第五章 5.3.2 第1课时　函数的极值 课件（共77张PPT）

(共77张PPT)
第1课时　函数的极值
第五章　5.3.2　函数的极值与最大(小)值
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导
数的关系.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
学习目标
同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值.
导语
随堂演练
课时对点练
一、函数极值概念的理解
二、求函数的极值
三、由极值求参数的值或范围
内容索引
一、函数极值概念的理解
问题1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
提示　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷.
问题2　你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
提示　以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.
知识梳理
极值点与极值的概念
1.极小值点与极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧 ，右侧 ，则把a叫做函数y＝f(x)的　　　　，f(a)叫做函数y＝f(x)的　　　.
f′(x)＜0
f′(x)＞0
极小值点
极小值
2.极大值点与极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧　　　　　，右侧　　　　　，则把b叫做函数y＝f(x)的　　　　，f(b)叫做函数y＝f(x)的　　　.
3.极大值点、极小值点统称为　　　，极大值和极小值统称为　　.
f′(x)＞0
f′(x)＜0
极大值点
极大值
极值点
极值
注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.
例1　函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
③⑤
解析　对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误；
对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确；
对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确.
反思感悟　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.
跟踪训练1　已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解析　由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，
其中c所以此时函数f(x)在(－∞，c)，(d，b)上单调递增，
在(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在(c，d)上单调递减，
所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值.
则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.
二、求函数的极值
例2　求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
解　函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－6x－9，
令f′(x)＝0，
即3x2－6x－9＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，
且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
(2)f(x)＝x－aln x(a∈R).
解　f(x)＝x－aln x的定义域为(0，＋∞)，
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，
解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
反思感悟　函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)＝0的根.
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
跟踪训练2　求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－x；
解　函数f(x)的定义域为R.
当x变化时，f(x)和f′(x)变化情况如下表：
(2)f(x)＝x2e－x.
解　函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 0 单调递增 4e－2 单调递减
因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)取得极大值，
三、由极值求参数的值或范围
例3　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝_____，b＝_____.
4
－11
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
但由于当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，
不符合题意，应舍去.
而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，
故a，b的值分别为4，－11.
解　f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示.
解得m>3.
故实数m的取值范围是(3，＋∞).
反思感悟　已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
跟踪训练3　若函数f(x)＝ x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同
的交点，则实数a的取值范围是__________.
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.
根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，
1.知识清单：
(1)函数极值的定义.
(2)函数极值的判定及求法.
(3)函数极值的应用.
2.方法归纳：方程思想、分类讨论.
3.常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件.
课堂小结
随堂演练
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1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是
A.在(1,2)上函数f(x)单调递增
B.在(3,4)上函数f(x)单调递减
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
√
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解析　根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0；
x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,5)时，f′(x)>0.
∴f(x)在(1,2)，(4,5)上单调递增，在(2,4)上单调递减，
x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点.
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2.(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是
A.(－∞，2) B.(3，＋∞)
C.(2，＋∞) D.(－∞，3)
√
解析　∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，
∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，
由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.
√
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3.设函数f(x)＝xex，则
A.x＝1为f(x)的极大值点
B.x＝1为f(x)的极小值点
C.x＝－1为f(x)的极大值点
D.x＝－1为f(x)的极小值点
√
解析　令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.
当x＜－1时，f′(x)＜0；
当x＞－1时，f′(x)＞0.
故x＝－1为f(x)的极小值点.
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4.已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝
是y＝f(x)的极值点，则a＝_____，b＝_______.
2
－4
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
课时对点练
基础巩固
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1.下列函数中存在极值的是
A.y＝ B.y＝x－ex
C.y＝2 D.y＝x3
解析　对于y＝x－ex，y′＝1－ex，
令y′＝0，得x＝0.
在区间(－∞，0)上，y′>0；
在区间(0，＋∞)上，y′<0.
故当x＝0时，函数y＝x－ex取得极大值.
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2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
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解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2当1当x>2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值.
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3.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为
A.－e B.－1
C.1－e D.0
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，
当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
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4.已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于
A.－4 B.－2 C.4 D.2
√
解析　∵f(x)＝x3－12x，
∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，
∴f(x)的极小值点为a＝2.
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5.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2＋a在x＝1处有极值为7，则a等于
A.－3或3 B.3或－9 C.3 D.－3
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解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
当a＝3，b＝－9时，f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x－1)(x＋3)，当－3当x>1时，f′(x)>0，x＝1是极小值点；
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，x＝1不是极值点.
∴a＝3.
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6.(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是
A.－4 B.－3 C.6 D.8
√
√
解析　由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，
所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
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7.函数f(x)＝ 的极小值为_____.
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令f′(x)<0，得x<－2或x>1；
令f′(x)>0，得－2所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，
在(－2,1)上单调递增，
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8.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝
_____.
经检验，符合题意.
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9.设函数f(x)＝aln x＋ ＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值；
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
解得a＝－1.
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(2)求函数f(x)的极值.
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当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值.
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10.设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
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解　f′(x)＝3x2－2x－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
极小值是f(1)＝a－1.
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(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
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解　函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点.
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
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综合运用
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11.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是
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解析　因为f(x)在x＝－2处取得极小值，
所以当x＜－2时，
f(x)单调递减，
即f′(x)＜0；
当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.
所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；
当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；
当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；
当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；
当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.
结合选项中的图象知选C.
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12.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是
A.(－1,0) B.(0,1)
C.(－∞，－1) D.(1，＋∞)
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解析　由题意知f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意；
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，
∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
可知x＝ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0,1).
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∴f′(x)＝2x2－5ax＋3a2，
由题意可得f′(3)＝2×9－15a＋3a2＝0，
整理得a2－5a＋6＝0，解得a＝2或a＝3.
当a＝2时，f′(x)＝2x2－10x＋12＝2(x－2)(x－3)，
令f′(x)>0，得x<2或x>3；
令f′(x)<0，得2此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极小值，不符合题意；
当a＝3时，f′(x)＝2x2－15x＋27＝(x－3)(2x－9).
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此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，符合题意.
综上所述，a＝3.
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14.若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______.
[1,5)
解析　∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根.
∴1≤a<5.
拓广探究
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15.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定
A.等于0 B.大于0
C.小于0 D.小于或等于0
√
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解析　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根.
由题图知，f′(x)<0的解集为(x0,2)，
∴3a>0，则b>0，
∵f(1)＋f(－1)＝2b，
∴f(1)＋f(－1)>0.
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解　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
分以下两种情况讨论：
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
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所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上单调递增，
在(－2a，a－2)上单调递减，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae－2a，
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)·ea－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
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所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上单调递增，在(a－2，－2a)上单调递减，
函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，
且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae－2a.