3.6 直线和圆的位置关系 课件 (共43张PPT)

(共43张PPT)
第三章 圆
3.6 直线和圆的位置关系
北师大版九年级下册
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、理解并掌握直线与圆相交、相切和相离的三种位置关系；
2、能根据圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系，判断出直线与圆的位置关系.
3、理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.
4、三角形的内切圆和内心的概念及性质，学会运用三角形内切圆的概念解决圆的角度问题；
导入新课
温故知新
点和圆的位置关系有几种？
dd=r
d>r
用数量关系如何来
判断呢？
⑴点在圆内
·
P
⑵点在圆上
·
P
⑶点在圆外
·
P
(令OP=d )
讲授新课
知识点一 直线与圆的位置关系
直线与圆的 位置关系
图形
公共点个数
公共点名称
直线名称
2个
交点
割线
1个
切点
切线
0个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
问题 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
●
●
●
l
0
2
知识理解
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.
A
l
O
知识要点
问题2 刚才同学们用硬币移近直线的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
相关知识：
点到直线的距离是指从直线外一点（A)到直线(l)的垂线段(OA)的长度.
l
A
O
圆心到直线的距离
在发生变化；
首先距离大于半径，
而后距离等于半径，
最后距离小于半径.
问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？
O
d
合作探究
直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r
r
d
∟
r
d
∟
r
d
数形结合：
位置关系
数量关系
（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
o
o
o
直线与圆的位置关系
的性质与判定的区别：
位置关系 数量关系.
公共点个数
要点归纳
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm.
(1) 以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与圆C相切？．
典例精析
B
C
A
4
3
D
∴
解：过C作CD⊥AB，垂足为D.
在△ABC中，
AB=
5.
根据三角形的面积公式有
因此，当半径长为2.4cm时，AB与圆C相切.
记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.
(2)以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
① r=2cm；② r=2.4cm； ③ r=3cm．
解：由(1)可知圆心C到AB的距离d=2.4cm.
所以 ①当r=2cm时,
有d >r,
因此⊙C和AB相离.
②当r=2.4cm时,有d=r.
因此⊙C和AB相切.
③当r=3cm时，有d因此，⊙C和AB相交.
知识点二 圆的切线性质
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
A
l
O
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
（2）则OMC
D
B
O
A
（3）所以AB与CD垂直.
M
证法1：反证法.
切线性质的证明
C
D
O
A
证法2：构造法.
作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD ⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．
知识点三 圆的切线性质的判定
问题1 如图，OA是⊙O的半径， 经过OA 的外端点A， 作一条直线l⊥OA，圆心O 到直线l 的距离是多少？ 直线l 和⊙O有怎样的位置关系？
合作探究
l
l
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
要点归纳
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
注意
判一判
例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
O
B
A
C
证明：连接OC.
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
典例精析
知识点四 三角形的内切圆及内心
例3 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆O.
分析：如果圆O与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.
半径
到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A 的__________与∠B的___________的___点.
平分线
平分线
交
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
M
N
D
观察与思考
与△ABC的三条边都相切的圆有几个？
因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个.
D
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
B
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
┐
A
C
O
┐
┐
D
E
F
3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心.
