整式的加减[上学期]
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文档简介
第十五章 整式
§15．1 整式的加减
课时安排
2课时
从容说课
本节包括整式与整式的加减，分两课时完成．整式属于概念课，教学时要力图概念形成的过程，可以首先给学生感性材料，让他们观察、分析、比较，找出材料中个体的共同点，最后进行抽象、概括．对单项式与多项式概念的处理采取逐步引入，层层加深的方法，这符合学生的认知规律，使学生能顺利接受，同时也培养了学生良好的思维习惯．整式的加减是在理解整式概念的基础上进行的初步运算，它的实质就是去括号、合并同类项，在理解算理的前提下，通过适当的训练，让学生掌握整式加减的一般步骤．
概念课，需要由特殊到一般，由具体到抽象，教学中力求向学生渗透数学知识来源于生活，又服务于生活的辩证关系．通过初步的符号表示与字母运算，进一步培养学生的数学推理能力．
§15．1．1 整式
第一课时
教学目标
（一）教学知识点
1．单项式、单项式的次数．
2．多项式、多项式的次数．
（二）能力训练要求
1．能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，让学生经历具体问题的探索过程，培养符号感．
2．理解单项式、多项式及其次数概念，进而理解整式概念．
（三）情感与价值观要求
通过丰富多彩的现实情景，让学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心．
教学重点
单项式及多项式的有关概念．
教学方法
讲授与自主探索相结合的方法．
在学生自主探索现实情景中用字母表示数的问题，认识代数式作用的基础上，教师进行启发式讲解，使学生掌握整式的有关概念．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]在七年级，同学们已经学习了用字母可以表示数，请同学们考虑下列问题．
1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？
2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？
[生]1．要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为·c·h．
2．小王的平均速度是．
[师]这些式子有什么特征呢？
[生1]有数字、有表示数字的字母．
[生2]数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．
[师]很好．像父母给你们起名字一样，我们也给它起个名子，叫代数式．
用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．
同学们可以用定义判断一下，我们上面得到的三个式子：a+b+c、ch、是不是代数式？
[生]是．
[师]代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．
Ⅱ．明确和巩固整式有关概念
（出示投影）
[师生共析]
（1）正方形的周长：4x．
（2）汽车走过的路程：vt．
（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长×宽×高，即a3．
（4）n的相反数是－n．
[师]请同学们分析这四个数的特征．
[生]它们是代数式．
[师]不错，符合代数式的定义．与a+b+c、ch、这三个代数式比较有没有特别之处呢？请分组讨论．
讨论分析：4x=4·x
vt=v·t
6a2=6·a·a
a3=a·a·a
-n=-1·n
可以发现这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、ch、中还有和与商的运算符号．
还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．
它是不是一个特殊的代数式呢？
[师]请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．
（出示投影）
根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．
[生]4x、vt、6a2、a3、-n、ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、ch都是二次单项式；a3是三次单项式．
[师]vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？
[生]不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式．
[师]你讲得太棒了，老师深受教育，希望同学们一定搞清概念的实质．
生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？
（出示投影）
[生]（1）t-5．（2）3x+5y+2z．
（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即ab-3.14r2．
（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．
我们可以观察下列代数式：
a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？
[师]这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．
根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．
[生1]a+b+c的项分别是a、b、c．
