第五章 5.1.1　变化率问题 课件（共63张PPT）

(共63张PPT)
5.1.1　变化率问题
第五章　§5.1　导数的概念及其意义
1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.
2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.
3.体会极限思想.
学习目标
同学们，大家知道，在高速路上经常看到“区间测速”这样的提醒，这其实是在提醒司机安全驾驶，其实它测速的方式是在固定的路程上，看你用了多少时间，从而达到测速的目的；大家也经常能听到家长们讨论车辆油耗的问题，你的车几个油？这里所说的几个油实际上是汽车百公里的油耗，不过有些车上可以查看汽车的瞬时油耗，今天我们就来研究生活中的变化率问题.
导语
随堂演练
课时对点练
一、平均速度
二、瞬时速度
三、抛物线的切线的斜率
内容索引
一、平均速度
问题1　在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤ 内的平均速度吗？
虽然运动员在0≤t≤ 这段时间里的平均速度是0 m/s，
但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
反思感悟　求物体运动的平均速度的主要步骤
(1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)，
(2)再计算时间的改变量t2－t1，
√
二、瞬时速度
问题2　我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？
我们把函数值的增量f(t2)－f(t1)记为Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自变量的增量t2－t1记为Δt，即Δt＝t2－t1，
这里的Δt可以看成是t1的一个增量，可用t1＋Δt来表示t2，
我们发现如果时间的增量Δt无限小，
此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间t＝t1的瞬时速度，
这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限趋近于0.
知识梳理
1.瞬时速度：物体在　　　　的速度称为瞬时速度.
2.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，
则物体在t0时刻的瞬时速度为 　 .
3.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度.
注意点：Δt可正，可负，但不能为0.
某一时刻
例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
延伸探究　
1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度.
解　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
＝1＋Δt，
即物体的初速度为1 m/s.
解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思感悟　求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0).
跟踪训练2　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
解　质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
即a＝2.
三、抛物线的切线的斜率
问题3　前面我们从物理的角度研究了瞬时速度的问题，它反映到我们几何上是什么意思？
知识梳理
1.切线：设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线.
2.切线的斜率：设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点
P0(x0，y0)处的切线的斜率为k0＝ .
3.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率.
例3　求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程.
所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.
延伸探究　本例函数不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程.
＝2x0－2＋Δx，
故有2x0－2＝2，解得x0＝2，
所以切点为(2,3)，所求切线方程为2x－y－1＝0.
反思感悟　(1)求抛物线在某点处的切线方程的步骤
(2)求曲线过某点的切线方程需注意，该点不一定是切点，需另设切点坐标.
跟踪训练3　求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线方程.
解　f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2
＝3Δx＋(Δx)2，
则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.
1.知识清单：
(1)平均速度.
(2)瞬时速度.
(3)曲线在某点处的切线方程.
2.方法归纳：极限法、定义法.
3.常见误区：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位.
课堂小结
随堂演练
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1.某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为
A.2 B.3 C.－2 D.－3
√
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2.一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为
A.4 B.5 C.6 D.7
√
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3.一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为
A.－2 B.－1 C.0 D.2
所以当t＝0时，其速度为2.
√
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4.抛物线y＝x2＋4在点(1,5)处的切线的斜率为_____.
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课时对点练
基础巩固
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√
2.已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则 的值为
A.－0.11 B.－1.1 C.3.89 D.0.29
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解析　∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，
√
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3.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为
A.4 B.4x C.4.2 D.4.02
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解析　由瞬时速度与平均速度的关系可知选C.
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5.已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为
A.4 B.16 C.8 D.2
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6.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则
A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70
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√
√
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解析　该物体在1≤t≤3时的平均速度是
物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；
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7.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是_____.
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8.若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝_____.
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解得x0＝1.
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9.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度.
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解　自运动开始到t s时，物体运动的平均速度
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)
＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s.
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10.曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5；
解　设P(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为
∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，
y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点.
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(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
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(3)倾斜角为135°.
解　因为切线的倾斜角为135°，
所以其斜率为－1，即2x0＝－1，
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综合运用
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解析　设直线O′A，AB，BC的斜率分别为kO′A，kAB，kBC，
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12.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1
√
解析　由题意可知
解得a＝1，又(0，b)在切线上，∴b＝1.
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13.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有
A.两机关节能效果一样好
B.A机关比B机关节能效果好
C.A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上
　的平均变化率大
D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
√
解析　由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好.
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14.函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝_____.
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解析　因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，
即t2－t－6＝2t＋4，
从而t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去).
拓广探究
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15.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为 ，则m的值为_____.
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所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍).
16.若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
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求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
解　∵物体在t∈[3,5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]上的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
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∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为24 m/s.
(2)物体的初速度v0；
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解　求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
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(3)物体在t＝1时的瞬时速度.
∴物体在t＝1时的瞬时速度为