第五章 5.1.2 第2课时　导数的几何意义 课件（共62张PPT）

(共62张PPT)
第2课时　导数的几何意义
第五章　5.1.2　导数的概念及其几何意义
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.
2.会求简单函数的导函数.
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
学习目标
同学们，经过前两节课的学习，我们经历了从物理中的瞬时变化，到几何中的切线的斜率，再到数学中函数在某点处的导数，不禁会想，我们学习导数的意义何在，其实，之前所学只为今天，今天我们将揭开谜底，一探导数的几何意义.
导语
随堂演练
课时对点练
一、导数的几何意义
二、函数的单调性与导数的关系
三、导函数(导数)
内容索引
一、导数的几何意义
问题1　导数f′(x0)的几何意义是什么？
提示　我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图.
知识梳理
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的　　　　　.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是　　　 .相应地，切线方程为 .
切线的斜率
f′(x0)
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
则切线的斜率为
∵点P(2,4)在切线上，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
反思感悟　求曲线过某点的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.
由直线的点斜式方程可得切线方程为
二、函数的单调性与导数的关系
问题2　函数的单调性和导数有什么关系？
提示　如图
当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减.
当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减.
通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢.
知识梳理
若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝ ；
若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k 0，且函数在x＝x0附近_____
　　，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快；
若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k　0，且函数在x＝x0附近　　　　，且|f′(x0)|越大，说明函数图象变化的越快.
0
单调
递增
<
单调递减
>
例2　已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能确定
解析　由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)√
反思感悟　导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画.f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的.
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.
跟踪训练2　已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设
＝a，则下列不等式正确的是
A.f′(1)B.f′(1)C.f′(2)D.a√
解析　由图象可知，函数在区间(0，＋∞)上的增长越来越快，
∴通过作切线与割线可得f′(1)三、导函数(导数)
问题3　以上我们知道，求函数某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
知识梳理
导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的　　　(简称导数).y＝f(x)的导函数记作　　　或　　，即
f′(x)＝y′＝ 　　.
注意点：(1)f′(x0)是具体的值，是数值.(2)f′(x)是函数，f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数.
导函数
f′(x)
y′
反思感悟　不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数.若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导.然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导.
解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
1.知识清单：
(1)导数的几何意义.
(2)函数的单调性与导数的关系.
(3)导函数的概念.
2.方法归纳：方程思想、数形结合.
3.常见误区：切线过某点，这点不一定是切点.
课堂小结
随堂演练
1
2
3
4
1.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于
A.4 B.－4 　C.－2 D.2
√
解析　由导数的几何意义知f′(1)＝2.
1
2
3
4
√
设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
1
2
3
4
3.曲线f(x)＝ 在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于
A.45° B.60° C.135° D.120°
√
又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.
1
2
3
4
4.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______.
(3,30)
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
A.不存在 B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直 D.与x轴斜交
√
解析　因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　由导数的定义可知，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.已知曲线y＝x2上一点A(2,4)，则在点A处的切线斜率为
A.4 B.16 C.8 D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为
A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0
C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
由题意可知，切线斜率k＝4，
即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
√
解析　设切点为(x0，y0)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5.已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是
16
√
解析　由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为 的是
A.(0,0) B.(1，－1)
C.(－1,1) D.(1,1)
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1.
当x0＝－1时，y0＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝_____.
3
解析　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为_____.
2
解析　由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.
又切线在y轴上的截距为－1，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，
从而可得切点坐标为(1,3)，
所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则 ＝2x0＝4，解得x0＝2，
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以y′|x＝1＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
综合运用
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即k<1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是
A.f′(a)B.f′(b)C.f′(a)D.f′(c)√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.函数y＝(x－1)2的导数是
A.－2 B.(x－1)2
C.2(x－1) D.2(1－x)
√
选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离
为_____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，
点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.已知函数f(x)＝x3，过点P 作曲线f(x)的切线，则其切线方程为____________________.
y＝0或3x－y－2＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解得x0＝0或x0＝1，
从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.
16.点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　设P(x0，y0)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以在点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16