t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项．
3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z．
ab-3.14r2的项分别是ab、-3.14r2．
x2+2x+18的项分别是x2、2x、18．
[生2]找多项式的次数我认为应抓住两条，一是找准每个项的次数，二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．
[师]很好，你找准了概念的实质所在，解决问题就得心应手了，值得大家学习．
这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P162练习
2．补充练习
（1）下列说法正确的是（ ）
A．单项式A的系数是0 B．单项式a的次数是0
C．是单项式 D．1是单项式
（2）关于2×103·a，下列说法中正确的是（ ）
A．系数是2，次数是1 B．系数是2，次数是4
C．系数是2×103，次数是0 D．系数是2×103，次数是1
（3）已知出租汽车行驶3千米以内（包括3千米）的车费是7元，以后每行驶1千米，再加1元．如果某人坐出租汽车行驶了m千米（m是整数，且m≥3），则车费是（ ）
A．（7+m）元 B．（4+m）元 C．（7-m）元 D．（3+m）元
（4）下列各式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些不是整式？
-2a2，xy，（m-n），0，，1+，x2++1，x．
（5）写出系数是，含有字母a、b、c的五次单项式．
解：（1）D （2）D （3）B
（4）单项式：-2a2，xy，0，x；单项式：（m-n），1+；不是整式：，x2++1．
（5）a3bc，a2b2c，a2bc2，ab2c2，ab3c，abc3．
Ⅳ．课时小结
通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感．
Ⅴ．课后作业
1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．
2．预习“整式的加减”．
Ⅵ．活动与探究
1．10个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，问这个图形的表面积是多少？
过程：只要能搞清这个图形共有多少个能看见的正方形即可解决问题．
方法一：数一数．
方法二：找规律，前、后、左、右、上每面都有六个看得见的正方形，所以共有30个正方形．于是得这个图形的表面积是30a2．
结果：30a2．
2．xn+1-2xn+xn-1是四次三次式，则单项式（n2-2）xn-1yn+1的系数、次数分别是多少？
过程：xn+1-2xn+xn-1是四次三项式，xn+1、-2xn、xn-1中xn+1的次数最高，是n+1，所以n+1=4．解得n=3．把n=3代入单项式（n2-2）xn-1yn+1，得7x2y4，于是可以确定这个单项式的系数是7，次数是6．
结果：根据题意得n+1=4，所以n=3．
把n=3代入（n2-2）xn-1yn+1得单项式7x2y4．
所以此单项式的系数是7，次数是6．
板书设计
备课资料
一、从破解密码到“代数之父”
数学家有数学家的语言，他们会用一些抽象的字母和符号来表示．不过，这一套数学语言可不是天生的，是有人最先创造使用，然后其他人也开始用，才逐渐推广开的．
首先开始意识到有意识地、系统地使用符号的人就是韦达．韦达是16世纪末法国的科学家．因为他在发展现代的代数学上起了决定性的作用，后世称他为“代数之父”．
那个时候，西班牙和法国正在进行战争，有一次，法国军队截获了一些秘密信件，但是没有办法破译密码的意思．法国国王就请来了大名鼎鼎的韦达帮忙．经过一番研究，韦达终于揭开了密码的秘密，帮了法国军队一个忙．
韦达在破解密码时大受启发．在数学中，我们不也可以借助这样的做法吗？数学家可以约定好，特定的符号表示特定的意思，这样写起来就方便多了，也简单多了．对啊！以前怎么没想到呢？
后来，韦达又进一步研究，出版了一部数学专著．但不但用字母来表示未知数，还用字母来表示方程中的系数．比如一次方程我们可以表示为ax+b=0（a≠0）．
韦达是一个伟大的开拓者，他赢得了“代数之父”的美誉．不过他的工作还没有完成，后来很多科学家在他的基础上，不断完善这个符号体系．今天数学还在发展，数学语言也在不断地丰富它的“词汇”．
二、参考练习
1．把下列代数式分别填在相应的括号内：
a2b，，x2-x-1，-2，，-ab．
单项式{ }，多项式{ }，整式{ }．
2．下列说法正确的是（ ）
A．单项式-x2y的系数是-2，次数是2; B．单项式a的系数是0，次数为0
C．是二次单项式; D．单项式-系数为，次数为3
3．单项式-x3ym是六次单项式，求（-2）m的值．
4．单项式xy2-9xy+5x2y-25的二次项系数是_________．
5．多项式3xy2-4x3y+12的次数是___________．
答案：
1．单项式{-2，a2b，-ab}；
多项式{x2-x-1，}；
整式{a2b，x2-x-1，-2，，-ab}．
2．D 3．（-2）m=（-2）3=-8 4．-9 5．4
§15．1．2 整式的加减
第二课时
教学目标
（一）教学知识点
理解整式加减的实质就是去括号、合并同类项．
（二）能力训练要求
1．理解同类项概念并会合并同类项．
2．使学生在掌握合并同类项、去括号的基础上，掌握整式加减的一般步骤．
3．能正确地进行整式的加减运算．
（三）情感与价值观要求
1．在整式的加减运算中体会数学的简洁美．
2．在探索规律的过程中，获得成功的体验，增强学数学的信心．
教学重点
掌握整式的加减运算的一般步骤，能正确地进行整式的加减运算．
教学难点
利用整式的加减运算，解决简单的实际问题．
教学方法
探究──交流法．
