3.3 垂径定理 课件 (共37张PPT)
文档属性
| 名称 | 3.3 垂径定理 课件 (共37张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 16:43:43 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
第三章 圆
3.3 垂径定理
北师大版九年级下册
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
2、熟练运用圆的垂径定理，学会运用垂径定理解决相关的实际问题；
3、掌握圆的对称性，并学会证明垂径定理和其推论；
导入新课
观察与思考
问题:如图，是我国著名的赵州桥，它的主桥部分是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
欣赏图片
讲授新课
知识点一 垂径定理的概念及其推论
问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AP=BP
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
P
C
·
O
A
B
D
C
P
试一试
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP，
AC =BC,
⌒
⌒
⌒
⌒
AD =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AP=BP，
⌒
⌒
AC =BC.
∴AD =BD，
⌒
⌒
∠AOC=∠BOC.
从而∠AOD=∠BOD.
想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
垂径定理
·
O
A
B
C
D
P
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.(结论)
归纳总结
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
⌒
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
证明举例
⌒
⌒
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
垂径定理的本质是:
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
知识点二 垂径定理及其推论的证明
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
16
∴
cm.
典例精析
例2：已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2
∵
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
当堂练习
1．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若○O的直径为26cm，水面宽AB=24cm，则水的最大深度为（ ）
A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交○O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
2．下列命题：①对角线垂直且相等的四边形是正方形；②垂直弦的直径平分这条弦；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两直线平行；⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，其中真命题有（ ）个．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：①对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题为假命题；
②垂直弦的直径平分这条弦，故原命题为真命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题为假命题；
④同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故原命题为假命题；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题为真命题；
所以真命题有2个．
故选：C
3．党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国，数据是数字交通发展的核心驱动力之一，也是智慧交通发展的关键要素．如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是○O中弦AB的中点，CD经过圆心O交○O于点C，若路面AB=6m，净高CD=9m，则此圆的半径OA的长为（ ）
A．5m B．4m C． D．3m
【答案】A
【分析】根据垂径定理的逆定理得出CD⊥AB，设圆的半径为OA=r，则OD=9-r，根据勾股定理列出r2=（9-r）2+32，解方程即可得出答案．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出CD⊥AB．
4．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，AC为半径的圆与AB、BC分别交于点E与点D，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB=5；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．
5．如图，在○O中，半径OC与弦AB垂直于点D，若CD=4，OC=10，则AB的长是_______．
【答案】16
【详解】解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD，
∵CD=4，OC=10，
∴OD=OC-CD=10-4=6，
∵OA=OC=10，
∴AD=8，
∴BD=AD=8，
∴AB=8+8=16．
故答案为：16．
6．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O点为圆心的圆的一部分，如果C是○O中弦AB的中点，CD经过圆心O交○O于点D，并且AB=2m，CD=3m，则○O的半径长为___________m．
【答案】
【分析】连接OA，先根据垂径定理、线段中点的定义可得OC⊥AB，AC=1m，设○O的半径长为rm，则OA=OD=rm，OC=(3-r)m，再在Rt△AOC中，利用勾股定理即可得．
7．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED=4，AB=16，则直径CD的长是________．
【答案】20
【详解】解：连接OA，设○O的半径是r，
∵OD⊥AB，
∴AE=BE=8，
∵OA2=OE2+AE2，
∴r2=(r-4)2+82，
∴r=10，
∴CD=2r=20，
故答案为：20．
8．如图，AB，AC都是○O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=3，那么BC=_ _．
【详解】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴点N和点M分别为AC、AB的中点，
∵MN=3，
∴BC=2MN=6，
故答案为：6．
9．如图，AB为○O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，EB=2，求弦CD的长．
【答案】8
【详解】解：连接OC，如图所示：
∵AB为○O的直径，CD⊥AB，AB=10，
∴CE=DE，OC=OB=5，
∵EB=2，
∴OE=OB-EB=5-2=3，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE=4，
∴CD=2CE=8．
10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD，点O是弧CD的圆心，E为弧CD上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD=600m，EF=100m，求这段弯路的半径．
【答案】这段弯路的半径为500m．
【详解】解：如图，连接OD．
∵OE⊥CD，
∴DF=．
设这段弯路的半径为rm，则OF=OE-EF=(r-100)m．
∵在Rt△ODF中，OD2=OF2+DF2,
∴r2=(r-100)2+3002，
解得：r=500，
∴这段弯路的半径为500m．
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,
并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
第三章 圆
3.3 垂径定理
北师大版九年级下册
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
2、熟练运用圆的垂径定理，学会运用垂径定理解决相关的实际问题；
3、掌握圆的对称性，并学会证明垂径定理和其推论；
导入新课
观察与思考
问题:如图，是我国著名的赵州桥，它的主桥部分是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
欣赏图片
讲授新课
知识点一 垂径定理的概念及其推论
问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AP=BP
弧: AC=BC, AD=BD
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理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合．
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O
A
B
D
P
C
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O
A
B
D
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P
试一试
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP，
AC =BC,
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AD =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AP=BP，
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AC =BC.
