第四章 4.3.1 第1课时　等比数列的概念及通项公式 课件（共64张PPT）

(共64张PPT)
第1课时　等比数列的概念及通项公式
第四章　4.3.1　等比数列的概念
1.通过实例，理解等比数列的概念.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
学习目标
某种细胞每隔一定时间就会分裂一次，每个细胞分裂成两个细胞，随着分裂次数的增加，细胞的个数可以组成的数列是1,2,4,8,16，……，这类数列有何特征呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、等比数列的概念
二、等比中项
三、等比数列的通项公式
内容索引
一、等比数列的概念
问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98.
②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
提示　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.
也有相同的取值规律.
知识梳理
等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第　项起，每一项与它的　一项的　都等于
　　　常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的
　　，通常用字母q表示(q≠0).
注意点：(1)定义的符号表示： ＝q(n∈N*且n≥2)或 ＝q(n∈N*)；
(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
2
前
比
同一个
公比
例1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.
解　不是等比数列；
(2)10,10,10,10,10，…；
解　是等比数列，公比为1；
(4)1,0,1,0,1,0，…；
解　不是等比数列；
(5)1，－4,16，－64,256，….
解　是等比数列，公比为－4.
反思感悟　判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.
√
解析　①数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；
②前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
③当a＝0时，不是等比数列；
④该数列符合等比数列的定义，是等比数列.
二、等比中项
问题2　我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？
提示　不能成立，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；
其次，假设－1，x,1这三个数成等比数列，
该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.
若1，x,4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；
或－1，x，－4这三个数成等比数列，
由定义可知，x2＝4，即x＝±2，
我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数.
知识梳理
等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的　　　　　，此时，　　　　.
注意点：①若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列；②只有同号的两个实数才有等比中项；③若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数.
等比中项
G2＝ab
例2　(1)4与9的等比中项为_____.
±6
(2)－1和－9的等比中项为_____.
±3
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0).
解析　因为1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，
√
三、等比数列的通项公式
问题3　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
当n＝1时，上式也成立.
方法二　a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
…
由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立.
知识梳理
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝　　　 (n∈N*).
a1qn－1
例3　在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
解　因为a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
又an＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
反思感悟　等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.
跟踪训练3　在等比数列{an}中：
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
解　因为a5＝a1q4，而a1＝5，
所以a5＝405.
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
1.知识清单：
(1)等比数列的概念.
(2)等比数列的通项公式.
(3)等比中项的概念.
(4)等比数列的通项公式推广.
2.方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法.
3.常见误区：x，G，y成等比数列 G2＝xy，但G2＝xy x，G，y成等比数列.
课堂小结
随堂演练
1
2
3
4
1.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于
A.6 B.－6 C.－12 D.12
√
√
∴ab＝±6.
1
2
3
4
2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4 B.8 C.6 D.32
√
解析　由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
1
2
3
4
3.(多选)下列说法正确的有
A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是R
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1
D.22,42,62,82，…成等比数列
√
√
1
2
3
4
解析　A显然正确；
等比数列的公比不能为0，故B错误；
C显然正确；
1
2
3
4
4.4与16的等比中项是_____.
±8
解析　由G2＝4×16＝64，得G＝±8.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于
A.16 B.16或－16
C.32 D.32或－32
解析　由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝ ＝32.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.2＋ 和2－ 的等比中项是
A.1 B.－1 C.±1 D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为
A.108 B.54 C.36 D.18
√
解析　因为an＋1＝3an，
所以数列{an}是公比为3的等比数列，
则a4＝33a1＝54.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于
A.－24 B.0 C.12 D.24
√
解析　由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，
(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)，第2项为－6.
故数列的第4项为－24.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么
A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9
C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9
√
解析　∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
1或－2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝
_________.
解析　由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.在等比数列{an}中.
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.
解　∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，
∴数列{an}的公比为2或－2，
对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.在等比数列{an}中.
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；
所以q2＝4，
所以a7＝a5q2＝8×4＝32.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，
a5－a1＝a1(q4－1)＝15，
所以q2－1＝3，
所以q2＝4，
所以a1＝1，q＝±2，
所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0，
则由b2＝ac，可得 ，所以a，b，c成等比数列，
反之：当a，b，c成等比数列，可得b2＝ac，
所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　∵1，m,9构成一个等比数列，
∴m2＝1×9，
则m＝±3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.在等比数列a,2a＋2,3a＋3，…中，a＝_____.
－4
解析　由题意，得(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－4或a＝－1，
当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件.
当a＝－4时，等比数列为：－4，－6，－9，…，满足条件.
故答案为－4.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________.
275或8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设公差为d，
由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8， ①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0， ②
当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，{bn}的通项公式.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　选条件①：
因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，
因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
选条件②：
因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，
因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件③：
因为S3＝9，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以3a1＋3d＝9，
因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋7d＝8a1d，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.