在探究规律的过程中学会交流、合作，并能用整式的加减运算来解决生活中的简单问题．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]同学们，我们现在共同做一个数字游戏，观察游戏结果，看看你能发现什么？
1．任意写一个两位数；
2．交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个两位数；
3．求这两个两位数的和．
[生]我取12，交换这个两位数的十位数和个位数，又得到数字21；12+12=33．
再取25，按上述操作步骤进行，得25+52=77．
再取86，又可得到86+68=154．
可以发现33、77、154，它们都是11的倍数．
[师]这个规律对任意的两位数都成立吗？为什么？
（鼓励同伴之间相互讨论，相互启发）
[生]对任意一个两位数，我们可以用字母表示数的形式将其表示出来，设这个数的十位数是a，个位数是b，则这个两位数可以表示为10a+b，交换这个数的十位数字和个位数字后得的两位数是10b+a；这两个数相加为：（10a+b）+（10b+a）．
要证它是11的倍数，需要将上述式子化简，若能化为11乘以某个整数，就可以达到目
的了．
[师]你的思路很清晰．刚才提到的运算问题正是我们本节课要解决的．
Ⅱ．导入新课
（出示投影）
学生活动：教师提出下列启发性问题，让学生讨论、争辩，最后达到明确概念的目的．
1．上述三个多项式都由哪些单项式构成？
2．每个多项式中的单项式有没有共同的地方？它们有什么特征．
3．用你学过的知识能否解决上述运算？
[生1]（1）3x2+2x2由3x2和2x2构成，其中3x2和2x2都含有字母x，并且都是2次，只是系数不同．（2）与（1）有相同之处，也有区别．这个多项式的项是3ab2和-4ab2，它们都含有字母a、b，并且a都是一次，b都是二次，我认为（3）是（1）（2）的综合运用，要能解（1）（2），（3）就不难解．
[生2]对，我们学过加法的交换律与结合律，
（3）就可以变为（4x2-8x2）+（2x+3x）+（7-2）．
[师]大家分析得很好，我们可以给这些具有共同特征的项起个名字，叫同类项．
（出示投影）
[生1]7和-2是同类项吗？
[生2]当然是了．
[师]请同学们完成上述运算．
[生]（1）3x2+2x2=（3+2）x2=5x2；
（2）3ab2-4ab2=（3-4）ab2=-ab2；
（3）4x2+2x+7+3x-8x2-2
=（4x2-8x2）+（2x+3x）+（7-2）
=（4-8）x2+（2+3）x+（7-2）
=-4x2+5x+5．
[师]（3）与（1）（2）比较运算较为复杂，请同学们总结运算方法，交流运算心得．
讨论结果总结：
1．多项式中含有同类项，但不在一起．
2．利用运算的交换律、结合律把同类项放在一起，用括号括起来．
3．把多项式中的同类项合并成一项．
4．使多项式中不含同类项，此多项式就化为最简了．
练一练：
1．计算：3xy-4xy+5xy．
2．下列各题计算的结果对不对？如果不对请指出错在哪里．
（1）3a+2b=5ab；
（2）5y2-2y2=3；
（3）2ab-2ba=0；
（4）3x2y-5xy2=-2x2y．
学生板演：
1．3xy-4xy+5xy=（3-4+5）xy=4xy．
2．（1）3a与2b不是同类项，不能合并．
（2）5y2-2y2=（5-2）y2=3y2．
（3）正确．
（4）3x2y与-5xy2不是同类项．因同一字母的指数不相同，所以不能合并．
[师]把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项时，首先应认准同类项，特别要注意相同字母的指数也相同这一条．
生活中常常出现多项式加多项式，其结果还是多项式，利用我们学过的知识，可不可以将它化简呢？现在解决我们开课时数字游戏的证明问题．
（10a+b）+（10b+a）
=10a+b+10b+a （去括号）
=（10a+a）+（b+10b） （合并同类项）
=11a+11b
=11（a+b）．
所以，注意一个两位数与交换这个两位数的十位数字与个位数字后得到的新数的和一定是11的倍数．
多项式与单项式统称为整式，所以我们现在可以解决整式的加减运算问题．
（出示投影）
[师生共析]小纸盒的表面积是（2ab+2bc+2ca）cm，
大纸盒的表面积为（2×1.5a×2b+2×2b×2c+2×2c×1.5a）cm
=（6ab+8bc+6ca）cm．
（1）做这两个纸盒共用料（单位：cm2）．
（2ab+2bc+2ca）+（6ab+8bc+6ca）
=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca
=（2ab+6ab）+（2bc+8bc）+（2ca+6ca）（熟练后此步可省略）
=8ab+10bc+8ca．
（2）（6ab+8bc+6ca）-（2ab+2bc+2ca）
=6ab+8bc+6ca-2ab-2bc-2ca
=4ab+6bc+4ca．
总结整式相加减的实质和一般步骤．
一般步骤：
1．根据题意，列出代数式．
2．去括号．（特别注意括号前面是“－”时，括号内每一项都改变符号）
3．合并同类项．
化简结果：不含同类项的整式．
通常把一个多项式的各项按照某字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．如-4x2+5x+5也可以写成5+5x-4x2．
整式加减的实质就是去括号，合并同类项．
[例2]求x-2（x-y2）+（-x+y2）的值，其中x=-2，y=．
分析：可以用两种方法完成．
方法一：直接代入求值．
方法二：先化简后求值．
请同学们两种方法完成，比较一下，哪种解法简便．
解法一：将x=-2，y=代入
原式=×（-2）-2[-2-×（）2]+[- ×（-2）+×（）2]
=-1-2（-2-）+（3+）
=-1+4++3+
=6+
=6.
