝(k1＋k2)a＋(k1－k2)b，这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，
故c，p，q是空间的一组基底，故选C.
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解析　取PC的中点E，连接NE，
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9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.
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综合运用
12.若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝____.
解析　由已知得，d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.
又d＝e1＋2e2＋3e3，
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故有α＋β＋γ＝3.
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14.如图所示，在正方体OABC－O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心， ＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝____.
解析　易知△ACO1为正三角形，连接OB，设AC，BO相交于点M，连接O1M，如图所示，
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可得x＋y＋z＝1.
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拓广探究
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解析　如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，
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解　连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).
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∵点D，E，F，M共面，
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