第五章 5.2.2 导数的四则运算法则 课件（共68张PPT）

(共68张PPT)
5.2.2　导数的四则运算法则
第五章　§5.2　导数的运算
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算
法则求函数的导数.
学习目标
同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要解决的内容.
导语
随堂演练
课时对点练
一、f(x)±g(x)的导数
二、f(x)g(x)和 的导数
三、导数四则运算法则的应用
内容索引
一、f(x)±g(x)的导数
问题1　利用定义求函数的导数的一般步骤是什么？
问题2　令y＝f(x)＋g(x)，如何求该函数的导数？
＝f′(x)＋g′(x).
所以有[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x).
知识梳理
两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝ .
注意点：推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x).
f′(x)±g′(x)
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋cos x；
解　y′＝(x5)′－(x3)′＋(cos x)′＝5x4－3x2－sin x.
(2)y＝lg x－ex.
反思感悟　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可.
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2＋sin x；
解　∵f(x)＝x2＋sin x，
∴f′(x)＝2x＋cos x.
∴g′(x)＝3x2－3x－6.
二、f(x)g(x)和 的导数
问题3　你能利用定义求y＝f(x)g(x)的导数吗？
提示　第一步：Δy＝f(x＋Δx)g(x＋Δx)－f(x)g(x)；
即：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数.
知识梳理
1.[f(x)·g(x)]′＝ ，特别地，[cf(x)]′＝ .
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式.
cf′(x)
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋xln x；
解　y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′
＝2x＋ln x＋x·
＝2x＋ln x＋1.
(4)y＝(2x2－1)(3x＋1).
解　方法一　y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二　∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′
＝18x2＋4x－3.
反思感悟　利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式.
(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
跟踪训练2　求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
解　∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
(2)y＝x2＋tan x；
三、导数四则运算法则的应用
例3　(1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝ (80A.－40元/t B.－10元/t
C.10元/t D.40元/t
√
解析　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t.
√
解析　设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行.
∵y′＝ln x＋1，
∴ ＝ln x0＋1＝1，
解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1,0).
反思感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
(3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同.
1,1
1
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
1.知识清单：
(1)导数的运算法则.
(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则.
课堂小结
随堂演练
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1.设函数y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x B.－2exsin x
C.2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x)
√
解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x).
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解析　∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
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所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，
所以f′(－1)＝－1.
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课时对点练
基础巩固
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1.(多选)下列运算中正确的是
A.(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B.(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.
D.(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′
√
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解析　A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，故正确.
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解析　因为f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，
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3.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于
A.e2 B.e C. D.ln 2
√
解析　∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1(x>0)，
由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，
即ln x0＝1，解得x0＝e.
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4.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于
A.－1 B.－2 C.2 D.0
√
解析　∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
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其图象关于原点对称，故排除B，D.
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6.(多选)当函数y＝ (a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是
A.a B.0 C.－a D.a2
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7.已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是_______.
y＝x
解析　∵f(x)＝ex·sin x，
∴f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
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10.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
解　因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
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(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
解　由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
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综合运用
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解析　因为f(x)＝(x＋a)·ln x，x>0，
所以f′(1)＝1＋a.
又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，
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解析　f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，图(1)与图(2)中，
导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，
故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象.
由图(3)知f′(0)＝0，即f′(0)＝a2－1＝0，得a2＝1，
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拓广探究
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15.等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________.
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解析　因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，
所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，
所以f′(0)＝84＝212＝4 096.
16.已知函数f(x)＝ ，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
(1)求函数f(x)的解析式；
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因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.
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所以直线l的斜率