解法二：原式=x-2x+y2-x+y2
=-3x+y2．
将x=-2，y=代入得
原式=-3×（-2）+（）2=6．
（让学生亲自体验化简的好处，才能记忆深刻，乐于其道）
Ⅲ．随堂练习
1．课本P166练习 1、2、3
2．补充练习
（出示投影）
训练要求：
对于（1）题，可让学生分组运算，然后比较运算结果，使学生进一步体会准确掌握运算律的重要性．
对于（2）（3），意在训练利用整式运算解决实际问题的能力．
（2）这个多项式为：
（3x4-5x3-3）-（2x2-x3-5-3x4）
=3x4-5x3-3-2x2+x3+5+3x4
=6x4-4x3-2x2+2．
（3）三角形第二边为（a+2b）+（b-2）=a+2b+b-2=a+3b-2．
第三边为（a+3b-2）-5=a+3b-7．
所以L=（a+2b）+（a+3b-2）+（a+3b-7）
=a+2b+a+3b-2+a+3b-7
=3a+8b-9．
Ⅳ．课时小结
（出示投影）
Ⅴ．课后作业
1．课本P165～P166习题15．1─3、4、7、8、10题．
2．自己设计一个数字游戏，并用整式加减运算说明其中的规律．
Ⅵ．活动与探究
用砖砌成如图所示的墙，已知每块砖长一定，宽为bcm，则图中留出方孔（图中阴影部分）的面积之和是多少？
过程：求图中阴影部分的面积有两种方法：一种直接求，只要求出三个阴影部分小正方形的边长就可，其边长恰好每块砖的长与宽的差；另一种是间接求，三个阴影部分的面积等于墙的面积减去22块砖的面积，但也需求出砖的长才可求出．
结果：方法一（直接法）：设砖的长为xcm，根据题意，列方程得
5x=3x+3b．
2x=3b．
x=b．
所以阴影部分每个小正方形的边长为b-b=b（cm），阴影部分的面积为
3×（b）2=b2（cm2）．
方法二（间接法）：同方法一求出砖的长为bcm，整个墙的面积为
S墙=（5×b）×（3b+b）=33b2（cm2）．
22块砖的面积为S砖=22×b×b=33b2（cm2）．
所以图中留出方孔的面积S阴=33b2-33b2=b2（cm2）．
板书设计
备课资料
参考例题
[例1]已知A+B=3x2-5x+1，A-C=-2x+3x2-5，当x=2时，求B+C的值．
解：B+C=（A+B）-（A-C）=（3x2-5x+1）-（-2x+3x2-5）=3x2-5x+1+2x-3x2+5=-3x+6．
当x=2时，原式=-3x+6=-3×2+6=0．
评述：先观察分析到B+C=A+B-A+C=（A+B）-（A-C）是解本题的关键．因此，一定要先观察，再分析．
[例2]已知有理数a、b、c如图所示，化简│a+b│-│c-a│．
解：由已知得：a<0，b>0，c<0且│a│<│b│，│c│>│a│，所以a+b>0，c-a<0．
│a+b│-│c-a│=（a+b）-[-（c-a）]=a+b+c-a=b+c．
评注：要化简掉绝对值符号，必须判定被绝对值的数的正负，然后由绝对值定义化掉绝对值符号．
[例3]已知=2．
求代数式的值．
解：由=2，得xy=2（x+y）．
====
评述：此题运用了“整体”代换的思想，把xy和x+y分别看作“整体”，添括号在形成“整体”的过程中起了很重要的作用．
[例4]三角形的周长为48，第一边长为3a+2b，第二边长的2倍比第一边少a-2b+2，求第三边长．
解：根据题意，得
48-（3a+2b）-[（3a+2b）-（a-2b+2）]
=48-3a-2b-[3a+2b-a+2b-2]
=48-3a-2b- [2a+4b-2]
=48-3a-2b-a-2b+1
=49-4a-4b，
所以第三边的长为49-4a-4b．
评述：先求出第二边，利用等式第二边×=第一边-（a-2b+2），求得第二边为[（3a+2b）-（a-2b+2）]，再利用三角形的周长即可解出答案．
§15．1．1 整式
1．单项式：数和字母的积的代数式
①单项式的系数：单项式中的数字因数．
②单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．
③单独一个数和一个字母也是单项式．
2．多项式：几个单项式的和
①多项式的项：（常数项）
②多项式的次数：次数最高项的次数．
3．整式
4．随堂练习
几个单项式的和叫做多项式．
多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项．
多项式中次数最高的项的次数即这个多项式的次数．
思考：
先填空，再看看列出的代数式有什么特点．
（1）温度由t℃下降5℃后是________℃；
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要________元．
（3）如图（1），三角尺的面积为（取3.14）_________；
（4）图（2）是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是_________米2．
都是数字或字母的积的代数式叫做单项式．
单独的一个数或一个字母也是单项式．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
思考：
先填空，再看看列出的代数式有什么特点．
（1）边长为x的正方形的周长为_________；
（2）一辆汽车的速度是v千米/时，行驶t小时所走过的路程为_______千米．
（3）如图，正方体的表面积为_______，正方体的体积为________；
（4）设n表示一个数，则它的相反数是________．
探究：
（1）3x2+2x2=（ ）x2
（2）3ab2-4ab2=（ ）ab2
（3）4x2+2x+7+3x-8x2-2=（ ）x2+（ ）x+（ ）
1．所含字母相同．
2．相同字母的指数也相同．
同时满足1、2的项叫同类项，几个常数项也是同类项．
同类项相加，只须将其系数相加，后面字母与相同字母的指数仍保持不变．
根据上述概念，我们可以得出：3x2、2x2；2x、3x；3ab2、-4ab2都是同类项．
[例1]做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）：
