高中数学人教A版2019必修第二册 强化训练：10.3 频率与概率（解析版）

强化训练：频率与概率
1．（2019·全国高二单元测试）下列说法正确的有(　　)
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．
③任意事件A发生的概率总满足.
④若事件A的概率为0，则A是不可能事件．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2019·湖北高二月考）某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点（　　）
A．明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨
C．明天本地下雨的机会是80%
D．气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报
3．（2018·宾阳县宾阳中学高二月考（文））下列说法正确的是（ ）
A．某厂一批产品的次品率为 ，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品
B．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈
D．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨
4．（2018·全国高二课时练习）张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是(　　)
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;
②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;
④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.
A．①② B．② C．②③④ D．①②③④
5．（2017·全国高一课时练习）某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车,但由于天黑,均未看清该车的车牌号码及颜色.该市有两家出租车公司,其中甲公司有100辆桑塔纳出租车,3 000辆帕萨特出租车,乙公司有3 000辆桑塔纳出租车,100辆帕萨特出租车,交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理(　　)
A．甲公司 B．乙公司
C．甲与乙公司 D．以上都对
6．（2019·山东高考模拟（文））某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，改款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换个一级滤芯就需要更换个二级滤芯，三级滤芯无需更换.其中一级滤芯每个元，二级滤芯每个元.记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为.如图是根据台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图.
（1）结合图，写出集合；
（2）根据以上信息，求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于元的概率（以台净水器更换二级滤芯的频率代替台净水器更换二级滤芯发生的概率）；
（3）若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受折优惠（使用过程中如需再购买无优惠）.假设上述台净水器在购机的同时，每台均购买个一级滤芯、个二级滤芯作为备用滤芯（其中，），计算这台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数.并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为个，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？
7．（2018·湖南高考模拟（文））新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相.某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精准扶贫户中订购荔枝，每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完.根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关.如果平均气温不低于25摄氏度，需求量为公斤；如果平均气温位于摄氏度，需求量为公斤；如果平均气温位于摄氏度，需求量为公斤；如果平均气温低于15摄氏度，需求量为公斤.为了确定6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表：
平均气温
天数 2 16 36 25 7 4
（Ⅰ）假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数）；
（Ⅱ）若该商场每天进货量为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.
8．（2018·全国高二课时练习）有人说:“掷一枚骰子一次得到的点数是2的概率是,这说明掷一枚骰子6次会出现一次点数是2.”对此说法,同学中出现了两种不同的看法:一些同学认为这种说法是正确的.他们的理由是:因为掷一枚骰子一次得到点数是2的概率是,所以掷一枚骰子6次得到一次点数是2的概率P=×6=1,即“掷一枚骰子6次会出现一次点数是2”是必然事件,一定发生.还有一些同学觉得这种说法是错误的,但是他们却讲不出是什么理由来.你认为这种说法对吗 请说出你的理由.
9．（2018·全国高二课时练习）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.
10．（2017·全国高一课时练习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜 为什么
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案 为什么
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
11．（2020·全国高三专题练习）甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.
强化训练：频率与概率答案
1．（2019·全国高二单元测试）下列说法正确的有(　　)
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．
③任意事件A发生的概率总满足.
④若事件A的概率为0，则A是不可能事件．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，如几何概率中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不可能事件，∴④不对；抛掷一枚骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，故②正确；任意事件A发生的概率P(A)满足，∴③错误；又①正确．∴选C.
2．（2019·湖北高二月考）某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点（　　）
A．明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨
C．明天本地下雨的机会是80%
D．气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报
【答案】C
【解析】根据概率的意义可得“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的机会是80%．
故选C．
3．（2018·宾阳县宾阳中学高二月考（文））下列说法正确的是（ ）
A．某厂一批产品的次品率为 ，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品
B．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈
D．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨
【答案】B
【解析】A.产品的次品率是通过大量的产品通过实验得到的数据，题目中的产品个数很少，故不正确；
B.掷硬币正面或反面朝上的概率是通过大量实验得到的准确的值，和实验次数无关，故正确；
C.解释同A选项，也不正确；
D．事件的概率是大量实验后得到的结果，是准确的值，和实验次数无关，但是D选项的说法体现的不是概率的概念，故不正确．
4．（2018·全国高二课时练习）张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是(　　)
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;
②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;
④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.
A．①② B．② C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为，所以公平；
②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不公平.
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为，所以公平；
④张明、张华两人各写一个数字6或8,一共四种情况(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，两人写的数字相同和不同是等可能的，均为，所以公平；.
故选B.
5．（2017·全国高一课时练习）某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车,但由于天黑,均未看清该车的车牌号码及颜色.该市有两家出租车公司,其中甲公司有100辆桑塔纳出租车,3 000辆帕萨特出租车,乙公司有3 000辆桑塔纳出租车,100辆帕萨特出租车,交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理(　　)
A．甲公司 B．乙公司
C．甲与乙公司 D．以上都对
【答案】B
【解析】该市两家出租车公司共有桑塔纳出租车3100辆，
则甲公司出租车肇事的概率为P ，乙公司出租车肇事的概率为P ，显然乙公司肇事的概率远大于甲公司肇事的概率．
故认定乙公司肇事较合理．
故选B
6．（2019·山东高考模拟（文））某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，改款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换个一级滤芯就需要更换个二级滤芯，三级滤芯无需更换.其中一级滤芯每个元，二级滤芯每个元.记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为.如图是根据台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图.
