第四章 4.3.1 第2课时　等比数列的判定与简单应用 课件（共62张PPT）

(共62张PPT)
第2课时　等比数列的判定与简单应用
第四章　4.3.1　等比数列的概念
1.体会等比数列与指数函数的关系.
2.掌握等比数列的判断及证明方法.
3.掌握等比数列中项的设法.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、等比数列的通项公式与函数的关系
二、等比数列的判定与证明
三、等比数列中项的设法
内容索引
一、等比数列的通项公式与函数的关系
问题1　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
知识梳理
等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝ ·qx
(x∈R)当x＝n时的函数值，即 .
(2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，
则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为 ，公比为 .
an＝f(n)
ka
a
注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0，01时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0例1　已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
√
解析　当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；
当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,0即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件.
延伸探究　
1.若{an}为等比数列，则“a1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
解析　若等比数列{an}是递增数列，可得a1反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1所以“a12.设{an}是等比数列，则“a1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
解析　设等比数列{an}的公比为q，
此时数列{an}不一定是递增数列；
所以“a1反思感悟　判断等比数列的单调性的方法
(1)当q>1，a1>0或0(2)当q>1，a1<0或00时，{an}是递减数列.
(3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列.
√
解析　∵a7·a14＝a4·a17＝6，a4＋a17＝5，
∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根，
解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2，
∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2，
二、等比数列的判定与证明
问题2　若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？
提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性.
知识梳理
证明等比数列的方法
q
an－1an＋1
a1qn－1
例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝ (an－1)(n∈N*).
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列.
证明　当n≥2时，
反思感悟　判断一个数列是等比数列的常用方法
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.
得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
三、等比数列中项的设法
例3　有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
所以a3＝216.
所以a＝6.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，
故所求的四个数为9,6,4,2.
方法二　设后三个数为4－d,4,4＋d，
解得4－d＝6.
所以d＝－2.
故所求得的四个数为9,6,4,2.
跟踪训练3　有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_____.
解析　设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.
45
解得a＝3，q＝2.
因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
1.知识清单：
(1)等比数列与函数的关系.
(2)等比数列的证明.
(3)等比数列中项的设法.
2.方法归纳：定义法、分类讨论.
3.常见误区：四个数成等比数列时设成 ，aq，aq3，未考虑公比为负的情况.
课堂小结
随堂演练
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1.已知等比数列{an}的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
解析　若q<0，则等比数列{an}为摆动数列，由于等比数列{an}为递减数列，则q>0.
若a1>0，则an＝a1qn－1>0，由an＋1所以q<1；
所以a1>0，等比数列{an}为递减数列 0所以若a1>0，“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件.
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2.在数列{an}中，如果an＝32－n(n＝1,2,3，…)，那么这个数列是
A.公比为2的等比数列 B.公差为3的等差数列
C.首项为3的等比数列 D.首项为3的等差数列
√
解析　因为an＝32－n(n＝1,2,3，…)，
所以a1＝3，a2＝1，an－1＝33－n(n≥2)，
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3.在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于
A.(－2)n－1 B.－(－2)n－1
C.(－2)n D.－(－2)n
√
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解析　设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，
所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，
所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，
故an＝(－2)n－1.
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4.在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝an(n∈N*)，则a6＝____.
解析　∵2an＋1＝an，a1＝2，
课时对点练
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解析　由公比q<0可知，该等比数列是摆动数列.
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解析　由an＋1－2an＝0知an＋1＝2an，
故{an}是等比数列，且q＝2，
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3.已知数列{an}对任意的n≥2且n∈N*，满足a ＝an－1an＋1，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式为
A.an＝2n B.an＝2n－1
C.an＝n D.无法确定
√
解析　由题意可知数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q＝2，所以an＝2n－1.
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4.等比数列{an}不具有单调性，且a5是a4和3a3的等差中项，则数列{an}的公比q等于
A.－1 B.1 C.－2 D.－3
√
解析　∵a5是a4和3a3的等差中项，∴2a5＝a4＋3a3，得2a1q4＝a1q3＋3a1q2，
又等比数列{an}不具有单调性，故q＝－1，故选A.
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5.若正项数列{an}满足a1＝2，a －3an＋1an－4a ＝0，则数列{an}的通项公式an等于
A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3
√
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得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.
又{an}是正项数列，
由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，
4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，
得an＝2×4n－1＝22n－1.
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6.(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1， <0.则下列结论正确的是
A.01
C.a8>1 D.Tn的最大项为T7
√
∴a7>1,0∴A正确；
√
√
B正确；
C错误；
D，T7是数列{Tn}中的最大项，故正确.
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7.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an，则an＝________.
2×3n－1
解析　因为an＋1＝3an且a1＝2，
所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以an＝2×3n－1.
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8.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，
甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为____.
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9.有四个数，前三个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19，求这四个数.
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解　由于前三个数成等差数列，且它们的和为12，则第二个数为4，
设前三个数分别为4－d,4,4＋d，由于后三个数成等比数列，
整理得d2＋12d－28＝0，解得d＝2或d＝－14.
若d＝2，则这四个数分别为2,4,6,9；
若d＝－14，则这四个数分别为18,4，－10,25.
因此，这四个数分别为2,4,6,9或18,4，－10,25.
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10.已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列.
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证明　由已知，得2a2＝a1＋a3， ①
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即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3).
又a1，a3，a5均不为0，
∴a1，a3，a5成等比数列.
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综合运用
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解析　∵{an}中的项必然有正有负，
∴q<0.
又|q|>1，∴q<－1.
由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
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13.在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足
A.q>1 B.q<1 C.0√
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解析　先证必要性：
∵a1<0，且{an}是递增数列，
则此时公比q满足0＜q＜1；
再证充分性：
∵a1<0,0∴an<0，
则{an}是递增数列，
综上，{an}是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1.
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14.已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4， ，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为______.
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解析　因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4， ，2a7成等差数列，
所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝ ，
所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024.
拓广探究
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又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
16.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
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解　设数列{an}的公比为q.
由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.
由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，
知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围.
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解　bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，
由bn＞bn＋1，
得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，
即λ＜n＋1，
所以λ＜(n＋1)min＝2，
故实数λ的取值范围为(－∞，2).