高中数学人教A版2019必修第二册 10.3.1频率的稳定性 导学案（含答案）

10.3.1 频率的稳定性
1．通过实验让学生理解当试验次数较大时，实验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出
某一事件发生的频率.
2．通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.
重点：频率与概率的区别和联系
难点：大量重复实验得到频率的稳定值的分析.
一、新知自学
1．频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会_________，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐_________事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
2. 概率与频率的区别与联系
频率 概率
区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小
联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率
探究新知
对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率，但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断，例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法.
我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小，在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率，那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？
什么是频率
在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例
fn(A)＝为事件A出现的频率.显然，0≤≤1.
随机事件及其概率
重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较，我们研究一下有什么规律？
历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表 ：
利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)(如下表)
思考(1)同一组的试验结果一样吗 为什么会出现这种情况？
(2)随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？
用折线图表示频率的波动情况,你有什么发现
结论:
(1)试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性
(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小.但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A) 估计概率P(A).
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记着P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。
频率与概率的区别和联系的剖析
(1)频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.
(2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关.
(3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越稳定于概率附近.在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值.
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数，通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001);
(2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
由统计定义求概率的一般步骤
（1）确定随机事件A的频数nA；
（2）由fn(A)＝ 计算频率fn(A) (n为试验的总次数);
（3）由频率fn(A)估计概率P(A).
概率可看成频率在理论上的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率.
例2.一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜，判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等。
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才300次，而乙却胜了700次，据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的，你更支持谁的结论？为什么？
思考1: 气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”，如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确，那么如何理解“降水概率是90%”？又该如何评价预报的结果是否准确呢？
例3.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表:
投篮次数 8 10 15 20 30 40 50
进球次数 6 8 12 17 25 32 39
进球频率 0.78 0.75 0.80 0.80 0.85 0.83 0.80
计算表中进球的频率;
这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少
(3)这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投中8次吗
思考2.公元1053年，大元帅狄青奉旨，率兵征讨侬智高．由于士兵士气不高,很难取胜,为了提高士气,出征前，狄青拿出一百枚“宋元通宝”铜币，向众将士殷殷许愿：“如果钱币扔在地上，有字的一面会全部向上，那么这次出兵可以打败敌人！”在千军万马的注目之下，狄青将铜币用力向空中抛去，奇迹发生了：一百枚铜币，枚枚向上．顿时，全军欢呼雀跃，将士个个认定是神灵保佑，战争必胜无疑．事实上，铜币正反面都是一样的！同学样想一下，如果铜币正反面不一样，那么这一百枚铜币正面全部向上的可能性大吗？
思考3.如果某种彩票的中奖概率为1/1000，那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？（假设该彩票有足够多的张数.）
2.某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明(　　)
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
3.为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼，假设有40尾，根据上述数据，估计水库中鱼的尾数为　　　　.
4. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.
一次性购物数量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至16件 17件及以上
顾客数（人） x 30 25 y 10
结算时间（分/人） 1 1.5 2 2.5 3
（1）求x，y的值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.
频率 概率
区别 本身是随机的观测值（试验值），在试验前无法确定，多数会随着试验的改变而变化，做同样次数的重复试验，得到的结果也会不同 本身是固定的理论值，与试验次数无关，只与事件自身的属性有关
联系 频率是概率的试验值，会随试验次数的增大逐渐稳定；概率是频率理论上的稳定值，在实际中可用频率估计概率
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一独立重复试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
参考答案：
知识梳理
学习过程
例1 分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率
解：(1)2014年男婴出生的频率为
2015年男婴出生的频率为
由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537,2015年男婴出生率约为0.532.
(2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度，因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.
例2. 解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5;当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3,乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近，而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7,存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断
思考1: 提示：降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的．对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨．
只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性．如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确．
例3.解析：概率约是0.8
不一定. 投10次篮相当于做10次试验,每次试验的结果都是随机的,
所以投10次篮的结果也是随机的.
思考3. 不一定。买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次的结果也是随机的。
虽然 中奖张数是随机的，但这种随机性中具有规律性。随着试验次数的增加，即随着买的彩票张数的增加，大约有1/1000的彩票中奖。
买1000张彩票中奖的概率为:
达标检测
1.答案 CD
2.[答案]　D
3.【解析】求2 000尾鱼占水库中所有鱼的百分比→
求带记号的鱼在500尾鱼中占的百分比→
根据二者的关系列等式→求解，估计水库中鱼的尾数25000
4. 解：（1）由已知得
所以x＝15，y＝20.
（2）设事件A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，
事件A1为“一位顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，
事件A2为“一位顾客一次购
物的结算时间为3分钟”，
所以P（A）＝P（A1）+P（A2）＝+＝0.3.
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