（1）结合图，写出集合；
（2）根据以上信息，求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于元的概率（以台净水器更换二级滤芯的频率代替台净水器更换二级滤芯发生的概率）；
（3）若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受折优惠（使用过程中如需再购买无优惠）.假设上述台净水器在购机的同时，每台均购买个一级滤芯、个二级滤芯作为备用滤芯（其中，），计算这台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数.并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为个，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？
【答案】（1）；（2）0.3；（3）见解析.
【解析】（1）由题意可知当一级滤芯更换、、个时，二级滤芯需要更换个，
当一级滤芯更换个时，二级滤芯需要更换个，所以；
（2）由题意可知二级滤芯更换个，需元，二级滤芯更换个，需元，
在台净水器中，二级滤芯需要更换个的净水器共台，二级滤芯需要更换个的净水器共台，
设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于元”为事件，所以；
（3）因为，，
（i）若，，
则这台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为
（ii）若，，
则这台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为
所以如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为个，
客户应该购买一级滤芯个，二级滤芯个。
7．（2018·湖南高考模拟（文））新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相.某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精准扶贫户中订购荔枝，每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完.根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关.如果平均气温不低于25摄氏度，需求量为公斤；如果平均气温位于摄氏度，需求量为公斤；如果平均气温位于摄氏度，需求量为公斤；如果平均气温低于15摄氏度，需求量为公斤.为了确定6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表：
平均气温
天数 2 16 36 25 7 4
（Ⅰ）假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数）；
（Ⅱ）若该商场每天进货量为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.
【答案】（1）391（2）
【解析】（Ⅰ）当需求量时，荔枝为该商场带来的利润为元；
当需求量，即时，荔枝为该商场带来的利润为元.
∴这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润为元.
（Ⅱ）当需求量时，荔枝为该商场带来的利润为元；
当需求量时，荔枝为该商场带来的利润为元；
当需求量时，荔枝为该商场带来的利润为元；
∴当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为100、200或300公斤，
则所求概率.
8．（2018·全国高二课时练习）有人说:“掷一枚骰子一次得到的点数是2的概率是,这说明掷一枚骰子6次会出现一次点数是2.”对此说法,同学中出现了两种不同的看法:一些同学认为这种说法是正确的.他们的理由是:因为掷一枚骰子一次得到点数是2的概率是,所以掷一枚骰子6次得到一次点数是2的概率P=×6=1,即“掷一枚骰子6次会出现一次点数是2”是必然事件,一定发生.还有一些同学觉得这种说法是错误的,但是他们却讲不出是什么理由来.你认为这种说法对吗 请说出你的理由.
【答案】见解析
【解析】这种说法是错误的.上述认为说法正确的同学,其计算概率的方法自然也是错误的.
为了弄清这个问题,我们不妨用类比法,即把问题变换一下说法.
原题中所说的问题,类似于“在一个不透明的盒子里放有6个标有数字1,2,3,4,5,6的同样大小的球,从盒中摸一个球恰好摸到2号球的概率是.那么摸6次球是否一定会摸到一次2号球呢 ”
在这个摸球问题中,显然还缺少一个摸球的规则,即每次摸到的球是否需要放回盒子里 显然,如果摸到后不放回,那么摸6次球一定会摸到一次2号球.如果摸到球后需要放回,那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了.
由此看来,我们先要弄清这个摸球问题与上面的掷骰子问题是否完全类同,是否应当有每次摸到的球还要放回盒子里的要求.我们先看看上面掷骰子问题中的规则,在掷骰子问题中,表面上好像没写着什么规则,但实际上却藏有一个自然的规则,即第一次如果掷得某个数(如3),那么后面还允许继续掷得这个相同的数.于是摸球问题要想与掷骰子问题中的规则相同,显然每次摸到的球必须要放回盒子里才妥当.那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了.
9．（2018·全国高二课时练习）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.
【答案】12，，不公平
【解析】（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）为：
（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’，2）、（4’，3）、（4’，4）
共12种不同情况
（没有写全面时：只写出1个不给分，2-4个给1分，5-8个给8分，9-11个给3分）
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
（3）由甲抽到的牌比乙大的有
（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，
甲胜的概率，乙获胜的概率为，∵
∴此游戏不公平．
10．（2017·全国高一课时练习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜 为什么
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案 为什么
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【答案】(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;
(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”
【解析】 (1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.
11．（2020·全国高三专题练习）甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲:10分,13分,12分,14分,16分;
乙:13分,14分,12分,12分,14分.
=13,
=13,
×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,
×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.
(2)由可知乙的成绩较稳定.
从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.