人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.1《数列的概念---第二课时》名师 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
人教A版同步教材名师课件
数列的概念
---第二课时
学习目标
学 习 目 标 核心素养
了解数列的概念 数学抽象
掌握数列的几种表示方法 数学运算
能由数列的递推关系写出数列的通项公式 数学运算
学习目标
学习目标:
1.理解递推公式的含义.
2.掌握递推公式的应用.
3.会用与的关系求通项公式.
学科核心素养:
1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项,培养学生的逻辑推理素养.
2.借助利用与的关系确定的求法,培养学生的逻辑推理及数学运算素养.
探究新知
如果一个数列的首项,从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上1,即,像这样给出数列的方法叫做递推法,其中称为递推公式.
同学们试着写出上述材料中数列的前5项
易得数列的前项为:
数列的一个通项公式为
新知训练
已知数列,满足写出数列的前6项,并猜想出数列的一个通项公式.
通项公式与递推公式的区别与联系
区别 联系
通项公式 项是序号的函数式 可以确定数列
递推公式 已知首项(或前几项)及相邻项间的关系式　
解析
探究新知
在对数列的研究中,求数列某些项的和是主要问题之一,我们把数列从第1项起到第项止的各项之和,称为数列的前项和,记作,即.
如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
显然,于是我们有
探究新知
思考
已知数列的前项和公式为,你能求出的通项公式吗？
因为
并且当时, 依然成立.
所以的通项公式是.
解析
例1、在数列中, ,求数列的通项公式.
将递推公式整理为累加求通项公式.
,
…
以上各式相加得
所以
因为也适合上式,所以.
典例讲解
解析
思路探究
在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解,提高运算能力.
方法归纳
因为,
所以 ,
所以
,
,
,
,
…
.
1.在数列中, ,求数列的通项公式.
变式训练
解析
变式训练
所以
=+()+ ()+()+…+()
= .
当时也适合上式,
所以= .
1.在数列中, ,求数列的通项公式.
解析
因为
所以,
.
又因为时,,符合上式,所以
典例讲解
解析
例2、设数列中,求数列的通项公式.
思路探究
将递推公式整理为,累乘求通项公式.
1.用“累加法”求数列的通项公式
当满足一定条件时,
常用累加来求通项.
2.用“累乘法”求数列的通项公式
当满足一定条件时,
常用累乘来求通项.
方法归纳
当时,因为,
所以 ,
所以 .
所以,所以 ,
当时符合上式,所以,
变式训练
解析
2.已知数列中,,当且时,,求通项公式.
由,可得,
则,
时,也满足上式,
所以 .
变式训练
解析
3.若,求该数列的通项公式.
因为,
所以时,
适合上式,
所以
典例讲解
解析
例3、已知数列的前项和,求通项公式.
思路探究
利用前项和与通项公式的关系求通项公式.
典例变式
因为,
所以时,
,不适合上式
所以
解析
本例中,若,试求通项公式.
(1)利用之间的关系进行判断.
(2)利用数列项的增减特征确定最大项后求值.
典例讲解
例4、已知函数,设数列的通项公式
(1)试探究数列的项的增减有何规律.
(2)求该数列的最大项.
思路探究
(1)
所以,
当时,,即
当时,,即;
当时,即.
则
所以数列的项先递增到,与相等,从开始递减.
典例讲解
解析
(2)由(1)可知,数列有最大项,为第项和第项.
.
数列的通项,
如何求数列的最大项
先研究函数的单调性,
再依据的定义域是正整数集(或其有限子集)
求出数列的最大项.
方法归纳
1.关于与的关系
数列的前项和与通项公式的关系为
求通项公式时注意两个方面,
一是书写要注明,因为当时,无意义;
二是要验证时是否适合.
2.数列单调性的判断方法
根据定义判断:
若,则是单调递增数列;
若,则是单调递减数列;
若,则是常数列.
方法归纳
作差法:
若,则数列是单调递增数列;
若,则数列是单调递减数列;
若,则数列是常数列.
3.求数列的最大项和最小项的方法
方法一:利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,
再求数列的最大项或最小项.
方法二:解不等式(组):设是最大项,
则有对任意且均成立,解不等式组即可.
方法归纳
由已知,得,
由于,
故当取距离最近的正整数时,
取得最大值.
所以数列中的最大值为.
变式训练
解析
4.数列中,,则此数列中的最大值是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
B
,
.
变式训练
解析
5.若数列的前项和,则________,通项公式__________.
(1)令,得,,
所以数列中仅有两项,是负数.
(2),
其对称轴为,
又,所以取时,有最小值.
变式训练
解析
6.数列的通项公式为.
(1)数列中有多少项是负数
(2)当为何值时,有最小值 并求出最小值.
素养提炼
1.用“累加法”求数列的通项公式
当满足一定条件时,
常用累加来求通项.
2.用“累乘法”求数列的通项公式
当满足一定条件时,
常用累乘来求通项.
3.关于与的关系
数列的前项和与通项公式的关系为
求通项公式时注意两个方面,
一是书写要注明,因为当时,无意义;
二是要验证时是否适合.
4.数列单调性的判断方法
根据定义判断:若,则是单调递增数列;
若,则是单调递减数列;
若,则是常数列.
素养提炼
B中从第二项起,后一项是前一项的倍,
符合递推公式.
当堂练习
解析
1.符合递推关系式的数列是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.
C. D.
B
因为 ,
所以时,
,
所以,
所以数列为递减数列.
当堂练习
解析
2.已知数列的通项公式为 ,则数列为(　 )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.无法确定数列的增减性
B
因为,所以,
.
当堂练习
因为,
所以的周期为,所以.
解析
解析
3. 已知数列满足,且,则_____.
4.已知数列中,,则____.
归纳小结
1.用“累加法”求数列的通项公式
当满足一定条件时,
常用
累加来求通项.
2.用“累乘法”求数列的通项公式
当满足一定条件时,
常用累乘来求通项.
作 业
P8 练习:2、4