人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《数列的概念---第一课时》名师课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
人教A版同步教材名师课件
数列的概念
---第一课时
学习目标
学 习 目 标 核心素养
了解数列的概念 数学抽象
掌握数列的几种表示方法 数学运算
能由数列的递推关系写出数列的通项公式 数学运算
学习目标
学习目标:
1.理解数列的概念.
2.掌握数列的通项公式及应用.
3.理解数列是一种特殊的函数,理解数列与函数的关系 .
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
学科核心素养:
1.通过数列概念及数列通项的学习,体现了数学抽象及逻辑推理素养.
2.借助数列通项公式的应用,培养学生的逻辑推理及数学运算素养.
3.借助数列与函数关系的理解,提升学生的数学建模和直观想象素养.
【探究一】请同学们观察下列情境中的四组数,探究它们的共同规律.
(1)一尺之棰,日取其半,万世不竭.——《庄子》
(2)三角形数
(3)正方形数
(4)无穷多个3排成的一列数
探究新知
共同特点:
1. 都是一列数;
2. 都有一定的顺序
按一定顺序排列着的一列数称为数列
各项依次叫做这个数列的
第1项,第2项,···,第n项, ······
数列中的每一个数叫做这个数列的项
数列的一般形式可以写成:
简记为 :
探究新知
(1) “1, 2, 3, 4, 5”与“ 5, 4, 3, 2, 1”是同一个数列吗
——数列的有序性
(2)(4)、(5)这两组数是数列吗
——数列的项可重复性
(3)数列与集合有什么区别
集合讲究:无序性、互异性、确定性,
数列讲究:有序性、可重复性、确定性.
探究新知
问题1:
问题2:你能用不同的标准给下列数列进行分类吗
(提示:分类标准可以为“项的数量”和“项的大小”)
数列的分类
(1)按项数分:
项数有限的数列叫有穷数列
(2)按项之间的大小关系:
递增数列,
递减数列,
摆动数列,
常数列.
项数无限的数列叫无穷数列
探究新知
【探究二】:数列中的项和它的序号是什么关系 哪个是变动的量,哪个是随之变动的量 你能联想到以前学过的哪些相关内容
数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数
函数值
自变量
项
序号
探究新知
1 2 3 4
1 2 3 4
【探究二】:数列中的项和它的序号是什么关系 哪个是变动的量,哪个是随之变动的量 你能联想到以前学过的哪些相关内容
函数值
自变量
项
序号
探究新知
问题1:你能求出这个函数的解析式吗
数列通项公式
如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
1 2 3 4
1 2 3 4
探究新知
问题2:类比函数的表示方法,你还能用其他方法表示数列(1)、数列(2)吗
数列的表示方法:
列表法, 通项公式法,图象法
数列与函数的比较
函数 数列
定义域
解析式
图 像
1 2 3 4
1 2 3 4
问题2:类比函数的表示方法,你还能用其他方法表示数列(1)、数列(2)吗
数列的表示方法:
列表法, 通项公式法,图象法
数列与函数的比较
函数 数列
定义域
解析式
图像
探究新知
1 2 3 4
1 2 3 4
例1、根据下面数列{}的通项公式,写出它的前5项,并画出它们的图象.
典例讲解
(1)
(2).
(1)当通项公式中的时,
数列的前5项依次为
图象如图(1)所示.
解析
例1、根据下面数列{}的通项公式,写出它的前5项,并画出它们的图象.
典例讲解
(1)
(2).
解析
(2)当通项公式中的时,
数列的前5项依次为
图象如图（2）所示.
典例讲解
例2、(1)下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
解析
(1)ABC为无穷数列,其中A是递减数列,B是摆动数列,
C是递增数列,故选C.
C
典例讲解
(2)(一题多空)已知下列数列:
①
②;
③;
④;
⑤
⑥.
其中,有穷数列是___________,无穷数列是__________,
递增数列是_________,递减数列是____________,常数列是___________,
摆动数列是___________(填序号).
解析
① ⑥
②③④⑤
① ⑤
②
⑥
③ ④
方法归纳
1.有穷数列与无穷数列:判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需观察数列是有限项还是无限项.若数列是有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.
2.数列的单调性:若满足,则是递增数列;若满足,则是递减数列;若满足,则是常数列;若与的大小不确定,则是摆动数列.
变式训练
1.(一题多空)给出下列数列:
①2013~2020年某市普通高中生人数(单位:万人)构成数列;
②无穷多个构成数列;
③的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,构成数列
其中,有穷数列是___________,无穷数列是_________,递增数列是__________,常数列是__________,摆动数列是___________.
①为有穷数列;②③是无穷数列,同时①也是递增数列;
②为常数列. ③为摆动数列.
解析
①
② ③
①
②
③
典例讲解
例3、已知数列的前几项,写出下面数列的一个通项公式.
观察数列前后项之间的规律,规律不明显的需将个别项进行调整,
再看是否与对应的序号有规律的联系.
思路探究
典例讲解
(1)观察发现各项分别加上1后,数列变为
新数列的通项为,故原数列的通项公式为.
解析
(2)各项乘,变为9,99,999,…,各项加上1后,
数列变为10,100,1000,…,新数列的通项为,
故原数列的通项公式为.
解析
典例讲解
(3)所给数列有这样几个特点:
①符号正、负相间;
②整数部分构成奇数列;
③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方;
④分数部分的分子依次大1.
综合这些特点写出表达式,再化简即可.由所给的几项可得数列的通项公式为
所以.
解析
典例讲解
(4)数列的符号规律是正、负相间,
使各项分子为,数列变为
再把各分母分别加上,
数列又变为
所以
解析
典例讲解
(5)法一:可写成分段函数形式:
法二:
即
解析
方法归纳
(1)数列的一个通项公式为;
(2)数列的一个通项公式为;
(3)数列的一个通项公式为;
(4)数列的一个通项公式为;
(5)数列的一个通项公式为;
(6)数列的一个通项公式为;
(7)数列的一个通项公式为.
1.常见数列的通项公式归纳
方法归纳
①考察各项的结构;
②观察各项中的“变”与“不变”;
③观察“变”的规律是什么;
④每项符号的变化规律如何;
⑤得出通项公式.
2.复杂数列的通项公式的归纳方法
变式训练
2.写出下面各数列的一个通项公式:
(1)各项加1后,变为新数列的通项公式为,可得原数列的一个通项公式为.
(2)数列各项的绝对值为是连续的正奇数,其通项公式为,考虑到具有转换正、负号的作用,所以数列的一个通项公式为.
解析
变式训练
(3)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项统一成分数再观察: 所以,它的一个通项公式为
(4)可看作,可看作,可看作,可看作,可看作,…,所以原数列的一个通项公式为.
2.写出下面各数列的一个通项公式:
解析
典例讲解
例4、已知数列的通项公式为.
(1)写出此数列的第项和第项;
(2)是否是该数列的一项 如果是,应是哪一项 是否是该数列的一项呢
(1)将分别代入求出数值即可;
(2)令和,
求得是否为正整数并判断.
思路探究
典例讲解
(1)
(2)令,解得或(舍去),
所以是该数列的第7项;
令,解得或,
均不合题意,所以不是该数列的项.
例4、已知数列的通项公式为.
(1)写出此数列的第项和第项;
(2)是否是该数列的一项 如果是,应是哪一项 是否是该数列的一项呢
解析
典例变式
1.(变结论)若本例中的条件不变,
(1)试写出该数列的第3项和第8项;
(2)20是不是该数列的一项 若是,是哪一项
(1)因为,
所以
(2)令,解得或(舍去),
所以是该数列的第项.
解析
典例变式
2.(变条件,变结论)若将例题中的“”变为“”,试判断数列的单调性.
数列是递增数列.
解析
方法归纳
1.由通项公式写出数列的指定项,主要是对进行取值,然后代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析式和自变量的值求函数值.
2.判断一个数是否为该数列中的项,其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项.
3.在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域是或它的有限子集这一约束条件.
素养提炼
1.数列的通项公式是一个函数关系式,它的定义域是(或它的一个子集).
2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列,它没有通项公式,也并不是通项公式都唯一.如,,既可以写成,也可以写成
素养提炼
3.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征,并对此进行联想、转化、归纳.
4.数列是以正整数作为自变量的特殊函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法,即用共性来解决特殊问题.
1.在数列中,等于( 　　)
A.11　　　　B.12 C.13 D.14
当堂练习
2.已知数列则是它的(　　)
A.第项 B.第项
C.第项 D.第项
令,解得.所以是它的第项,故应选B.
解析
解析
观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和,故.
B
C
当堂练习
3.数列的一个通项公式是(　　)
该数列的前几项可以写成,,,, … ,
故可以归纳为.故选B.
解析
B
当堂练习
4.(一题两空)已知数列的通项公式,则它的第7项是________, ________.
.
解析
4
27
当堂练习
5.已知数列的通项公式为,则
(1)计算的值;
(2) 是不是该数列中的项 若是,应为第几项 若不是,说明理由.
(1) ,
.
(2)是.若为数列中的项,则,
或(舍),即是数列的第项.
解析
通项公式
数列的概念
表示方法
分类
列表
图象
项数
有穷数列
无穷数列
递增
数列
递减
数列
摆动
数列
常
数列
大小
函数
数列
归纳小结
作 业
P5 练习:1、4