第四章 习题课　分组求和、倒序相加求和、并项求和 课件（共63张PPT）

(共63张PPT)
习题课　分组求和、倒序相加求和、并项求和
第四章　§4.3　等比数列
1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式.
2.掌握分组求和、倒序相加法求和、并项求和等数列求和的方法.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、分组求和
二、倒序相加法求和
三、并项求和
内容索引
一、分组求和
例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
解　因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
所以an＋1＝3Sn＋1，
当n≥2时，
an＝3Sn－1＋1.
于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1) an＋1－an＝3an an＋1＝4an.
又当n＝1时，
a2＝3S1＋1 a2＝3a1＋1＝3t＋1，
所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列.
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解　由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n，
所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，
那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)
反思感悟　分组求和的适用题型
一般情况下形如cn＝an±bn，其中数列{an}与{bn}一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列{cn}的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可.
跟踪训练1　已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
解　数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2，
所以数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为2，
因此，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)已知数列{bn}满足b1＝－ ，b2＝－ ，设cn＝an＋bn，若数列{cn}为等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn.
二、倒序相加法求和
例2　已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N*)，设f(x)＝x＋ ，则数列{f(an)}的各项之和为
A.36 B.33 C.30 D.27
√
解得－2所以－2又因为an＝n－2，所以满足f(an)的an所有的取值为－1,0,1,2，…，7，即a1，a2，…，a9.
所以数列{f(an)}的各项之和S＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝f(－1)＋f(0)＋…＋f(7).
因为S＝f(7)＋f(6)＋…＋f(－1)，所以2S＝[f(－1)＋f(7)]＋[f(0)＋f(6)]＋…＋[f(7)＋f(－1)]＝6×9＝54.
所以S＝27.
反思感悟　倒序相加法求和适合的题型
一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和.
跟踪训练2　在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加
的方法，类比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝__________.
解析　令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，
则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，
两式相加可得
2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝89，
故S＝44.5，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝44.5.
三、并项求和
例3　已知数列an＝(－1)nn，求数列{an}的前n项和Sn.
解　方法一　若n是偶数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝ .
方法二　可采用分组求和(略).
延伸探究　若an＝(－1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn.
解　若n是偶数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2]
若n是奇数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋(－n2)
反思感悟　并项求和法适用的题型
一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和.
跟踪训练3　若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n＋1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a2 021等于
A.－3 027 B.3 027 C.－3 031 D.3 031
解析　S2 021＝(1－4)＋(7－10)＋…＋(6 055－6 058)＋6 061＝1 010×(－3)＋6 061＝3 031.
√
1.知识清单：
(1)分组求和.
(2)倒序相加求和.
(3)并项求和.
2.方法归纳：公式法、分类讨论.
3.常见误区：并项求和易忽略总项数的奇偶.
课堂小结
随堂演练
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√
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解析　数列{b2n－1}中的项是数列{bn}中的所有奇数项，
已知数列{bn}为等比数列，故其所有的奇数项也构成等比数列，公比为4，首项为1，
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2.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的共有
A.225人 　 B.255人 　C.365人 　　 D.465人
√
解析　当n为奇数时，an＋2＝an，
当n为偶数时，an＋2－an＝2，
所以a1＝a3＝…＝a29＝1，
a2，a4，…，a30是以2为首项，2为公差的等差数列，
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2
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4
3.设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为
A.2n－1 B.2n－1－1
C.2n－n－1 D.2n＋1－n－2
√
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an＝n＋1
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2an＝2(n＋1)，
所以an＝n＋1 .
课时对点练
基础巩固
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1.若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－1)，则a1＋a2＋…＋a10等于
A.15 B.12 C.－12 D.－15
√
解析　因为an＝(－1)n(3n－1)，
所以a1＋a2＝－2＋5＝3，a3＋a4＝－8＋11＝3，
a5＋a6＝－14＋17＝3，a7＋a8＝－20＋23＝3，a9＋a10＝－26＋29＝3，
因此a1＋a2＋…＋a10＝3×5＝15.
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3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝3，Sn为其前n项和，则S2 021等于
A.3 030 B.3 031 C.3 032 D.3 033
√
解析　由题意a2＝2，a3＝1，a4＝2…，
故奇数项为1，偶数项为2，
则S2 021＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 019＋a2 020)＋a2 021
＝3×1 010＋1＝3 031.
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4.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，Sn为其前n项和，则S5的值为
A.63 B.61 C.62 D.57
解析　由数列的递推关系可得，an＋1＋1＝2(an＋1)，a1＋1＝2 ，
据此可得，数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，则
an＋1＝2×2n－1 an＝2n－1 ，
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解析　∵正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1＋lg a2 021＝0，
∴lg(a1·a2 021)＝0，即a1·a2 021＝1.
令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)，
则T＝f(a2 021)＋f(a2 020)＋…＋f(a1)，
∴2T＝f(a1)＋f(a2 021)＋f(a2)＋f(a2 020)＋…＋f(a2 021)＋f(a1)＝2×2 021，
∴T＝2 021.
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6.(多选)数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是
A.a3＝13 B.数列{an＋3}是等比数列
C.an＝4n－3 D.Sn＝2n＋1－n－2
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√
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解析　an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
∴数列{an＋3}是等比数列，
又∵a1＝1，∴an＋3＝(a1＋3)2n－1，∴an＝2n＋1－3，
∴a3＝13，
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7.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和.已知数列{an}是等和数列，且a1＝－2，a2 022＝8，则这个数列的前2 022项的和为_______.
6 066
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解析　设等和数列的公和为m.
因为a1＝－2，
所以a2＝m＋2，a3＝－2，a4＝m＋2，a5＝－2，…，
又a2 022＝m＋2＝8，
所以m＝6，
所以S2 022＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 021＋a2 022)＝1 011×6＝6 066.
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8.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ＝______.
1 033
解析　∵数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∵{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝1×2n－1＝2n－1，
∴ ＝2n－1＋1，
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9.已知等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
解　设等差数列{an}的公差为d，
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(2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn.
当an＝3n－5时，bn＝(3n－5)＋2n，
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10.已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，且a3＝5，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
解　设等差数列{an}的公差为d，
故数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)，即an＝2n－1.
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(2)若bn＝ －1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　由(1)得bn＝ －1＝3n－1，
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综合运用
11.已知{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 021的值为
A.1 008 B.1 009 C.1 010 D.1 011
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解析　由题意，当n≥2时，可得Sn－1＝Sn－an，
因为an＋2Sn－1＝n，所以an＋2(Sn－an)＝n，即2Sn＝an＋n，
当n≥3时，2Sn－1＝an－1＋n－1，
两式相减，可得2an＝an－an－1＋1，即an＋an－1＝1，
所以a2＋a3＝1，a4＋a5＝1，a6＋a7＝1，…，
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所以有a1＝1，
所以an＝2n－1(n∈N*)，令 2an－n＝bn，所以bn＝2n－n，因此有
Sn＝(2－1)＋(22－2)＋(23－3)＋…＋(2n－n)
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
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故F(－x)＝－F(x)，
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倒序相加可得2an＝6(n＋1)，
即an＝3(n＋1).
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由(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝2×(2n－1)－n＝120，解得n＝6，
拓广探究
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15.在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a51＝______.
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当n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝1；
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解　①当n为大于或等于3的奇数时，
Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1)
当n＝1时，S1＝a1＝1，上式同样成立.
②当n为偶数时，
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