第五章 5.1.1变化率问题 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 第五章 5.1.1变化率问题 学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 701.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 07:50:10 | ||
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文档简介
本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享
§5.1 导数的概念及其意义
5．1.1 变化率问题
学习目标 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.3.体会极限思想．
导语
同学们，大家知道，在高速路上经常看到“区间测速”这样的提醒，这其实是在提醒司机安全驾驶，其实它测速的方式是在固定的路程上，看你用了多少时间，从而达到测速的目的；大家也经常能听到家长们讨论车辆油耗的问题，你的车几个油？这里所说的几个油实际上是汽车百公里的油耗，不过有些车上可以查看汽车的瞬时油耗，今天我们就来研究生活中的变化率问题．
一、平均速度
问题1 在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤内的平均速度吗？
提示 0≤t≤0.5时，＝＝4.05(m/s)；1≤t≤2时，＝＝－8.2(m/s)；0≤t≤时，＝＝0(m/s)；虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
例1 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈.
(1)分别求s(t)在区间和上的平均速度；
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义．
解 (1)物体在区间上的平均速度为1＝＝＝＝.
物体在区间上的平均速度为
2＝＝＝.
(2)由(1)可知1－2＝>0，所以2<1.作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s(t)＝sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢．
反思感悟 求物体运动的平均速度的主要步骤
(1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)，
(2)再计算时间的改变量t2－t1，
(3)得平均速度＝.
跟踪训练1 一质点按运动方程s(t)＝作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为( )
A．－1 B．－ C．－2 D．2
答案 B
解析 ＝＝－1＝－.
二、瞬时速度
问题2 我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？
提示 由＝可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了．我们把函数值的增量f(t2)－f(t1)记为Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自变量的增量t2－t1记为Δt，即Δt＝t2－t1，这里的Δt可以看成是t1的一个增量，可用t1＋Δt来表示t2，则平均变化率可记为＝＝，我们发现如果时间的增量Δt无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间t＝t1的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限趋近于0.
知识梳理
1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
2．瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为 .
3．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度．
注意点：Δt可正，可负，但不能为0.
例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
解 ∵＝
＝＝3＋Δt，
∴ ＝(3＋Δt)＝3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
延伸探究
1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．
解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
∵＝＝
＝1＋Δt，
∴(1＋Δt)＝1.
即物体的初速度为1 m/s.
2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝(2t0＋1)＋Δt.
＝(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝ .
跟踪训练2 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解 质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
＝＝＝4a＋aΔt，
∴ ＝4a＝8，
即a＝2.
三、抛物线的切线的斜率
问题3 前面我们从物理的角度研究了瞬时速度的问题，它反映到我们几何上是什么意思？
提示 从＝形式上来看，它表示的是图象上两点割线的斜率，而曲线上两点的平均变化率与直线l的斜率k＝不同，曲线两点的平均变化率表示的是曲线的陡峭程度，而直线的斜率表示的是直线的倾斜程度．从＝＝来看，当曲线上两点无限接近时，此时的割线的斜率无限接近曲线在t＝t1这一点的切线的斜率．
知识梳理
1．切线：设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线．
2．切线的斜率：设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线的斜率为k0＝ .
3．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率．
例3 求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程．
解 由
＝＝Δx，
可得切线的斜率为k＝Δx＝0.
所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.
延伸探究 本例函数不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程．
解 设切点(x0，x－2x0＋3)，
故
＝
＝2x0－2＋Δx，
所以k＝ (2x0－2＋Δx)＝2x0－2，
故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切点为(2,3)，所求切线方程为2x－y－1＝0.
反思感悟 (1)求抛物线在某点处的切线方程的步骤
(2)求曲线过某点的切线方程需注意，该点不一定是切点，需另设切点坐标．
跟踪训练3 求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线方程．
解 f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2
＝3Δx＋(Δx)2，
所以切线的斜率k＝
＝ ＝ (3＋Δx)＝3.
则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.
1．知识清单：
(1)平均速度．
(2)瞬时速度．
(3)曲线在某点处的切线方程．
2．方法归纳：极限法、定义法．
3．常见误区：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位．
1．某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
答案 D
解析 ＝＝－3.
2．一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 ＝ (Δt＋6)＝6.
3．一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
答案 D
解析 因为 ＝
＝ (－2t＋2－Δt)＝－2t＋2，
所以当t＝0时，其速度为2.
4．抛物线y＝x2＋4在点(1,5)处的切线的斜率为________．
答案 2
解析 k＝ ＝ (Δx＋2)＝2.
课时对点练
1．已知某质点运动的方程是s＝2＋，当t由1变到2时，其路程的增量Δs等于( )
A. B．－ C．1 D．－1
答案 B
解析 Δs＝－(2＋1)＝－.