概念学习
当堂练习
1．已知⊙O的半径为5．OP＝5，则过点P的直线PQ与⊙O的公共点个数为（　　）
A．1 B．2 C．0 D．1或2
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离为5，则直线和圆相交或相切，据此可以得到公共点的个数．
【详解】解：∵⊙O的半径为5，P为⊙O所在平面内某直线上l一点，若OP=5，
∴直线与圆相切或相交，
故公共点的个数为1或2．
故选：D．
2．下列说法正确的是( )
A．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴
B．在同圆或等圆中，等弦所对的弧相等
C．三角形的外心到三角形三个顶点距离相等
D．圆的切线垂直于半径
【答案】C
【详解】A、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，选项说法错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弦所对的劣弧和劣弧相等，优弧和优弧相等，选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，选项说法正确，符合题意；
D、圆的切线垂直与过切点的半径，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
3．如图，PA、PB是○O切线，A、B为切点，点C在○O上，且∠ACB=50°，则∠APB等于( )
A．50° B．120° C．100° D．80°
【答案】D
【详解】解：如图，连接OA,OB
∵PA,PB是○O切线．
∴OA⊥PA，OB⊥PB
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠OAP+∠OBP=360°
∴∠AOB+∠P=180°
∴∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°，
∴∠P=180°-100°=80°．
故选D．
4．如图，AB是○O的直径，点E，C在○O上，点A是弧EC的中点，过点A作○O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB=59°，则∠ACE的度数为（　　）
A．59° B．41° C．31° D．29°
【答案】C
【分析】由题意易得∠ABD=∠ACE，根据切线的性质可知∠BAD=90°，然后问题可求解．
【点睛】本题主要考查切线的性质及弧与圆周角的关系，熟练掌握切线的性质及弧与圆周角的关系是解题的关键．
5．如图，△ABC的内切圆○O与BC边相切于点D，∠A=70°，∠C=80°，连接OB，OD，则∠BOD的度数为______．
【答案】75度
【详解】解：∵∠A=70°，∠C=80°，
∴∠ABC=180°-70°-80°=30°，
∵△ABC的内切圆⊙O与边BC相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD=，
∴∠BOD=90°-∠OBD=75°．
故答案为：75°．
6．在等边△ABC中，若AB=6，则△ABC的内切圆半径r=___________．
【答案】
【分析】设△ABC的内切圆圆心为I，连接AI,CI，延长CI交AB于点H，根据等边三角形内切圆的性质可得CH⊥AB，∠IAH=30°，AH=BH=AB=3，再由锐角三角函数，即可求解．
7．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC=70°，则∠ABC的度数等于___________°．
【答案】70°
【分析】根据OC⊥OA，得到∠AOC=90°，∠APO=∠BPC=70°，然后再因为BC为○O的切线，进而得出最后的结论．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，正确理解题意是解题的关键．
8．如图，AB是○O的直径，直线PA与○O相切于点A，PO交○O于点C，连接BC，∠P=40°，则∠ABC的度数为_________．
【答案】25度
【分析】根据切线的性质得出∠PAO=90°，继而可得∠POA=50°根据圆周角定理可得∠POA=2∠ABC即可求解．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
9．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB是圆O的直径，点D在圆O上，AC=CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
(1)求证：∠ABC=∠CAD；
(2)求证：BE⊥CE．
【分析】（1）根据等弦对等弧，得到弧AC等于弧CD，再根据等弧所对的圆周角相等，即可得证；
（2）连接OC，根据切线的性质可得：OC⊥EC，再根据圆内接四边形的外角等于内对角，以及∠ABC=∠CAD，得到：∠CBE=∠OBC=∠OCB，进而得到：OC∥BE，即可得证．
10．如图，AD与○O相切于点D，点A在直径CB的延长线上．
(1)求证：∠DCB=∠ADB；
(2)若∠DCB=30°，AC=3，求AD的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵AD与○O相切于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODB+∠ADB=90°，
∵CB是直径，
∴∠CDB=90°，
∴∠ODB+∠ODC=90°，
∴∠ODC=∠ADB，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠C=∠ADB；
（2）解：由（1）得∠ODC=∠DCB=∠BDA,
∵∠DCB=30°，∠ODA=∠CDB=90°
∴∠DOA=60°,∠OAD=30°,BD=
∴AB=BD,
∵AC=AB+BC=3,
∴BD+2BD=3,解得：BD=1,
∴BC=2，r=1
在Rt△ODA中，∠OAD=30°，
∴AD=OD=．
课堂小结
切线的
性质
有1个公共点
d=r
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
性质定理
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
三角形内切圆
有关概念
内心概念及性质