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
（1）A=x3+x2+x+1，B=x+x2．求A+B，B+A，A-B，B-A．
（2）一个多项式加上2x2-x3-5-3x4得3x4-5x3-3，求这个多项式．
（3）三角形第一边是a+2b，第二边比第一边大b-2，第三边比第二边小5，求这个三角形的周长L．
1．整式加减实际上是__________．
2．整式加减的步骤一般分为____________．
3．整式加减的结果是_________．
§15．1 整式的加减
课时安排
2课时
从容说课
本节包括整式与整式的加减，分两课时完成．整式属于概念课，教学时要力图概念形成的过程，可以首先给学生感性材料，让他们观察、分析、比较，找出材料中个体的共同点，最后进行抽象、概括．对单项式与多项式概念的处理采取逐步引入，层层加深的方法，这符合学生的认知规律，使学生能顺利接受，同时也培养了学生良好的思维习惯．整式的加减是在理解整式概念的基础上进行的初步运算，它的实质就是去括号、合并同类项，在理解算理的前提下，通过适当的训练，让学生掌握整式加减的一般步骤．
概念课，需要由特殊到一般，由具体到抽象，教学中力求向学生渗透数学知识来源于生活，又服务于生活的辩证关系．通过初步的符号表示与字母运算，进一步培养学生的数学推理能力．
§15．1．1 整式
第一课时
教学目标
（一）教学知识点
1．单项式、单项式的次数．
2．多项式、多项式的次数．
（二）能力训练要求
1．能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，让学生经历具体问题的探索过程，培养符号感．
2．理解单项式、多项式及其次数概念，进而理解整式概念．
（三）情感与价值观要求
通过丰富多彩的现实情景，让学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心．
教学重点
单项式及多项式的有关概念．
教学方法
讲授与自主探索相结合的方法．
在学生自主探索现实情景中用字母表示数的问题，认识代数式作用的基础上，教师进行启发式讲解，使学生掌握整式的有关概念．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]在七年级，同学们已经学习了用字母可以表示数，请同学们考虑下列问题．
1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？
2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？
[生]1．要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为·c·h．
2．小王的平均速度是．
[师]这些式子有什么特征呢？
[生1]有数字、有表示数字的字母．
[生2]数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．
[师]很好．像父母给你们起名字一样，我们也给它起个名子，叫代数式．
用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．
同学们可以用定义判断一下，我们上面得到的三个式子：a+b+c、ch、是不是代数式？
[生]是．
[师]代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．
Ⅱ．明确和巩固整式有关概念
（出示投影）
[师生共析]
（1）正方形的周长：4x．
（2）汽车走过的路程：vt．
（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长×宽×高，即a3．
（4）n的相反数是－n．
[师]请同学们分析这四个数的特征．
[生]它们是代数式．
[师]不错，符合代数式的定义．与a+b+c、ch、这三个代数式比较有没有特别之处呢？请分组讨论．
讨论分析：4x=4·x
vt=v·t
6a2=6·a·a
a3=a·a·a
-n=-1·n
可以发现这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、ch、中还有和与商的运算符号．
还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．
它是不是一个特殊的代数式呢？
[师]请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．
（出示投影）
根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．
[生]4x、vt、6a2、a3、-n、ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、ch都是二次单项式；a3是三次单项式．
[师]vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？
[生]不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式．
[师]你讲得太棒了，老师深受教育，希望同学们一定搞清概念的实质．
生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？
（出示投影）
[生]（1）t-5．（2）3x+5y+2z．
（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即ab-3.14r2．
（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．
我们可以观察下列代数式：
a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？