2．已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为( )
A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29
答案 B
解析 ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，
∴＝＝－1.1.
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )
A．4 B．4x C．4.2 D．4.02
答案 C
解析 ＝＝＝4.2.
4．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝ ＝18 m/s，则下列说法中正确的是( )
A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
答案 C
解析 由瞬时速度与平均速度的关系可知选C.
5．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8 D．2
答案 C
解析 k＝ ＝8.
6．(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则( )
A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43
D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
答案 ABD
解析 该物体在1≤t≤3时的平均速度是
＝＝28，A正确；
物体在t＝4时的瞬时速度是
＝ (56＋7Δt)＝56，故B正确；
物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；
物体在t＝5时的瞬时速度是
＝ (70＋7Δt)＝70，故D正确．
7．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
答案 3
解析 ＝ (3－Δt)＝3.
8．若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.
答案 1
解析 k＝ ＝ (4Δx＋8x0)＝8x0＝8，
解得x0＝1.
9．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
解 自运动开始到t s时，物体运动的平均速度
(t)＝＝3t＋2＋，
故前4 s物体的平均速度为(4)＝3×4＋2＋＝15(m/s)．
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)
＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
＝2＋6t＋3·Δt，
＝2＋6t，
当t＝4时， ＝2＋6×4＝26，
所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s.
10．曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
解 设P(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为
k＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0，
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，
y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0×＝－1，
得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点．
(3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点．
11．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为( )
A.1>2>3 B.3>2>1
C.2>1>3 D.2>3>1
答案 B
解析 设直线O′A，AB，BC的斜率分别为kO′A，kAB，kBC，
则1＝＝kO′A，2＝＝kAB，3＝＝kBC，
由题中图象知kBC>kAB>kO′A，即3>2>1.
12．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
答案 A
解析 由题意可知
k＝ ＝1，
解得a＝1，又(0，b)在切线上，∴b＝1.
13．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
答案 B
解析 由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．
14．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
答案 5
解析 因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，
所以＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，
从而t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________．
答案 2
解析 体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)，
所以＝＝，
所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)．
16．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解 (1)∵物体在t∈[3,5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]上的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为24 m/s.
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝＝3Δt－18，
∴物体的初速度v0＝ ＝ (3Δt－18)＝－18(m/s)．
(3)∵
＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1时的瞬时速度为
(3Δt－12)＝－12 (m/s)．
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§5.1 导数的概念及其意义
5．1.1 变化率问题
学习目标 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.3.体会极限思想．
导语
同学们，大家知道，在高速路上经常看到“区间测速”这样的提醒，这其实是在提醒司机安全驾驶，其实它测速的方式是在固定的路程上，看你用了多少时间，从而达到测速的目的；大家也经常能听到家长们讨论车辆油耗的问题，你的车几个油？这里所说的几个油实际上是汽车百公里的油耗，不过有些车上可以查看汽车的瞬时油耗，今天我们就来研究生活中的变化率问题．
一、平均速度
问题1 在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤内的平均速度吗？
提示 0≤t≤0.5时，＝＝4.05(m/s)；1≤t≤2时，＝＝－8.2(m/s)；0≤t≤时，＝＝0(m/s)；虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
例1 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈.
(1)分别求s(t)在区间和上的平均速度；
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义．
解 (1)物体在区间上的平均速度为1＝＝＝＝.
物体在区间上的平均速度为
2＝＝＝.
(2)由(1)可知1－2＝>0，所以2<1.作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s(t)＝sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢．
反思感悟 求物体运动的平均速度的主要步骤
(1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)，
(2)再计算时间的改变量t2－t1，
(3)得平均速度＝.
跟踪训练1 一质点按运动方程s(t)＝作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为( )
A．－1 B．－ C．－2 D．2
答案 B
解析 ＝＝－1＝－.
二、瞬时速度
问题2 我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？
提示 由＝可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了．我们把函数值的增量f(t2)－f(t1)记为Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自变量的增量t2－t1记为Δt，即Δt＝t2－t1，这里的Δt可以看成是t1的一个增量，可用t1＋Δt来表示t2，则平均变化率可记为＝＝，我们发现如果时间的增量Δt无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间t＝t1的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限趋近于0.
知识梳理
1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
2．瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为 .
3．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度．
注意点：Δt可正，可负，但不能为0.
例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
解 ∵＝
＝＝3＋Δt，
∴ ＝(3＋Δt)＝3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
延伸探究
1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．
解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
∵＝＝
＝1＋Δt，
∴(1＋Δt)＝1.
即物体的初速度为1 m/s.
2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝(2t0＋1)＋Δt.
＝(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝ .
跟踪训练2 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解 质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
＝＝＝4a＋aΔt，
∴ ＝4a＝8，
即a＝2.
三、抛物线的切线的斜率
问题3 前面我们从物理的角度研究了瞬时速度的问题，它反映到我们几何上是什么意思？
提示 从＝形式上来看，它表示的是图象上两点割线的斜率，而曲线上两点的平均变化率与直线l的斜率k＝不同，曲线两点的平均变化率表示的是曲线的陡峭程度，而直线的斜率表示的是直线的倾斜程度．从＝＝来看，当曲线上两点无限接近时，此时的割线的斜率无限接近曲线在t＝t1这一点的切线的斜率．
知识梳理
1．切线：设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线．
2．切线的斜率：设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线的斜率为k0＝ .
3．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率．
例3 求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程．
解 由
＝＝Δx，
可得切线的斜率为k＝Δx＝0.
所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.
延伸探究 本例函数不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程．
解 设切点(x0，x－2x0＋3)，
故
＝
＝2x0－2＋Δx，
所以k＝ (2x0－2＋Δx)＝2x0－2，
故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切点为(2,3)，所求切线方程为2x－y－1＝0.
反思感悟 (1)求抛物线在某点处的切线方程的步骤
(2)求曲线过某点的切线方程需注意，该点不一定是切点，需另设切点坐标．
跟踪训练3 求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线方程．
解 f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2
＝3Δx＋(Δx)2，
所以切线的斜率k＝
＝ ＝ (3＋Δx)＝3.
则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.
1．知识清单：
(1)平均速度．
(2)瞬时速度．
(3)曲线在某点处的切线方程．
2．方法归纳：极限法、定义法．
3．常见误区：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位．
1．某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
答案 D
解析 ＝＝－3.
2．一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 ＝ (Δt＋6)＝6.
3．一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
答案 D
解析 因为 ＝
＝ (－2t＋2－Δt)＝－2t＋2，
所以当t＝0时，其速度为2.
4．抛物线y＝x2＋4在点(1,5)处的切线的斜率为________．
答案 2
解析 k＝ ＝ (Δx＋2)＝2.
课时对点练
1．已知某质点运动的方程是s＝2＋，当t由1变到2时，其路程的增量Δs等于( )
A. B．－ C．1 D．－1
答案 B
解析 Δs＝－(2＋1)＝－.
2．已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为( )
A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29
答案 B
解析 ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，
∴＝＝－1.1.
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )
A．4 B．4x C．4.2 D．4.02
答案 C
解析 ＝＝＝4.2.
4．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝ ＝18 m/s，则下列说法中正确的是( )
A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
答案 C
解析 由瞬时速度与平均速度的关系可知选C.
5．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8 D．2
答案 C
解析 k＝ ＝8.
6．(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则( )
A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43
D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
答案 ABD
解析 该物体在1≤t≤3时的平均速度是
＝＝28，A正确；
物体在t＝4时的瞬时速度是
＝ (56＋7Δt)＝56，故B正确；
物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；
物体在t＝5时的瞬时速度是
＝ (70＋7Δt)＝70，故D正确．
7．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
答案 3
解析 ＝ (3－Δt)＝3.
8．若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.
答案 1
解析 k＝ ＝ (4Δx＋8x0)＝8x0＝8，
解得x0＝1.
9．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
解 自运动开始到t s时，物体运动的平均速度
(t)＝＝3t＋2＋，
故前4 s物体的平均速度为(4)＝3×4＋2＋＝15(m/s)．
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)
＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
＝2＋6t＋3·Δt，
＝2＋6t，
当t＝4时， ＝2＋6×4＝26，
所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s.
10．曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
解 设P(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为
k＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0，
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，
y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0×＝－1，
得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点．
(3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点．
11．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为( )
A.1>2>3 B.3>2>1
C.2>1>3 D.2>3>1
答案 B
解析 设直线O′A，AB，BC的斜率分别为kO′A，kAB，kBC，
则1＝＝kO′A，2＝＝kAB，3＝＝kBC，
由题中图象知kBC>kAB>kO′A，即3>2>1.
12．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
答案 A
解析 由题意可知
k＝ ＝1，
解得a＝1，又(0，b)在切线上，∴b＝1.
13．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
答案 B
解析 由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．
14．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
答案 5
解析 因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，
所以＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，
从而t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________．
答案 2
解析 体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)，
所以＝＝，
所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)．
16．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解 (1)∵物体在t∈[3,5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]上的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为24 m/s.
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝＝3Δt－18，
∴物体的初速度v0＝ ＝ (3Δt－18)＝－18(m/s)．
(3)∵
＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1时的瞬时速度为
(3Δt－12)＝－12 (m/s)．
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