第四章 4.2.1 第2课时　等差数列的判定与实际应用 课件（共60张PPT）

(共60张PPT)
第2课时　等差数列的判定与实际应用
第四章　4.2.1　等差数列的概念
1.体会等差数列与一元一次函数的关系.
2.掌握等差数列的判断与证明方法.
3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用.
学习目标
当数列是等差数列时，可以根据公式进行一些计算，但对数列来说，如何判断是否为等差数列呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、等差数列的通项公式与函数的关系
二、等差数列的判定与证明
三、等差数列的实际应用
内容索引
一、等差数列的通项公式与函数的关系
问题1　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，
故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，
点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，
而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，
实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，
公差d的符号决定了数列的单调性，
d>0时，数列{an}为递增数列，
d＝0时，数列{an}为常数列，
d<0时，数列{an}为递减数列.
知识梳理
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为　，在y轴上的截距为　　　；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加　.
d
a1－d
d
例1　已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N*)，则实数a＝____.
0
解析　∵{an}是等差数列，且an＝an2＋n，
∴an是关于n的一次函数，∴a＝0.
反思感悟　熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列.
跟踪训练1　等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是
A.第7项 B.第8项
C.第9项 D.第10项
√
解析　∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2>0，a8＝－1<0.
∴数列中第一个负数项是第8项.
二、等差数列的判定与证明
问题2　如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？
提示　不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性.
知识梳理
证明等差数列的方法
(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2).
(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2).
(3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d.
(2)求an.
(2)求数列{an}的通项公式.
反思感悟　判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列.
跟踪训练2　已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝ .
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
三、等差数列的实际应用
例3　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解　设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损.
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
反思感悟　解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题.
跟踪训练3　《九章算术》是我国古代数学名著，其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，
则中间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为____升.
解析　设从最上至最下每节的容量构成等差数列{an}，公差为d，
1.知识清单：
(1)等差数列的通项公式与一次函数的关系.
(2)证明等差数列的方法.
(3)等差数列的简单应用.
2.方法归纳：定义法、公式法.
3.常见误区：实际问题中项数的确定.
课堂小结
随堂演练
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1.(多选)下列命题中，正确的是
A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列
B.数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C.等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)
D.数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列
√
解析　对于A，数列6,4,2,0的公差为－2，A错误；
对于B，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确；
对于CD，由于等差数列的通项公式是关于n的一次函数，即an＝kn＋b，
所以CD正确.
√
√
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2.下列各数列中首项为零的等差数列是
A.an＝2n B.an＝2(n－1)
C.an＝2n D.an＝2n－1
√
解析　A项，首项为2；
B项，该数列首项为2(1－1)＝0，符合题意；
C项，首项为2；
D项，首项为1.
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3.下列命题中，与命题“{an}为等差数列”不等价的是
A.an＋1＝an＋d(d为常数)
B.数列{－an}是等差数列
C.数列 是等差数列
D.an＋1是an与an＋2的等差中项
√
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解析　对于A，即an＋1－an＝d，故A正确.
对于B，数列{－an}是等差数列，则－an＋1＝－an＋d，d为常数.
故an＋1－an＝－d，－d为常数.
故B正确.
不能推导出{an}为等差数列.
故C错误.
D正确.
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4.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费______元.
23.2
解析　根据题意知，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).
课时对点练
基础巩固
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1.在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则a101的值为
A.52 B.50 C.51 D.49
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2.已知等差数列{an}的前三项为a－1，a＋1,2a＋1，则此数列的通项公式为
A.2n－5 B.2n－3 C.2n－1 D.2n＋1
√
解析　2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋1)，
解得a＝2，所以a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
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3.已知数列{an}为等差数列，则下列不一定成立的是
A.若a2>a1，则a3>a1 B.若a2>a1，则a3>a2
C.若a3>a1，则a2>a1 D.若a2>a1，则a1＋a2>a1
√
解析　利用等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差d>0，所以等差数列{an}是递增数列，
所以a3－a1＝2d>0，a3－a2＝d>0成立，所以A，B正确；
a1＋a2>a1不一定成立，例如a1<0时不一定成立，所以D不一定成立；
若a3>a1，则a3－a1＝2d>0，所以a2－a1＝d>0成立，所以C正确.
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4.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是
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解析　依题意，得金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，
设首项为a1＝4，则a5＝2，
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6.(多选)下列命题中，正确的是
A.若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
√
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解析　A项中，∵a，b，c为等差数列，∴2b＝a＋c，
∴2·(2b)＝2a＋2c，∴2a,2b,2c成等差数列，故A正确.
C项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.故C正确.
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7.已知数列{an}的通项公式为an＝4n－102，那么数列从第____项开始值大于零.
解析　令an＝4n－102>0，解得n>25.5，∵n∈N*，
∴n≥26，
故从第26项开始值大于零.
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9.画出数列an＝ 的图象，并求经过图象上所有点的直
线的斜率.
解　画出图象如图所示.
由图象可得，直线的斜率k＝1.
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(2)求数列{an}的通项公式.
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综合运用
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11.设{an}是等差数列，则“a1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
解析　由{an}是等差数列，可得d＝a2－a1＝a3－a2>0，
所以数列{an}是递增数列，充分性成立；
若数列{an}是递增数列，则必有a11
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12.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 021这2 021个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10等于
A.190 B.211 C.232 D.253
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解析　由题意可得an能被3除余1，且被7除余1，
则an－1是21的倍数，即an－1＝21(n－1)，即an＝21n－20，
∴a10＝21×10－20＝190.
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又∵a1＝2，
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n2(n∈N*)
拓广探究
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15.设F是椭圆 ＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i＝1,2,3，…)使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成递增的等差数列，则公差d的取
值范围为________.
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∵这个等差数列是递增数列，
且a21＝a1＋20d，
16.某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元.设an为购买n件这类上衣所花费的金额(元)，求an.
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解　设购买n件商品时，每件的单价为bn元，
则数列组成以b1＝265为首项，－15为公差的等差数列.
又单价不能低于160元，则265＋(n－1)·(－15)≥160.
解得n≤8.
所以当n>8时，bn＝160.