[师]这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．
根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．
[生1]a+b+c的项分别是a、b、c．
t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项．
3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z．
ab-3.14r2的项分别是ab、-3.14r2．
x2+2x+18的项分别是x2、2x、18．
[生2]找多项式的次数我认为应抓住两条，一是找准每个项的次数，二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．
[师]很好，你找准了概念的实质所在，解决问题就得心应手了，值得大家学习．
这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P162练习
2．补充练习
（1）下列说法正确的是（ ）
A．单项式A的系数是0 B．单项式a的次数是0
C．是单项式 D．1是单项式
（2）关于2×103·a，下列说法中正确的是（ ）
A．系数是2，次数是1 B．系数是2，次数是4
C．系数是2×103，次数是0 D．系数是2×103，次数是1
（3）已知出租汽车行驶3千米以内（包括3千米）的车费是7元，以后每行驶1千米，再加1元．如果某人坐出租汽车行驶了m千米（m是整数，且m≥3），则车费是（ ）
A．（7+m）元 B．（4+m）元 C．（7-m）元 D．（3+m）元
（4）下列各式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些不是整式？
-2a2，xy，（m-n），0，，1+，x2++1，x．
（5）写出系数是，含有字母a、b、c的五次单项式．
解：（1）D （2）D （3）B
（4）单项式：-2a2，xy，0，x；单项式：（m-n），1+；不是整式：，x2++1．
（5）a3bc，a2b2c，a2bc2，ab2c2，ab3c，abc3．
Ⅳ．课时小结
通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感．
Ⅴ．课后作业
1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．
2．预习“整式的加减”．
Ⅵ．活动与探究
1．10个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，问这个图形的表面积是多少？
过程：只要能搞清这个图形共有多少个能看见的正方形即可解决问题．
方法一：数一数．
方法二：找规律，前、后、左、右、上每面都有六个看得见的正方形，所以共有30个正方形．于是得这个图形的表面积是30a2．
结果：30a2．
2．xn+1-2xn+xn-1是四次三次式，则单项式（n2-2）xn-1yn+1的系数、次数分别是多少？
过程：xn+1-2xn+xn-1是四次三项式，xn+1、-2xn、xn-1中xn+1的次数最高，是n+1，所以n+1=4．解得n=3．把n=3代入单项式（n2-2）xn-1yn+1，得7x2y4，于是可以确定这个单项式的系数是7，次数是6．
结果：根据题意得n+1=4，所以n=3．
把n=3代入（n2-2）xn-1yn+1得单项式7x2y4．
所以此单项式的系数是7，次数是6．
板书设计
备课资料
一、从破解密码到“代数之父”
数学家有数学家的语言，他们会用一些抽象的字母和符号来表示．不过，这一套数学语言可不是天生的，是有人最先创造使用，然后其他人也开始用，才逐渐推广开的．
首先开始意识到有意识地、系统地使用符号的人就是韦达．韦达是16世纪末法国的科学家．因为他在发展现代的代数学上起了决定性的作用，后世称他为“代数之父”．
那个时候，西班牙和法国正在进行战争，有一次，法国军队截获了一些秘密信件，但是没有办法破译密码的意思．法国国王就请来了大名鼎鼎的韦达帮忙．经过一番研究，韦达终于揭开了密码的秘密，帮了法国军队一个忙．
韦达在破解密码时大受启发．在数学中，我们不也可以借助这样的做法吗？数学家可以约定好，特定的符号表示特定的意思，这样写起来就方便多了，也简单多了．对啊！以前怎么没想到呢？
后来，韦达又进一步研究，出版了一部数学专著．但不但用字母来表示未知数，还用字母来表示方程中的系数．比如一次方程我们可以表示为ax+b=0（a≠0）．
韦达是一个伟大的开拓者，他赢得了“代数之父”的美誉．不过他的工作还没有完成，后来很多科学家在他的基础上，不断完善这个符号体系．今天数学还在发展，数学语言也在不断地丰富它的“词汇”．
二、参考练习
1．把下列代数式分别填在相应的括号内：
a2b，，x2-x-1，-2，，-ab．
单项式{ }，多项式{ }，整式{ }．
2．下列说法正确的是（ ）
A．单项式-x2y的系数是-2，次数是2; B．单项式a的系数是0，次数为0
C．是二次单项式; D．单项式-系数为，次数为3
3．单项式-x3ym是六次单项式，求（-2）m的值．
4．单项式xy2-9xy+5x2y-25的二次项系数是_________．
5．多项式3xy2-4x3y+12的次数是___________．
答案：
1．单项式{-2，a2b，-ab}；
多项式{x2-x-1，}；
整式{a2b，x2-x-1，-2，，-ab}．
2．D 3．（-2）m=（-2）3=-8 4．-9 5．4
§15．1．2 整式的加减
第二课时
教学目标
（一）教学知识点
理解整式加减的实质就是去括号、合并同类项．
（二）能力训练要求
1．理解同类项概念并会合并同类项．
2．使学生在掌握合并同类项、去括号的基础上，掌握整式加减的一般步骤．
3．能正确地进行整式的加减运算．
（三）情感与价值观要求
1．在整式的加减运算中体会数学的简洁美．
2．在探索规律的过程中，获得成功的体验，增强学数学的信心．
教学重点
掌握整式的加减运算的一般步骤，能正确地进行整式的加减运算．
教学难点
利用整式的加减运算，解决简单的实际问题．
教学方法
探究──交流法．
在探究规律的过程中学会交流、合作，并能用整式的加减运算来解决生活中的简单问题．
教具准备
投影片．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]同学们，我们现在共同做一个数字游戏，观察游戏结果，看看你能发现什么？
1．任意写一个两位数；
2．交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个两位数；
3．求这两个两位数的和．
[生]我取12，交换这个两位数的十位数和个位数，又得到数字21；12+12=33．
再取25，按上述操作步骤进行，得25+52=77．
再取86，又可得到86+68=154．
可以发现33、77、154，它们都是11的倍数．
[师]这个规律对任意的两位数都成立吗？为什么？
（鼓励同伴之间相互讨论，相互启发）
[生]对任意一个两位数，我们可以用字母表示数的形式将其表示出来，设这个数的十位数是a，个位数是b，则这个两位数可以表示为10a+b，交换这个数的十位数字和个位数字后得的两位数是10b+a；这两个数相加为：（10a+b）+（10b+a）．
要证它是11的倍数，需要将上述式子化简，若能化为11乘以某个整数，就可以达到目
的了．
[师]你的思路很清晰．刚才提到的运算问题正是我们本节课要解决的．
Ⅱ．导入新课
（出示投影）
学生活动：教师提出下列启发性问题，让学生讨论、争辩，最后达到明确概念的目的．
1．上述三个多项式都由哪些单项式构成？
2．每个多项式中的单项式有没有共同的地方？它们有什么特征．
3．用你学过的知识能否解决上述运算？
[生1]（1）3x2+2x2由3x2和2x2构成，其中3x2和2x2都含有字母x，并且都是2次，只是系数不同．（2）与（1）有相同之处，也有区别．这个多项式的项是3ab2和-4ab2，它们都含有字母a、b，并且a都是一次，b都是二次，我认为（3）是（1）（2）的综合运用，要能解（1）（2），（3）就不难解．
[生2]对，我们学过加法的交换律与结合律，
（3）就可以变为（4x2-8x2）+（2x+3x）+（7-2）．
[师]大家分析得很好，我们可以给这些具有共同特征的项起个名字，叫同类项．
（出示投影）
[生1]7和-2是同类项吗？
[生2]当然是了．
[师]请同学们完成上述运算．
[生]（1）3x2+2x2=（3+2）x2=5x2；
（2）3ab2-4ab2=（3-4）ab2=-ab2；
（3）4x2+2x+7+3x-8x2-2
=（4x2-8x2）+（2x+3x）+（7-2）
=（4-8）x2+（2+3）x+（7-2）
=-4x2+5x+5．
[师]（3）与（1）（2）比较运算较为复杂，请同学们总结运算方法，交流运算心得．
讨论结果总结：
1．多项式中含有同类项，但不在一起．
2．利用运算的交换律、结合律把同类项放在一起，用括号括起来．
3．把多项式中的同类项合并成一项．
4．使多项式中不含同类项，此多项式就化为最简了．
练一练：
1．计算：3xy-4xy+5xy．
2．下列各题计算的结果对不对？如果不对请指出错在哪里．
（1）3a+2b=5ab；
（2）5y2-2y2=3；
（3）2ab-2ba=0；
（4）3x2y-5xy2=-2x2y．
学生板演：
1．3xy-4xy+5xy=（3-4+5）xy=4xy．
2．（1）3a与2b不是同类项，不能合并．
（2）5y2-2y2=（5-2）y2=3y2．
（3）正确．
（4）3x2y与-5xy2不是同类项．因同一字母的指数不相同，所以不能合并．
[师]把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项时，首先应认准同类项，特别要注意相同字母的指数也相同这一条．
生活中常常出现多项式加多项式，其结果还是多项式，利用我们学过的知识，可不可以将它化简呢？现在解决我们开课时数字游戏的证明问题．
（10a+b）+（10b+a）
=10a+b+10b+a （去括号）
=（10a+a）+（b+10b） （合并同类项）
=11a+11b
=11（a+b）．
所以，注意一个两位数与交换这个两位数的十位数字与个位数字后得到的新数的和一定是11的倍数．
多项式与单项式统称为整式，所以我们现在可以解决整式的加减运算问题．
（出示投影）
[师生共析]小纸盒的表面积是（2ab+2bc+2ca）cm，
大纸盒的表面积为（2×1.5a×2b+2×2b×2c+2×2c×1.5a）cm
=（6ab+8bc+6ca）cm．
（1）做这两个纸盒共用料（单位：cm2）．
（2ab+2bc+2ca）+（6ab+8bc+6ca）
=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca
=（2ab+6ab）+（2bc+8bc）+（2ca+6ca）（熟练后此步可省略）
=8ab+10bc+8ca．
（2）（6ab+8bc+6ca）-（2ab+2bc+2ca）
=6ab+8bc+6ca-2ab-2bc-2ca
=4ab+6bc+4ca．
总结整式相加减的实质和一般步骤．
一般步骤：
1．根据题意，列出代数式．
2．去括号．（特别注意括号前面是“－”时，括号内每一项都改变符号）
3．合并同类项．
化简结果：不含同类项的整式．
通常把一个多项式的各项按照某字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．如-4x2+5x+5也可以写成5+5x-4x2．
整式加减的实质就是去括号，合并同类项．
[例2]求x-2（x-y2）+（-x+y2）的值，其中x=-2，y=．
分析：可以用两种方法完成．
方法一：直接代入求值．
方法二：先化简后求值．
请同学们两种方法完成，比较一下，哪种解法简便．
解法一：将x=-2，y=代入
原式=×（-2）-2[-2-×（）2]+[- ×（-2）+×（）2]
=-1-2（-2-）+（3+）
=-1+4++3+
=6+
=6.
