第五章 5.3.1函数的单调性 学案（含答案）

§5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
[学习目标]　
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
一、函数的单调性与导数的关系
问题1　观察下面一次跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
问题2　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系．
知识梳理
函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)上的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递______
f′(x)<0 单调递______
例1　利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)＝x3－x2＋2x－5；
(2)f(x)＝x－－ln x；
(3)f(x)＝x－ex(x>0)．
反思感悟　利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论．
跟踪训练1　利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)＝x2－2x＋aln x；
(2)f(x)＝(x>e)．
二、利用导数求函数的单调区间
例2　求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.
反思感悟　利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求出导数f′(x)的零点．
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域上的单调性．
跟踪训练2　求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x2·e－x；
(2)f(x)＝x＋.
三、由导数的信息画函数的大致图象
例3　已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0反思感悟　由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0.
跟踪训练3　(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　)
(2)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　)
1．知识清单：
(1)函数的单调性与其导数的关系．
(2)利用导数判断函数的单调性．
(3)利用导数求函数的单调区间．
(4)由导数的信息画函数的大致图象．
2．方法归纳：方程思想、分类讨论．
3．常见误区：忽略定义域的限制．
1．(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(3,4) D．(2，＋∞)
2．函数f(x)＝3＋xln x的单调递增区间是(　　)
A. B．(e，＋∞)
C. D.
3.若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)
4．函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的单调递减区间是________．
5.3.1　函数的单调性
问题1　通过观察图象，可以发现
(1)从起跳到最高点，运动员离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增，相应地，v(t)＝h′(t)>0；
(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减，相应地，v(t)＝h′(t)<0.
问题2　(1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0；
(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0；
(3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数．而y′＝3x2，当x≠0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0；
(4)函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调增减，
而y′＝－，因为x≠0，所以y′<0.
从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明，在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减．
知识梳理
增　减
例1　解　(1)因为f(x)＝x3－x2＋2x－5，所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以函数f(x)＝x3－x2＋2x－5在R上单调递增．
(2)因为f(x)＝x－－ln x，
x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1＋－＝＝>0，所以f(x)＝x－－ln x在(0，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减．
跟踪训练1　解　(1)因为f(x)＝x2－2x＋aln x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝2x－2＋＝，对于y＝2x2－2x＋a，a>，Δ＝4－8a＝8<0，
故有y＝2x2－2x＋a>0恒成立，
即f′(x)>0，
所以f(x)＝x2－2x＋aln x在(0，＋∞)上单调递增．
(2)因为f(x)＝，x>e，
所以f′(x)＝＝<0，
所以f(x)＝在(e，＋∞)上单调递减．
例2　解　(1)易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝6x－＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去)，x＝把函数f(x)的定义域划分为两个区间，f′(x)在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如表所示，
x
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 f 单调递增
故函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)f′(x)＝6x2＋6x－36
＝6(x＋3)(x－2)．
令f′(x)＝0，解得x＝－3或x＝2，
x＝－3和x＝2把函数的定义域划分为三个区间，
f′(x)在各个区间上的正负，
以及f(x)的单调性如表，
x (－∞，－3) －3 (－3,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 f(－3) 单调递减 f(2) 单调递增
故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
单调递减区间是(－3,2)．
跟踪训练2　解　(1)易知函数的定义域为R.
f′(x)＝′e－x＋x2′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 f(0) 单调递增 f(2) 单调递减
所以f的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．
(2)易知函数的定义域为
(－∞，0)∪(0，＋∞)．
f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，当x变化时，f′(x)，
f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，0) (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f(x) 单调递增 f(－1) 单调递减 单调递减 f(1) 单调递增
所以函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
例3　解　当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是单调递增的；当0故函数f(x)的图象如图所示．
跟踪训练3　(1)D　[由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当00，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象如图D.]
(2)C　[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1,4)上单调递增，
∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0.]
随堂演练
1．CD　2.C　3.C　4.