∴AD =BD，
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∠AOC=∠BOC.
从而∠AOD=∠BOD.
想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
垂径定理
·
O
A
B
C
D
P
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP,
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AC =BC,
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AD =BD.(结论)
归纳总结
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
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（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
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（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
证明举例
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⌒
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
垂径定理的本质是:
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
知识点二 垂径定理及其推论的证明
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
16
∴
cm.
典例精析
例2：已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒
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M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
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试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2
∵
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
当堂练习
1．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若○O的直径为26cm，水面宽AB=24cm，则水的最大深度为（ ）
A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交○O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
2．下列命题：①对角线垂直且相等的四边形是正方形；②垂直弦的直径平分这条弦；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两直线平行；⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，其中真命题有（ ）个．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：①对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题为假命题；
②垂直弦的直径平分这条弦，故原命题为真命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题为假命题；
④同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故原命题为假命题；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题为真命题；
所以真命题有2个．
故选：C
3．党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国，数据是数字交通发展的核心驱动力之一，也是智慧交通发展的关键要素．如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是○O中弦AB的中点，CD经过圆心O交○O于点C，若路面AB=6m，净高CD=9m，则此圆的半径OA的长为（ ）
A．5m B．4m C． D．3m
【答案】A
【分析】根据垂径定理的逆定理得出CD⊥AB，设圆的半径为OA=r，则OD=9-r，根据勾股定理列出r2=（9-r）2+32，解方程即可得出答案．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出CD⊥AB．
4．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，AC为半径的圆与AB、BC分别交于点E与点D，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB=5；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．
5．如图，在○O中，半径OC与弦AB垂直于点D，若CD=4，OC=10，则AB的长是_______．
【答案】16
【详解】解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD，
∵CD=4，OC=10，
∴OD=OC-CD=10-4=6，
∵OA=OC=10，
∴AD=8，
∴BD=AD=8，
∴AB=8+8=16．
故答案为：16．
6．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O点为圆心的圆的一部分，如果C是○O中弦AB的中点，CD经过圆心O交○O于点D，并且AB=2m，CD=3m，则○O的半径长为___________m．
【答案】
【分析】连接OA，先根据垂径定理、线段中点的定义可得OC⊥AB，AC=1m，设○O的半径长为rm，则OA=OD=rm，OC=(3-r)m，再在Rt△AOC中，利用勾股定理即可得．
7．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED=4，AB=16，则直径CD的长是________．
【答案】20
【详解】解：连接OA，设○O的半径是r，
∵OD⊥AB，
∴AE=BE=8，
∵OA2=OE2+AE2，
∴r2=(r-4)2+82，
∴r=10，
∴CD=2r=20，
故答案为：20．
8．如图，AB，AC都是○O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=3，那么BC=_ _．
【详解】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴点N和点M分别为AC、AB的中点，
∵MN=3，
∴BC=2MN=6，
故答案为：6．
9．如图，AB为○O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，EB=2，求弦CD的长．
【答案】8
【详解】解：连接OC，如图所示：
∵AB为○O的直径，CD⊥AB，AB=10，
∴CE=DE，OC=OB=5，
∵EB=2，
∴OE=OB-EB=5-2=3，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE=4，
∴CD=2CE=8．
10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD，点O是弧CD的圆心，E为弧CD上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD=600m，EF=100m，求这段弯路的半径．
【答案】这段弯路的半径为500m．
【详解】解：如图，连接OD．
∵OE⊥CD，
∴DF=．
设这段弯路的半径为rm，则OF=OE-EF=(r-100)m．
∵在Rt△ODF中，OD2=OF2+DF2,
∴r2=(r-100)2+3002，
解得：r=500，
∴这段弯路的半径为500m．
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,
并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形