人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《数列的相关概念》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《数列的相关概念》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 11:52:48 | ||
图片预览
文档简介
《数列的相关概念》教学设计
一、创设情境,导入新课
某种树木的分枝生长规律如图所示,你能预计到第6年时,树木的分枝数是多少吗
设计意图:通过实际问题情境引入新课,让学生认识到数列是一种重要的数学模型.
二、探究新知
1.合作探究1
师:上面给出的问题中,树木的分枝数依次为1,1,2,3,5,8,13,….①
与此类似,在现实生活和数学学习中,我们经常需要根据问题的意义,通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:
(1)王芳从1岁到17岁,每年生日那天测量身高.将这些身高数据(单位:cm)依次排成一列数:
75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.②
(2)在两河流域发掘的一块泥版(编号K90,约产生于公元前7世纪)上,有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:
5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.③
(3)的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂、5次幂……依次排成一列数:
④
请同学们想一想:①②③④中的数字是否可以交换位置
生:不能交换位置,若交换则与问题的意义不相符.
师:说得很好,随着数学水平的提高,我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数,它们有何共同特点
生:均是一列数,还有一定的顺序.
师:它们的共同特点:都是按照一定顺序排列的一列数.
设计意图:通过具体实例,让学生探究数列的本质,初步感受数列的概念.
2.概念生成1
(1)数列的定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
注意:①数列的数是按一定顺序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同,那么它们就是不同的数列;②定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
(2)数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项.
师:上述例子均是数列,其中①的首项是什么 “8”是这个数列的第几项
生:①中,“1”是这个数列的第1项(或首项),“8”是这个数列的第6项.
结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义.例如②中,这是一个数列,它的首项是75,96是这个数列的第3项,等等.
(3)数列的一般形式是,简记为.
师:对于上述给出的四个数列,如果按项的个数分,可以分为哪几类
生:分两类,项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
设计意图:结合实例理解数列的有关概念和一般形式,帮助学生建立准确的数列概念.
3.合作探究2
师:同学们看数列④中序号与项之间的对应关系(课件出示),你能从中得到什么启示
生:对于任意一个确定的序号,都有唯一的数列的项与之对应,是一种函数关系.
4.概念生成2
从函数角度来认识数列:
由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系:
所以数列是从正整数集(或它的有限子集,)到实数集的函数,其自变量是序号,对应的函数值是数列的第项,记为.也就是说,当自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值就是数列.另一方面,对于函数,如果有意义,那么构成了一个数列.
设计意图:从函数角度帮助学生理解数列的本质,为下一步学习数列的单调性和表示方法作准备.
5.合作探究3
师:既然数列是特殊的函数,那么请同学们想一想数列有哪些表示方法 如何定义数列的单调性
生:函数常用的表示方法有列表法、图象法、解析式法,数列也应该有类似的方法.类比增函数,有随着序号的增大项也增大的数列;类比减函数,有随着序号的增大项减小的数列.
6.概念生成3
(1)数列的表示方法
与其他函数一样,数列也可以用表格和图象来表示.
例如,数列75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.
可以表示为下表.
它的图象如下图所示.
剖析:可以看到,数列的图象是一列孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看出数列的项随着序号由小到大变化而变化的趋势.
函数还有一种常用的表示方法——解析式法.实际上,如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.例如数列的通项公式为.显然,通项公式就是数列的函数解析式,根据通项公式可以写出数列的各项.
(2)数列的单调性
递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列.
递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列.
常数列:各项都相等的数列.
师:请同学们分别举出几个递增数列、递减数列、常数列.
生:递增数列:,.
递减数列:.
常数列:.
设计意图:根据数列是特殊的函数,用函数的观点研究数列的表示方法和单调性,让学生获取更加全面的知识.
三、例题剖析
例1 根据下列数列的通项公式,写出数列的前5项,并画出它们的图象.
(1);(2).
师:哪位同学来完成这道题 (找两名同学板演)
解:(1)当通项公式中的时,数列的前5项依次为.图象如图所示.
(2)当通项公式中的时,数列的前5项依次为.图象如图所示.
