第五章 5.3.1函数的单调性 课件（共70张PPT）

(共70张PPT)
5.3.1　函数的单调性
第五章　§5.3　导数在研究函数中的应用
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
学习目标
同学们，对于函数的单调性，大家并不陌生，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法求了函数的单调区间，比如大家所熟悉的一次函数、二次函数等.当然，求单调区间的前提是要先确定函数的定义域，但是对于更复杂一些的函数，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，虽然定义法是解决问题的根本方法，但定义法比较烦琐，又不能画出函数图象，为了解决这个问题，就需要用到我们今天的知识：函数的单调性与导数的关系.
导语
随堂演练
课时对点练
一、函数的单调性与导数的关系
二、利用导数求函数的单调区间
三、由导数的信息画函数的大致图象
内容索引
一、函数的单调性与导数的关系
问题1　观察下面高台跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
提示　通过观察图象，可以发现
(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增，相应地，v(t)＝h′(t)>0；
(2)从最高点到入水，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减，相应地，v(t)＝h′(t)<0.
问题2　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系.
提示　(1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0；
(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0.
(3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数.而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x2>0；当x＝0时，其导数3x2＝0；
从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明，在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减.
知识梳理
函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递___
f′(x)<0 单调递___
增
减
注意点：(1)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化.
例1　利用导数判断下列函数的单调性：
所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
(3)f(x)＝x－ex(x>0).
解　因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1－ex<0，
所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减.
反思感悟　利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论.
解　因为f(x)＝x2－2x＋aln x，x∈(0，＋∞)，
所以f(x)＝x2－2x＋aln x在x∈(0，＋∞)上单调递增.
二、利用导数求函数的单调区间
例2　求下列函数的单调区间.
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
解　易知函数的定义域为(0，＋∞).
用x1分割定义域，得下表：
(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.
解　f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)<0得6x2＋6x－36<0，解得 －3故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
单调递减区间是(－3,2).
反思感悟　利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
或(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上单调递增.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减.
跟踪训练2　求下列函数的单调区间.
(1)f(x)＝x2·e－x；
解　易知函数的定义域为(－∞，＋∞).
f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·(2x－x2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 f(0) 单调递增 f(2) 单调递减
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2).
解　易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，
单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，0) (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f(x) 单调 递增 f(－1) 单调 递减 单调 递减 f(1) 单调
递增
三、由导数的信息画函数的大致图象
例3　已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0解　当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是单调递增的；
当0当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，
这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
故如图，
反思感悟　由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0.
跟踪训练3　(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的
√
解析　由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(0,2)时，导函数f′(x)>0，
函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象如图D.
(2)若函数y＝f′(x)图象如图所示，则y＝f(x)图象可能是
√
解析　由y＝f′(x)图象可得：在(－∞，b)上f′(x)≥0，在(b，＋∞)上f′(x)<0，
根据原函数图象与导函数图象的关系可得：y＝f(x)在(－∞，b)上单调递增，在(b，＋∞)上单调递减，可排除A，D，
且在x＝0处，f′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C.
1.知识清单：
(1)函数的单调性与其导数的关系.
(2)利用导数判断函数的单调性.
(3)利用导数求函数的单调区间.
(4)由导数的信息画函数的大致图象.
2.方法归纳：方程思想、分类讨论.
3.常见误区：忽略定义域的限制.
课堂小结
随堂演练
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1.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为
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解析　∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，
在(1,4)上单调递增，
∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0.
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2.(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是
A.(－∞，2) B.(0,3)
C.(3,4) D.(2，＋∞)
√
解析　∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，CD符合.
√
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解析　f′(x)＝ln x＋1(x>0)，令f′(x)>0，
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4.函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的单调递减区间是________.
课时对点练
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1.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为
A.(－2,0)∪(2，＋∞)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－2，－1)∪(1,2)
√
解析　因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，
所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.
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2.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是
A.在区间(－2,1)上，f(x)单调递增
B.在(1,2)上，f(x)单调递增
C.在(4,5)上，f(x)单调递增
D.在(－3，－2)上，f(x)单调递增
√
√
解析　由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，
所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)单调递增，
当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，
所以在(－3，－2)上，f(x)单调递减.
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3.函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为
A.(2，＋∞) B.(－∞，2)
C.(－∞，0) D.(0,2)
解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)<0，得0所以f(x)的单调递减区间为(0,2).
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5.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是
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解析　由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢，故选B.
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解析　由题中图象可知，f(x)的大致图象如图所示.
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7.函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的单调递减区间为____________.
(－2，－1)
解析　f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，
令f′(x)<0，解得－2所以函数f(x)的单调递减区间为(－2，－1).
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8.函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式
<0的解集为_________________.
(－3，－1)∪(0,1)
解析　由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，
f′(x)<0；
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
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9.判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性.
解　函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减.
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10.已知函数f(x)＝ 的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
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解　因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
由①②得a＝2，b＝3.
(因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去)
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(2)求函数f(x)的单调区间.
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综合运用
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11.函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是
√
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解析　因为f(x)＝xcos x，
所以f′(x)＝cos x－xsin x.
因为f′(－x)＝f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，
所以函数图象关于y轴对称.
由f′(0)＝1可排除C，D.
而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，排除B.
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12.已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是
A.f(a)＞f(b)＞f(0) B.f(0)＜f(c)＜f(d)
C.f(b)＜f(0)＜f(c) D.f(c)＜f(d)＜f(e)
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解析　由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上单调递增，在(b，c)上单调递减，所以f(a)f(b)>f(0)>f(c)，B，C错误；
f(c)1
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13.若定义在R上的函数y＝f(x)满足f′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为
A.f(a)eaf(0)
C.f(a)＝eaf(0) D.不能确定
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即f(a)>eaf(0).
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14.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是__________________.
(－∞，－1)∪(0,1)
解析　因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，
且f(x)在(－∞，0)上单调递减，
f(x)的草图如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1).
拓广探究
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15.(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是
A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2＋2
C.f(x)＝3－x D.f(x)＝cos x
√
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解析　设g(x)＝ex·f(x)，
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋1]ex>0，
所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；
对于D，g(x)＝ex·cos x，
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∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
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(2)求函数f(x)的单调区间.
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可知h(x)在(0，＋∞)上为减函数，
由h(1)＝0知，当0h(1)＝0，故f′(x)>0；
当x>1时，h(x)综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞).