第五章 5.1.2 第2课时 导数的几何意义 学案（含答案）

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第2课时　导数的几何意义
学习目标　1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
导语
同学们，经过前两节课的学习，我们经历了从物理中的瞬时变化，到几何中的切线的斜率，再到数学中函数在某点处的导数，不禁会想，我们学习导数的意义何在，其实，之前所学只为今天，今天我们将揭开谜底，一探导数的几何意义．
一、导数的几何意义
问题1　导数f′(x0)的几何意义是什么？
提示　我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图．
容易发现，平均变化率＝表示的是割线P0P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于P0点时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线，因此函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)，这就是导数的几何意义．
知识梳理
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
例1　已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
解　(1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k＝
＝
＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为
k＝ ＝x，
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0.
∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
反思感悟　求曲线过某点的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
跟踪训练1　求曲线y＝在点处的切线方程．
解　曲线在点处的切线的斜率为k
＝ ＝ ＝－，
由直线的点斜式方程可得切线方程为
y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.
二、函数的单调性与导数的关系
问题2　函数的单调性和导数有什么关系？
提示　如图
当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减．
当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减．
通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢．
知识梳理
若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0；
若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快；
若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′ x0 |越大，说明函数图象变化的越快．
例2　已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
答案　B
解析　由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)反思感悟　导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
跟踪训练2　已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)
A．f′(1)C．f′(2)答案　B
解析　由图象可知，函数在区间(0，＋∞)上的增长越来越快，∴f′(1)三、导函数(导数)
问题3　以上我们知道，求函数某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
提示　这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f′(x0)＝ 可知
f′(x)＝ ，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数．
知识梳理　
导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ .
注意点：(1)f′(x0)是具体的值，是数值．(2)f′(x)是函数，f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．
例3　求函数y＝(x>－1)的导函数．
解　令f(x)＝，则f′(x)
＝
＝
＝
＝ ＝.
反思感悟　不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数．若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导．然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－x.求f′(x)．
解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，
∴＝2x＋Δx－.
∴f′(x)＝ ＝2x－.
1．知识清单：
(1)导数的几何意义．
(2)函数的单调性与导数的关系．
(3)导函数的概念．
2．方法归纳：方程思想、数形结合．
3．常见误区：切线过某点，这点不一定是切点．
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于(　　)
A．4 B．－4 C．－2 D．2
答案　D
解析　由导数的几何意义知f′(1)＝2.
2．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　D
解析　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，
∴＝x＋Δx＋1，∴f′(x)＝ ＝x＋1.
设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
3．曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于(　　)
A．45° B．60° C．135° D．120°
答案　C
解析　f′(x)＝
＝9 ＝－9 ＝－，所以f′(3)＝－1.又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
答案　(3,30)
解析　令f(x)＝2x2＋4x，设点P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．
课时对点练
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
答案　B
解析　因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.
2．若 ＝x2，则f的导函数f′等于(　　)
A．2x B.x3 C．x2 D．3x2
答案　C
解析　由导数的定义可知，
f′＝ ＝x2.
3．已知曲线y＝x2上一点A(2,4)，则在点A处的切线斜率为(　　)
A．4 B．16 C．8 D．2
答案　A
解析　k＝y′|x＝2＝ ＝4.
4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
答案　A
解析　设切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，
即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
5．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(　　)
答案　D
解析　由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．
6．(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)
答案　BC
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
则＝
＝3x－2＝tan ＝1，
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1.
当x0＝－1时，y0＝1.
7．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________.
答案　3
解析　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
8．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．
答案　2
解析　由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.
又切线在y轴上的截距为－1，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，
从而可得切点坐标为(1,3)，
所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.
9．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解　y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x0＝4，解得x0＝2，
所以y0＝x＝4，即P(2,4)，经检验，符合题意．
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x1＝－，解得x1＝－，
所以y1＝x＝，即Q，经检验，符合题意．
故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
10．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
解　因为y′＝
＝ ＝2x＋1，
所以y′|x＝1＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2与曲线相切于点P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以2x0＋1＝－，x0＝－，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
11．若曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案　C
解析　y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为
k＝＝
＝ ＝1－<1.
即k<1.
12．已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　)
A．f′(a)B．f′(b)C．f′(a)D．f′(c)答案　A
解析　如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k113．函数y＝(x－1)2的导数是(　　)
A．－2 B.(x－1)2
C．2(x－1) D．2(1－x)
答案　C
解析　y′＝
＝
＝ ＝2x－2＝2.选C.
14．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
答案　
解析　由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，
由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝ ＝2x＝1，解得x＝，所以P，
故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝＝.
15．已知函数f(x)＝x3，过点P作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________________．
答案　y＝0或3x－y－2＝0
解析　设切点为Q(x0，x)，得切线的斜率为
k＝f′(x0)＝ ＝3x，
切线方程为y－x＝3x(x－x0)，
即y＝3xx－2x.
因为切线过点P，
所以2x－2x＝0，
解得x0＝0或x0＝1，
从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.
16．点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
解　设P(x0，y0)，
则y0＝x＋1，
f′(x0)＝ ＝2x0，
所以在点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由
得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
则Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为或.
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