师:由通项公式定义可知,只要将通项公式中依次取,即可得到数列的前5项.
画数列的图象时,以序号为横坐标,相应的项为纵坐标,即以为坐标在平面直角坐标系中作出点,即可画出一个数列的图象.
设计意图:借助实例巩固数列的通项公式和数列的表示方法等知识.
例2 根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式:
(1);
(2).
师:这里只给出了数列的前4项,哪位同学能写出这些数列的一个通项公式 (给学生一定的思考时间)
解:(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为.
(2)这个数列的前4项的奇数项是2,偶数项是0,所以它的一个通项公式为.
师:是不是所有的数列都存在通项公式 根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗
学生思考回答后,给出解释:有的数列不存在通项公式.如本节课开始给出的数列②.根据数列的前几项写出的通项公式不是唯一的,例如例2(2)的通项公式也可表示为
设计意图:通过例题帮助学生进一步认识数列的通项公式,同时训练学生的观察、归纳能力.
四、课堂小结
对于本课时内容应着重掌握数列及有关概念,知道数列是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,了解数列的表示方法(列表法、图象法、通项公式法),会根据通项公式求其任意一项,并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式.
五、布置作业
1.教材第5页练习第3,4题.
2.教材第8页习题4.1第2,3题.
板书设计:
第1课时数列的相关概念 一、创设情境,导入新课 二、探究新知 1.数列的定义 2.数列的项 3.数列的一般形式 4.数列是特殊的函数 5.数列的表示方法 (1)列表法 (2)图象法 (3)通项公式法 6.数列的单调性 三、例题剖析 例1 例2 四、课堂小结 五、布置作业
教学研讨:
1.重视对学生学习数列的概念及其表示方法的过程的评价
关注学生在对数列概念与其表示方法的学习中,对所呈现的问题情境是否充满兴趣;在学习过程中,能否发现数列的项的规律特点,写出数列的通项公式.
2.正确评价学生的数学基础知识和基础技能
能否类比函数,正确理解数列的概念,正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列,了解数列是一种特殊的函数.
1 / 7
一、创设情境,导入新课
某种树木的分枝生长规律如图所示,你能预计到第6年时,树木的分枝数是多少吗
设计意图:通过实际问题情境引入新课,让学生认识到数列是一种重要的数学模型.
二、探究新知
1.合作探究1
师:上面给出的问题中,树木的分枝数依次为1,1,2,3,5,8,13,….①
与此类似,在现实生活和数学学习中,我们经常需要根据问题的意义,通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:
(1)王芳从1岁到17岁,每年生日那天测量身高.将这些身高数据(单位:cm)依次排成一列数:
75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.②
(2)在两河流域发掘的一块泥版(编号K90,约产生于公元前7世纪)上,有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:
5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.③
(3)的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂、5次幂……依次排成一列数:
④
请同学们想一想:①②③④中的数字是否可以交换位置
生:不能交换位置,若交换则与问题的意义不相符.
师:说得很好,随着数学水平的提高,我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数,它们有何共同特点
生:均是一列数,还有一定的顺序.
师:它们的共同特点:都是按照一定顺序排列的一列数.
设计意图:通过具体实例,让学生探究数列的本质,初步感受数列的概念.
2.概念生成1
(1)数列的定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
注意:①数列的数是按一定顺序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同,那么它们就是不同的数列;②定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
(2)数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项.
师:上述例子均是数列,其中①的首项是什么 “8”是这个数列的第几项
生:①中,“1”是这个数列的第1项(或首项),“8”是这个数列的第6项.
结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义.例如②中,这是一个数列,它的首项是75,96是这个数列的第3项,等等.
(3)数列的一般形式是,简记为.
师:对于上述给出的四个数列,如果按项的个数分,可以分为哪几类
生:分两类,项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
设计意图:结合实例理解数列的有关概念和一般形式,帮助学生建立准确的数列概念.
3.合作探究2
师:同学们看数列④中序号与项之间的对应关系(课件出示),你能从中得到什么启示
生:对于任意一个确定的序号,都有唯一的数列的项与之对应,是一种函数关系.
4.概念生成2
从函数角度来认识数列:
由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系:
所以数列是从正整数集(或它的有限子集,)到实数集的函数,其自变量是序号,对应的函数值是数列的第项,记为.也就是说,当自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值就是数列.另一方面,对于函数,如果有意义,那么构成了一个数列.
设计意图:从函数角度帮助学生理解数列的本质,为下一步学习数列的单调性和表示方法作准备.
5.合作探究3
师:既然数列是特殊的函数,那么请同学们想一想数列有哪些表示方法 如何定义数列的单调性
生:函数常用的表示方法有列表法、图象法、解析式法,数列也应该有类似的方法.类比增函数,有随着序号的增大项也增大的数列;类比减函数,有随着序号的增大项减小的数列.
6.概念生成3
(1)数列的表示方法
与其他函数一样,数列也可以用表格和图象来表示.
例如,数列75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.
可以表示为下表.
它的图象如下图所示.
剖析:可以看到,数列的图象是一列孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看出数列的项随着序号由小到大变化而变化的趋势.
函数还有一种常用的表示方法——解析式法.实际上,如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.例如数列的通项公式为.显然,通项公式就是数列的函数解析式,根据通项公式可以写出数列的各项.
(2)数列的单调性
递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列.
递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列.
常数列:各项都相等的数列.
师:请同学们分别举出几个递增数列、递减数列、常数列.
生:递增数列:,.
递减数列:.
常数列:.
设计意图:根据数列是特殊的函数,用函数的观点研究数列的表示方法和单调性,让学生获取更加全面的知识.
三、例题剖析
例1 根据下列数列的通项公式,写出数列的前5项,并画出它们的图象.
(1);(2).
师:哪位同学来完成这道题 (找两名同学板演)
解:(1)当通项公式中的时,数列的前5项依次为.图象如图所示.
(2)当通项公式中的时,数列的前5项依次为.图象如图所示.
师:由通项公式定义可知,只要将通项公式中依次取,即可得到数列的前5项.
画数列的图象时,以序号为横坐标,相应的项为纵坐标,即以为坐标在平面直角坐标系中作出点,即可画出一个数列的图象.
设计意图:借助实例巩固数列的通项公式和数列的表示方法等知识.
例2 根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式:
(1);
(2).
师:这里只给出了数列的前4项,哪位同学能写出这些数列的一个通项公式 (给学生一定的思考时间)
解:(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为.
(2)这个数列的前4项的奇数项是2,偶数项是0,所以它的一个通项公式为.
师:是不是所有的数列都存在通项公式 根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗
学生思考回答后,给出解释:有的数列不存在通项公式.如本节课开始给出的数列②.根据数列的前几项写出的通项公式不是唯一的,例如例2(2)的通项公式也可表示为
设计意图:通过例题帮助学生进一步认识数列的通项公式,同时训练学生的观察、归纳能力.
四、课堂小结
对于本课时内容应着重掌握数列及有关概念,知道数列是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,了解数列的表示方法(列表法、图象法、通项公式法),会根据通项公式求其任意一项,并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式.
五、布置作业
1.教材第5页练习第3,4题.
2.教材第8页习题4.1第2,3题.
板书设计:
第1课时数列的相关概念 一、创设情境,导入新课 二、探究新知 1.数列的定义 2.数列的项 3.数列的一般形式 4.数列是特殊的函数 5.数列的表示方法 (1)列表法 (2)图象法 (3)通项公式法 6.数列的单调性 三、例题剖析 例1 例2 四、课堂小结 五、布置作业
教学研讨:
1.重视对学生学习数列的概念及其表示方法的过程的评价
关注学生在对数列概念与其表示方法的学习中,对所呈现的问题情境是否充满兴趣;在学习过程中,能否发现数列的项的规律特点,写出数列的通项公式.
2.正确评价学生的数学基础知识和基础技能
能否类比函数,正确理解数列的概念,正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列,了解数列是一种特殊的函数.
1 / 7