3.2 圆的对称性 课件 (共30张PPT)

(共30张PPT)
第三章 圆
3.2 圆的对称性
北师大版九年级下册
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当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握圆的对称性，理解圆既是轴对称图形，也是中心对称图形；
2、掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
3、在理解相关的圆心角、弧、弦之间的关系时，记得一定要带上同圆或等圆这个条件；
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观察与思考
观察图片，想一想，如何将一块蛋糕平均分成两块？四块？八块？分小组讨论一下；
讲授新课
知识点一 圆的对称性概念
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
问题2 你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法
●O
探究归纳
.
O
A
B
180°
问题3 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
探究归纳
圆的对称性：
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
问题4 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
·
探究归纳
知识点二 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
⌒
⌒
C
·
O
A
B
D
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， ，弦AB=弦CD
归纳
O ′
·
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·
C
D
在等圆中探究
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
归纳
⌒
⌒
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
要点归纳
典例精析
例1 如图，AB，DE是⊙O 的直径，C是⊙O 上的一点，
且AD=CE.BE和CE的大小有什么关系？为什么？
·
E
B
C
O
A
D
解:BE=CE.理由是：
∵∠AOD=∠BOE，
∴AD=BE.
又∵AD=CE，
∴BE=CE.
∴BE=CE.
⌒ ⌒
⌒ ⌒
⌒ ⌒
⌒ ⌒
证明：
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
·
A
B
C
O
⌒ ⌒
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
∵AB=CD，
⌒ ⌒
当堂练习
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆 D．直径是弦，半圆不是弧
【答案】D
【详解】A.直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确
B.能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确
C.周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确
D.直径是弦，半圆是弧，故错误
故选：D
2．如图，已知AB是○O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠BOC=40°，那么∠AOE=（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】B
【分析】先证明∠EOD=∠DOC=∠BOC=40°，∠BOE=3×40°=120°，再利用角的和差关系可得答案．
【点睛】本题考查的是弧与圆心角之间的关系，掌握“弧，弦，圆心角的关系”是解本题的关键．
3．如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC=36°，以腰AB为直径作圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的度数是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．80°
【答案】B
【详解】解：设圆心为O，连接OE、OD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∴∠DOE=∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠BAC=∠OEA，
∴∠DOE=∠BAC=36°，
即弧DE的度数为36°，
故选：B．
4．如图，AB是○O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD=36°，则∠OEA的度数是（ ）
A．30° B．36° C．54° D．72°
【答案】C
【分析】由弧BC、弧CD与弧DE相等，得∠COB=∠COD=∠EOD，即可求∠AOE．
又因为OE和OA都是半径，长度相等，等边对等角，得∠OEA=∠AOE，根据三角形内角和180°就能求出∠OEA度数．
5．在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为____________．
【答案】90°或270°
【分析】根据勾股定理的逆定理可知， 的弦与弦的端点两条长为1半径的围成的三角形是直角三角形．
6．如图，AB是⊙O的直径，D.C是弧BE的三等分点，∠COD=32°，则∠E的度数是___________．
【答案】48°
【分析】先运用等弧对等角得出∠EOB=96°，再利用三角形外角性质即可求解．
【详解】解：由C、D是BE的两个等分点，∠COD=32°知，∠BOC=∠DOE=∠COD=32°，
∴∠EOB=96°，
∵OE=OA，
∴∠AEO=∠EAO=，
故答案为：48°．
7．如图，BC是○O的弦，AD过圆心O，且AD⊥BC．若∠COD=40°，则∠A的度数为______．
【答案】20°
【详解】解：连接OB，延长AD交圆于E，
∵AD⊥BC，AD过圆心O，
∴弧BE=弧CE，
∴∠BOE=∠COD=40°，
∴∠A=∠BOE=20°，
故答案为：20°．
8．如图，在○O中，弧AB=弧BC=弧CD，连接AC，CD，则AC__2CD（填“＞”，“＜ ”或“=” ）．
【答案】＜
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系．
9．如图，已知AB是○O的直径，弦AC∥OD．
(1)求证：弧BD=弧CD；
(2)若弧AC的度数为58°，求∠AOD的度数．
【答案】(1)见解析 (2)119°
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得出∠C=∠A，根据平行线的性质得出∠BOD=∠A，∠COD=∠C，求出∠COD=∠BOD，根据圆心角与弧的关系即可得证；
（2）求出∠BOC，求出∠COD，再求出答案即可．
10．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC．求证：
(1)AD=BC
(2)AE=CE．
【详解】（1）证明：∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∴弧AB-弧AC=弧CD-弧AC，
∴弧AD=弧BC，
∴AD=BC；
（2）∵∠ADE=∠CBE，∠AED=∠CEB,AD=BC
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE=EC．
课堂小结
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
在同圆或等圆中