解法二：原式=x-2x+y2-x+y2
=-3x+y2．
将x=-2，y=代入得
原式=-3×（-2）+（）2=6．
（让学生亲自体验化简的好处，才能记忆深刻，乐于其道）
Ⅲ．随堂练习
1．课本P166练习 1、2、3
2．补充练习
（出示投影）
训练要求：
对于（1）题，可让学生分组运算，然后比较运算结果，使学生进一步体会准确掌握运算律的重要性．
对于（2）（3），意在训练利用整式运算解决实际问题的能力．
（2）这个多项式为：
（3x4-5x3-3）-（2x2-x3-5-3x4）
=3x4-5x3-3-2x2+x3+5+3x4
=6x4-4x3-2x2+2．
（3）三角形第二边为（a+2b）+（b-2）=a+2b+b-2=a+3b-2．
第三边为（a+3b-2）-5=a+3b-7．
所以L=（a+2b）+（a+3b-2）+（a+3b-7）
=a+2b+a+3b-2+a+3b-7
=3a+8b-9．
Ⅳ．课时小结
（出示投影）
Ⅴ．课后作业
1．课本P165～P166习题15．1─3、4、7、8、10题．
2．自己设计一个数字游戏，并用整式加减运算说明其中的规律．
Ⅵ．活动与探究
用砖砌成如图所示的墙，已知每块砖长一定，宽为bcm，则图中留出方孔（图中阴影部分）的面积之和是多少？
过程：求图中阴影部分的面积有两种方法：一种直接求，只要求出三个阴影部分小正方形的边长就可，其边长恰好每块砖的长与宽的差；另一种是间接求，三个阴影部分的面积等于墙的面积减去22块砖的面积，但也需求出砖的长才可求出．
结果：方法一（直接法）：设砖的长为xcm，根据题意，列方程得
5x=3x+3b．
2x=3b．
x=b．
所以阴影部分每个小正方形的边长为b-b=b（cm），阴影部分的面积为
3×（b）2=b2（cm2）．
方法二（间接法）：同方法一求出砖的长为bcm，整个墙的面积为
S墙=（5×b）×（3b+b）=33b2（cm2）．
22块砖的面积为S砖=22×b×b=33b2（cm2）．
所以图中留出方孔的面积S阴=33b2-33b2=b2（cm2）．
板书设计
备课资料
参考例题
[例1]已知A+B=3x2-5x+1，A-C=-2x+3x2-5，当x=2时，求B+C的值．
解：B+C=（A+B）-（A-C）=（3x2-5x+1）-（-2x+3x2-5）=3x2-5x+1+2x-3x2+5=-3x+6．
当x=2时，原式=-3x+6=-3×2+6=0．
评述：先观察分析到B+C=A+B-A+C=（A+B）-（A-C）是解本题的关键．因此，一定要先观察，再分析．
[例2]已知有理数a、b、c如图所示，化简│a+b│-│c-a│．
解：由已知得：a<0，b>0，c<0且│a│<│b│，│c│>│a│，所以a+b>0，c-a<0．
│a+b│-│c-a│=（a+b）-[-（c-a）]=a+b+c-a=b+c．
评注：要化简掉绝对值符号，必须判定被绝对值的数的正负，然后由绝对值定义化掉绝对值符号．
[例3]已知=2．
求代数式的值．
解：由=2，得xy=2（x+y）．
====
评述：此题运用了“整体”代换的思想，把xy和x+y分别看作“整体”，添括号在形成“整体”的过程中起了很重要的作用．
[例4]三角形的周长为48，第一边长为3a+2b，第二边长的2倍比第一边少a-2b+2，求第三边长．
解：根据题意，得
48-（3a+2b）-[（3a+2b）-（a-2b+2）]
=48-3a-2b-[3a+2b-a+2b-2]
=48-3a-2b- [2a+4b-2]
=48-3a-2b-a-2b+1
=49-4a-4b，
所以第三边的长为49-4a-4b．
评述：先求出第二边，利用等式第二边×=第一边-（a-2b+2），求得第二边为[（3a+2b）-（a-2b+2）]，再利用三角形的周长即可解出答案．
§15．1．1 整式
1．单项式：数和字母的积的代数式
①单项式的系数：单项式中的数字因数．
②单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．
③单独一个数和一个字母也是单项式．
2．多项式：几个单项式的和
①多项式的项：（常数项）
②多项式的次数：次数最高项的次数．
3．整式
4．随堂练习
几个单项式的和叫做多项式．
多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项．
多项式中次数最高的项的次数即这个多项式的次数．
思考：
先填空，再看看列出的代数式有什么特点．
（1）温度由t℃下降5℃后是________℃；
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要________元．
（3）如图（1），三角尺的面积为（取3.14）_________；
（4）图（2）是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是_________米2．
都是数字或字母的积的代数式叫做单项式．
单独的一个数或一个字母也是单项式．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
思考：
先填空，再看看列出的代数式有什么特点．
（1）边长为x的正方形的周长为_________；
（2）一辆汽车的速度是v千米/时，行驶t小时所走过的路程为_______千米．
（3）如图，正方体的表面积为_______，正方体的体积为________；
（4）设n表示一个数，则它的相反数是________．
探究：
（1）3x2+2x2=（ ）x2
（2）3ab2-4ab2=（ ）ab2
（3）4x2+2x+7+3x-8x2-2=（ ）x2+（ ）x+（ ）
1．所含字母相同．
2．相同字母的指数也相同．
同时满足1、2的项叫同类项，几个常数项也是同类项．
同类项相加，只须将其系数相加，后面字母与相同字母的指数仍保持不变．
根据上述概念，我们可以得出：3x2、2x2；2x、3x；3ab2、-4ab2都是同类项．
[例1]做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）：
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
（1）A=x3+x2+x+1，B=x+x2．求A+B，B+A，A-B，B-A．
（2）一个多项式加上2x2-x3-5-3x4得3x4-5x3-3，求这个多项式．
（3）三角形第一边是a+2b，第二边比第一边大b-2，第三边比第二边小5，求这个三角形的周长L．
1．整式加减实际上是__________．
2．整式加减的步骤一般分为____________．
3．整式加减的结果是_________．