第一章 §1.2 第2课时　空间向量基本定理的初步应用 课件（共59张PPT）

(共59张PPT)
第2课时　空间向量基本定理的初步应用
第一章　 §1.2　空间向量基本定理
1.会用基底表示空间向量.
2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法.
学习目标
道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》，它表示“道”生万物从少到多，从简单到复杂的一个过程.
导语
联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量.
随堂演练
课时对点练
一、证明平行、共面问题
二、夹角、垂直问题
内容索引
一、证明平行、共面问题
1.对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使
.
2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝ .
3.直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.
a＝λb
xa＋yb
知识梳理
例1　如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：
(1)EG∥AC；
又EG，AC无公共点，所以EG∥AC.
(2)平面EFG∥平面AB′C.
又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′.
又FG 平面AB′C，AB′ 平面AB′C，
所以FG∥平面AB′C.
又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，
又FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG，
所以平面EFG∥平面AB′C.
反思感悟　证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.
跟踪训练1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且
求证：A，E，C1，F四点共面.
二、夹角、垂直问题
问题　如何利用空间向量解决空间几何中的垂直问题，以及求解夹角问题？
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0.
注意点：
区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围.
例2　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝
(1)证明：EF⊥B1C；
则{i，j，k}构成空间的一个正交基底.
所以EF⊥B1C.
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
延伸探究　设这个正方体中线段A1B的中点为M，证明：MF∥B1C.
又MF，B1C无公共点，
所以MF∥B1C.
反思感悟　求夹角、证明线线垂直的方法
跟踪训练2　(1)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝
2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______.
解析　 如图所示，
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点.
证明：①AB1∥GE，AB1⊥EH；
则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底.
∴AB1∥GE.
∴AB1⊥EH
②A1G⊥平面EFD.
∴A1G⊥DF.
∴A1G⊥DE.
又DE∩DF＝D，DE，DF 平面EFD，∴A1G⊥平面EFD.
1.知识清单：
(1)空间向量基本定理.
(2)空间向量共线、共面的充要条件.
(3)向量的数量积及应用.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：
(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆.
(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义.
课堂小结
随堂演练
1.在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD
A.相交 B.平行
C.垂直 D.无法判断位置关系
√
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2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为
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3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是
√
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根据题意可得，
故其所成角的余弦值为0.
4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_____.
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课时对点练
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是
A.重合 B.垂直
C.平行 D.无法确定
√
基础巩固
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设正方体的棱长为1，
2.已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，CC1＝2，AA1与AB，AC都成60°角，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
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则a·b＝0，a·c＝2，b·c＝2，
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3.已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
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所以异面直线l，m所成的角等于60°.
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5.如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝ 则SC与AB所成角的大小为
A.90° B.60°
C.45° D.30°
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因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，
所以a·c＝0，
又AB⊥BC，AB＝BC＝2，
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所以SC与AB所成角的大小为60°.
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∵AM⊥平面BCD，MC 平面BCD，∴AM⊥MC，
解析　由共面向量基本定理和空间向量基本定理可知，
M∈平面BCD，N∈直线AC，
当AM，BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，
∴M为△BCD的中心，N为AC的中点，
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7.正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为_____.
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解析　如图，画出对应的正四面体，
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设异面直线DM与CN所成的角为θ，
8.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，则MN______AB(填“∥”或“⊥”).
⊥
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由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，
且p，q，r三向量两两夹角均为60°.
9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.
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10.如图，已知在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点.
(1)求证：CE⊥A′D；
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根据题意，得|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
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A.－3 B.－1 C.1 D.3
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综合运用
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12.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则异面直线EF和BC1所成的角是
A.30° B.45° C.90° D.60°
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因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点，
设所求异面直线的夹角为θ，
13.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的
位置关系是
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法判断
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14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为
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∵四边形BCC1B1是平行四边形，
∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，
∴a2＝b2＝4，c2＝9，a·b＝0，a·c＝b·c＝3×2×cos 60°＝3，
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15.在如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为________.
拓广探究
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设AB＝1，
因为BD⊥AN，
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所以(b－a)·(c＋λb)＝0，
16.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心.求证：B1O⊥平面PAC.
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证明　如图，连接BD，则BD过点O，
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设|a|＝|b|＝|c|＝1，
又AC∩AP＝A，AC，AP 平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
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