第五章 5.3.2 第2课时　函数的最大(小)值 课件（共68张PPT）

(共68张PPT)
第2课时　函数的最大(小)值
第五章　5.3.2　函数的极值与最大(小)值
1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.
学习目标
同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值.
导语
随堂演练
课时对点练
一、极值与最值的关系
二、求函数的最值
三、利用最值证明不等式
内容索引
一、极值与最值的关系
问题1　如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗？
提示　最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在.
问题2　开区间上的连续函数有最值吗？
提示　如图.
容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到.
知识梳理
函数最值的定义
(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值.
注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件.
例1　如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.
解　由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；
比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b).
反思感悟　最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
跟踪训练1　设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是
A.f(x)的极值点一定是最值点
B.f(x)的最值点一定是极值点
C.f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点
D.f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
√
解析　根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点.
可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，
若函数f(x)在区间[a，b]上单调，
则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确.
二、求函数的最值
例2　求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
解　因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，
所以f′(x)＝6x2－12
令f′(x)＝0，
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f(x)＝ x＋sin x，x∈[0,2π].
又x∈[0,2π]，
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
反思感悟　求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域.
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)求极值、端点处的函数值，确定最值.
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.
跟踪训练2　求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；
解　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37，
∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
当f′(x)＝0时，x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.
∴f(x)在(－∞，2)上单调递增，
在(2，＋∞)上单调递减，
三、利用最值证明不等式
例3　已知函数f(x)＝ex－e(ln x＋1)，求证f(x)≥0恒成立.
设F(x)＝xex－e(x>0)，则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且F(1)＝0.
f(x)的最小值为f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)≥0恒成立.
反思感悟　证不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果.
∴当x>1时，g(x)－f(x)>0，即f(x)1.知识清单：
(1)函数最值的定义.
(2)求函数最值.
(3)函数最值的应用.
2.方法归纳：转化化归、分类讨论.
3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系.
课堂小结
随堂演练
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1.下列结论正确的是
A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
√
解析　函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值.
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所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
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3.函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)
A.有最值，但无极值
B.有最值，也有极值
C.既无最值，也无极值
D.无最值，但有极值
√
解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
无最大值和最小值，也无极值.
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4.函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是______.
解析　f(x)＝(x＋1)ex f′(x)＝(x＋2)ex，
当x>－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
课时对点练
基础巩固
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1.设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)
A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定
解析　因为M＝m，
所以f(x)为常函数，
故f′(x)＝0，故选A.
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解析　f′(x)＝1－2sin x，
所以sin x∈[－1,0]，所以－2sin x∈[0,2].
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3.函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是
A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－19
解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝±1.
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1 [－3,0].
所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－17.
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4.当0A.f 2(x)C.f(x)√
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所以根据对数函数的单调性可知，当00，
从而可得f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
所以f(x2)所以有f(x2)1
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解析　设h(x)＝f(x)－g(x)
则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，
所以当x∈[1,3)时，h(x)单调递减；
当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增.
当x＝3时，函数h(x)取得极小值也是最小值.
因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，
所以h(x)min>0，即h(3)＝a>0，
所以a的取值范围是(0，＋∞).
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解析　由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
当x→－∞时，f(x)→0，
当x→＋∞时，f(x)→－∞，
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结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，
故C不正确，D正确.
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7.若函数f(x)＝x3－3x在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m＋n＝______.
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解析　f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去).
f(1)＝－2.
又f(0)＝0，f(3)＝18，所以m＝18，n＝－2，m＋n＝16.
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8.设0因为01
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9.求下列函数的最值：
(1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈ ；
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解　f′(x)＝cos x－sin x.
令f′(x)＝0，即tan x＝1，
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(2)f(x)＝ln(1＋x)－ x2，x∈[0,2].
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化简为x2＋x－2＝0，
解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当1又f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1>0，f(1)>f(2).
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10.已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－ 相切.
(1)求a，b的值；
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(2)求f(x)在 上的最大值.
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令f′(x)>0，得01，
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综合运用
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11.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b)
C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a)
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解析　令F(x)＝f(x)－g(x)，
∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).
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12.已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是
A.20 B.18 C.3 D.0
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解析　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，
所以f(x)在[－1,1]上单调递减，
在[1,2]和[－3，－1]上单调递增.
f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，
所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，
又由题设知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，
所以t≥20，故选A.
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当00；
当x>e时，g′(x)<0；
故选C.
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14.已知函数f(x)＝－ x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是______________.
15x－3y－2＝0
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解析　∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
即15x－3y－2＝0.
拓广探究
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15.已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是___________.
(－4，－2)
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16.已知函数f(x)＝ex－x2－ax.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
解　f′(x)＝ex－2x＋1，f′(1)＝e－1，f(1)＝e，
切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋1.
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(2)当x>0时，f(x)≥1－x恒成立，求实数a的取值范围.
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设F(x)＝ex－x－1，F′(x)＝ex－1，x∈(0，＋∞)，F′(x)＝ex－1>0，
所以F(x)min>0，所以当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
故g(x)min＝g(1)＝e－1，