第五章 5.2.1　基本初等函数的导数 课件（共57张PPT）

(共57张PPT)
5.2.1　基本初等函数的导数
第五章　§5.2　导数的运算
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝ ，y＝ 的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
学习目标
同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟.
导语
随堂演练
课时对点练
一、基本初等函数的求导公式
二、导数公式的应用
三、利用导数研究曲线的切线方程
内容索引
一、基本初等函数的求导公式
问题1　回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？
提示　幂函数，指数函数，对数函数，三角函数.
问题2　如何求常函数f(x)＝c的导数？
我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数：
f(x)＝x f′(x)＝1＝1x1－1；
f(x)＝x2 f′(x)＝2x＝2x2－1；
f(x)＝x3 f′(x)＝3x2＝3x3－1；
通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的规律，即(xα)′＝αxα－1.
知识梳理
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__
f(x)＝xα， (α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝_____
f(x)＝cos x f′(x)＝_______
0
cos x
－sin x
f(x)＝ax (a>0且a≠1) f′(x)＝______
f(x)＝ex f′(x)＝___
f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
axln a
ex
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；
解　y′＝0.
(3)y＝lg x；
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
反思感悟　(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
(3)要特别注意“ 与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)y＝2 021；
解　因为y＝2 021，
所以y′＝(2 021)′＝0.
所以y′＝ .
(3)y＝4x；
解　因为y＝4x，
所以y′＝4xln 4.
(4)y＝log3x.
解　因为y＝log3x，
二、导数公式的应用
例2　某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095)
解　由题意得p′(t)＝1.1tln 1.1，
所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095
≈0.15(万元/年)，
所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.
反思感悟　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
跟踪训练2　从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示.求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安).
解　由q＝cos t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，
即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安.
三、利用导数研究曲线的切线方程
例3　已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.
延伸探究　
1.已知y＝kx＋1是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ .
2.求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程.
解　∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上.
∴设切点为Q(x0，y0)，
∴Q(e,1)，
反思感悟　(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练3　(1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为
A.y＝12x－16 B.y＝12x＋16
C.y＝－12x－16 D.y＝－12x＋16
解析　因为y′＝3x2，
当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y＝12x－16.
√
(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为 .
解析　设切点为(x0，ln x0)，
－1
因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.
即x0＝1，
所以切点为(1,0).
所以1－0＋c＝0，
所以c＝－1.
1.知识清单：
(1)常用函数的导数.
(2)基本初等函数的导数公式及应用.
(3)利用导数研究曲线的切线方程.
2.方法归纳：方程思想、待定系数法.
3.常见误区：不化简成基本初等函数.
课堂小结
随堂演练
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√
√
√
解析　对于A，y′＝0，故A错；
显然C，D正确.
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2.一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝1时质点的瞬时速度为
A.2cos 1 B.－sin 1 C.sin 1 D.2sin 1
√
解析　s′＝－sin t，当t＝1时，s′|t＝1＝－sin 1，
所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin 1.
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x＋y－6＝0
∴y′|x＝3＝－1，
∴在点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，
即x＋y－6＝0.
课时对点练
基础巩固
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1.下列求导运算正确的是
A.(cos x)′＝－sin x B.(x3)′＝x3ln x
C.(ex)′＝xex－1 D.(ln x)′＝
√
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解析　∵②(x－1)′＝－x－2；
④(cos 2)′＝0.
∴②④错误，故选B.
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3.函数y＝3x在x＝2处的导数为
A.9 B.6 C.9ln 3 D.6ln 3
√
解析　y′＝(3x)′＝3xln 3，故所求导数为9ln 3.
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4.已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于
A.4 B.－4 C.5 D.－5
√
解析　∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴α＝4.
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解析　f′(x)＝－sin x，
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6.(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为
A.(－1,1) B.(－1，－1)
C.(1,1) D.(1，－1)
√
√
解析　y′＝3x2，因为k＝3，
所以3x2＝3，所以x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1).
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令y＝0，得x＝－a，
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8.已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集
为 .
解析　∵f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，则sin x＝1，
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9.点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
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解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近.
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，
又y′＝(ex)′＝ex，
所以 ＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1).
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解　设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，
因为y′＝2x，所以k＝2x0，
又点(x0，y0)在切线上，
解得x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，
即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.
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综合运用
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11.已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于
A.2 B.0 C.1 D.－1
√
解析　由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)，
直线x＋y－3＝0的斜率为－1，
故－f′(1)＝－1得f′(1)＝1，故选C.
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12.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于
A.－4 B.3 C.－2 D.1
√
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解析　由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，
则l：x＋y＝4，
∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，
f(2)＋f′(2)＝1.
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解析　∵(sin x)′＝cos x，
∴kl＝cos x，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)，
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14.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 021(x)＝ .
cos x
解析　由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，
f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，
依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，
则f2 021(x)＝f1(x)＝cos x.
拓广探究
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15.函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a )处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 .
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又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
∴a3＝4，a5＝1，
∴a1＋a3＋a5＝21.
16.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值.
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解　导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，
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所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)
＝lg 1－lg 100＝－2.