3.4 圆周角和圆心角的关系 课件 (共39张PPT)

(共39张PPT)
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
北师大版九年级下册
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当堂检测
课堂小结
学习目标
1、理解并掌握圆周角定理，学会圆周角定理的证明与应用；
2、理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.
3、理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.
4、掌握圆心角与圆周之间的关系，并熟练运用圆内接四边形的性质，解决与圆相关的图形几何问题；
导入新课
观察与思考
问题 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角, 如∠BOC.
A
讲授新课
知识点一 圆周角的概念及其推论
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
测量：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
测量与猜测
猜测：圆周角的度数_______它所对弧上的圆心角度数的一半.
等于
推导与验证
已知：在圆O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC.
求证：∠BAC= ∠BOC.
圆心O在∠BAC的内部
圆心O在
∠BAC的一边上
圆心O在
∠BAC的外部
圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心O在∠BAC的外部
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理及其推论
A1
A2
A3
推论1：
同弧所对的圆周角相等.
要点归纳
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB
所对的弧为 ,
例1 如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数.
AB
⌒
B
C
O
.
70°
A
∴∠ACB= ∠AOB=25°.
同理∠BAC= ∠BOC=35°.
典例精析
知识点二 直径所对应的圆周角是直角
思考：如图，AC是圆o的直径，
则∠ADC= ，
∠ABC= .
90°
90°
推论：直径所对的圆周角是直角.
反之，90°的圆周角所对的弦是直径.
例2：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
典例精析
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
B
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
归纳
知识点三 圆内接四边形的概念及其性质
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？
如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.
(2)当ABCD为一般四边形时，
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .
∠A+∠C=180 ，∠B+∠D=180
性质探究
(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .
∠A+∠C=180 ，∠B+∠D=180
试一试
证明：圆内接四边形的对角互补.
已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°.
证明：连接OB、OD.
根据圆周角定理，可知
1
2
由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°
圆内接四边形的对角互补.
推论
例3：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
典例精析
当堂练习
1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且AB=4，BC=3，∠ABC=90°，则⊙O的直径为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【详解】解：∵∠ABC=90°，
∴AC是直径，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
即○O的直径为5．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆O，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，若∠A=∠α，则∠DOE的度数为（　　）
A．180-2α B．180-α C．90-α D．2α
【答案】A
【详解】连接CD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=90-α，
∴∠DOE=2∠ACD=180°-2α，
故选：A．
3．如图，点A，B，C，D在○O上，且弧AC=2弧AB，若∠AOB=30°，则∠BDC的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【分析】如图所示，连接OC，先根据弧与圆心角的关系得到∠AOC=2∠AOB=60°，则∠BOC=90°，由此利用圆周角定理求解即可．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，BC=24，点D为线段BC上一动点，以CD为○O直径，作AD交○O于点E，则BE的最小值为（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【分析】连接CE，可得∠CED=∠CEA=90°，从而得到点E在以AC为直径的圆Q上，则当Q，E，B三点共线时，BE最小，再根据勾股定理求出QB，即可求解．
【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的路径，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
5．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，点D是弧AC的中点，则∠BAD=______．
【答案】55°
【分析】连接BD，根据AB是半圆的直径，∠BAC=20°，得到∠DAC+∠DBA=70°，根据点D是弧AC的中点，得到∠DAC=∠DBA，计算即可．
6．如图，在○O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若点P是○O上异于点A、B的任意一点，则∠APB=________．
【答案】60°或120°
【分析】如图，连接OA,OB，根据弦AB垂直平分半径OC，推出OA=AC，得到△AOC为等边三角形，得到∠AOB=60°，推出∠AOB=120°，分点P在优弧AB和劣弧AB两种情况进行讨论，求解即可．
7．如图，OA,OB是圆O的半径，点C在圆O上，∠AOB=40°，∠OAC=30°，则∠B的度数为______°．
【答案】50
【详解】解：∵∠AOB=40°，
∴∠ACB=20°，
∵∠OAC=30°，∠ACB+∠B=∠AOB+∠OAC
∴∠B=30°+40°-20°=50°，
故答案为：50．
8．如图，在半径为1的圆O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB,AE,OB,OC,OD,OE．若∠BAE=65°，∠COD=70°，则∠BOC+∠DOE=_____°．
【答案】60
【分析】利用圆周角定理解题即可．
【详解】
解：∵∠BAE＝65°，
∴∠BOE＝2∠BAE＝130°，
∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°．
故答案为：60．
9．如图，四边形ABCD内接于○O，AC为○O的直径，∠ADB=∠CDB，若AB=，AD=1，求CD的长度．
【详解】解：∵AC为○O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴在Rt△ABC中，AC=2，
在Rt△ADC中，CD=．
10．如图，AB是○O的直径，∠ACD=30°，过D作DE⊥AB，垂足为点E，DE的延长线交○O于点F，AB=8，求∠DAB的度数和DF的长．
【详解】解：如图，连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠B=∠ACD=30°，
∵AB是○O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°-∠B=60°；
∵∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴AD=，
∵∠DAB=60°，DE⊥AB，且AB是直径，
∴∠ADE=30°，DE=EF，
∴AE=AD=2，DE=，
∴DF=2DE=．
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等；
圆周角推论2
圆周角推论3
直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径
圆内接四边形的对角互补.