第一章 §1.4 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 课件（共59张PPT）

(共59张PPT)
第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示
第一章　 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量.
学习目标
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、空间中点的向量和直线的向量表示
二、空间中平面的向量表示
三、求平面的法向量
内容索引
一、空间中点的向量和直线的向量表示
问题1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
问题2　空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使
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(3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
.
2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
知识梳理
注意点：
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
例1　(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于
√
解析　∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3) ，
∴y－z＝0.
(2)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为__________________.
(0,0,1)
(0,1,1)(答案不唯一)
故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；
故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).
反思感悟　理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.
(2)直线的方向向量不唯一.
跟踪训练1　(1)(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是
A.(2,2,6) B.(1,1,3)
C.(3,1,1) D.(－3,0,1)
√
√
故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量.
(2)从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长 ＝34，则B点的坐标为
A.(18,17，－17) B. (－14，－19,17)
√
解析　设B点坐标为 (x，y，z)，
即 (x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
二、空间中平面的向量表示
知识梳理
3.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
三、求平面的法向量
例2　如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ 试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量；
解　以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵SA⊥平面ABCD，
(2)求平面SAB的一个法向量；
解　∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA 平面ABS，
∴AD⊥平面SAB，
(3)求平面SCD的一个法向量.
设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1).
∴n＝(2，－1,1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一).
反思感悟　求平面法向量的方法与步骤
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
跟踪训练2　如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.
解　如图，连接PF，CF.
因为PA＝PB，F为AB的中点，
所以PF⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF 平面PAB，
所以PF⊥平面ABCD.
因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，
所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，BF，CF，PF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).
设平面DEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
1.知识清单：
(1)空间点、直线、平面的向量表示.
(2)直线的方向向量.
(3)平面的法向量.
2.方法归纳：待定系数法.
3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.
课堂小结
随堂演练
1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
√
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所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量.
2.(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是
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√
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3.若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是
A.(0，－3,1) B.(2,0,1)
C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)
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解析　求与n共线的一个向量.
易知(2，－3,1)＝－(－2,3，－1).
4.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是______________.
x＋2y－3z＝0
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故x＋2y－3z＝0.
课时对点练
1.已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是
A.－1 B.1或－1
C.－3 D.1
√
解析　由题意得a∥b，
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解析　∵PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA.
又AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD.
故选项B成立，选项A和D显然成立.故选C.
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3.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为
A.(1，－1,1) B.(2，－1,1)
C.(－2,1,1) D.(－1,1,1)
√
解析　显然a与b不平行，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
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令z＝1，得x＝－2，y＝1.
所以n＝(－2,1,1).
4.已知向量 ＝(2,4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y,3)，若AB α，则
A.x＝6，y＝2 B.x＝2，y＝6
C.3x＋4y＋2＝0 D.4x＋3y＋2＝0
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可得3x＋4y＋2＝0.
5.已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是
√
解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
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∴x＝y＝z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确.
6.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是
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同理可排除C，D.
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7.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是
解析　由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.
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8.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：
①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).
其中正确的是________.(填序号)
①②③
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9.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.
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解　如图所示建立空间直角坐标系.
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设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，则y＝－1，z＝1，
故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1).
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PAB的一个法向量.
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从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D为坐标原点，以射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，
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设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z).
11.(多选)已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是
A.1 B.－1 C.3 D.－3
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综合运用
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所以x＝±4.
因为a⊥b，所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
所以当x＝4时，y＝－3；
当x＝－4时，y＝1.
所以x＋y＝1或x＋y＝－3.
12.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是
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设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)，
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所以n＝(2,2,1).
13.已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是
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2∶3∶(－4)
∵a是平面α的一个法向量，
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15.(多选)已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)，若c为平面α的一个法向量，则
A.m＝－1 B.m＝1
C.n＝2 D.n＝－2
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拓广探究
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解析　c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，
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所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD.
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(2)求平行四边形ABCD的面积.
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