《数列的概念》竞赛培优
一、填空题
1.（2018·全国高中数学联赛(湖北赛区)预赛）设数列满足,则______.
二、解答题
2.（2018·全国高中数学联赛卷)）已知数列满足,求满足的最小正整数
参考答案
1.
答案：
解析：由条件得,得.由得,即数列是周期数列,其周期为是.
2.
答案：见解析
解析：由可知.因此,即.
显然是单调递增数列.由于，故满足题目条件的n的最小值是12.
1 / 2第四章 数列
4．1 数列的概念
一、选择题
1.数列，，，，…的递推公式可以是( )
A．an＝(n∈N*) B.an＝(n∈N*)
C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*)
2.。数列，，，，…的第10项是( )
A. B. C. D.
3.已知数列，，，，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.【2019河北省正定县第三中学高一月考】数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B. C. D.
5.（2019·河北衡水中学高一月考）一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足.则该函数的图象可能是( )
A．B．
C．D．
6.【2019河南省豫南九校高一联考】在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2 019的值为( )
A.－ B.5 C. D.
7.【多选题】下列命题为真命题的有（ ）
A.已知数列{an}，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第一项．
B.数列，，2，，…的一个通项公式是an＝.
C.已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29.
D.已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．
其中正确命题的个数为( )
8.（2019·重庆市大学城第一中学校高一月考）设数列前项和为，已知，，则（ ）
A．1009 B． C．1010 D．
二、填空题
9.【2019黑龙江省哈尔滨市师范大学附中高一期中】若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________.
10.【2020吉林省实验中学高一期中】已知数列{an}的已知对于任意的正整数n，an＝n2＋λn.若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
11.在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an＝________.
三、解答题
12．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)猜想数列{an}的通项公式；
(3)画出数列{an}的图象．
13.【2019四川省成都外国语学校高一期中】设f(x)＝log2 x－logx4(0＜x＜1)，
又知数列{an}的通项an满足f(2an)＝2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)试判断数列{an}的增减性．
4．1 数列的概念答案
一、选择题
1.数列，，，，…的递推公式可以是( )
A．an＝(n∈N*) B.an＝(n∈N*)
C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*)
【答案】C
【解析】数列从第二项起，后一项是前一项的，故递推公式为an＋1＝an(n∈N*)．
2.。数列，，，，…的第10项是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝，当n＝10时，a10＝＝.
3.已知数列，，，，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】数列，，，，…的通项公式为
an＝，0.94＝＝，0.96＝＝，
0.98＝＝，0.99＝，
，，都在数列{}中，故有3个.
4.【2019河北省正定县第三中学高一月考】数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.
5.（2019·河北衡水中学高一月考）一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足.则该函数的图象可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题对于给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足．则可得到，所以在上都成立，
即，所以函数图象都在的下方．故选A．
6.【2019河南省豫南九校高一联考】在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2 019的值为( )
A.－ B.5 C. D.
【答案】C
【解析】在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，所以a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，所以{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 019＝a673×3＝a3＝.
7.【多选题】下列命题为真命题的有（ ）
A.已知数列{an}，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第一项．
B.数列，，2，，…的一个通项公式是an＝.
C.已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29.
D.已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．
其中正确命题的个数为( )
【答案】ABCD
【解析】对于A，令an＝＝ n＝10，易知最大项为第一项．A正确．
对于B，数列，，2，，…变为，，，，… ，，，，… an＝，B正确；
对于C，an＝kn－5，且a8＝11 k＝2 an＝2n－5 a17＝29.C正确；
对于D，由an＋1－an＝3＞0，易知D正确．
8.（2019·重庆市大学城第一中学校高一月考）设数列前项和为，已知，，则（ ）
A．1009 B． C．1010 D．
【答案】C
【解析】由已知得：，
.
故选C
二、填空题
9.【2019黑龙江省哈尔滨市师范大学附中高一期中】若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________.
【答案】3－4n
【解析】根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．∵an＝3－2n，∴a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝.
10.【2020吉林省实验中学高一期中】已知数列{an}的已知对于任意的正整数n，an＝n2＋λn.若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
【答案】λ＞－3
【解析】∵{an}是递增数列，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ＞0对于任意的正整数n恒成立，即λ ＞－2n－1对于任意的正整数n恒成立，∴λ＞－3.
11.在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an＝________.
【答案】2n＋nln n
【解析】由题意得－＝ln(n＋1)－ln n，－＝ln n－ln(n－1)(n≥2).
∴－＝ln 2－ln 1，－＝ln 3－ln 2，…，
－＝ln n－ln(n－1)(n≥2).
累加得－＝ln n，∴＝2＋ln n(n≥2)，
又a1＝2适合，故an＝2n＋nln n.
三、解答题
12．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)猜想数列{an}的通项公式；
(3)画出数列{an}的图象．
【解】(1)a1＝1，a2＝×1＝，
a3＝×＝，
a4＝×＝，
a5＝×＝.
(2)猜想：an＝.
(3)图象如图所示：
13.【2019四川省成都外国语学校高一期中】设f(x)＝log2 x－logx4(0＜x＜1)，
又知数列{an}的通项an满足f(2an)＝2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)试判断数列{an}的增减性．
【解】(1)∵f(x)＝log2x－logx4(0＜x＜1)，f(2an)＝2n，
∴log22an－log2an4＝2n，
由换底公式，得log22an－＝2n，
即an－＝2n，∴a－2nan－2＝0，
∴an＝n±.③
由0＜x＜1，有0＜2an＜1，
∴an＜0.④
由③④得an＝n－，此即为数列{an}的通项公式．
(2)＝
＝＜1
∵an＜0，∴an＋1＞an，
∴数列{an}是单调递增数列．
PAGE《数列的概念》学考达标练
一、选择题
1.（2020·山东枣庄八中高一月考）数列的第10项是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.(2020·河北衡水中学高一月考)一给定函数的图像在下列四个选项中,并且对任意,由关系式得到的数列满足.则该函数的图像可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.(2020·陕西西工大附中月考)已知数列的前项和满足,且,那么（ ）
A.1
B.9
C.10
D.55
4.(2020·河南豫南九校高一联考)在数列中,,则的值为（ ）
A.
B.5
C.
D.
二、填空题
5.(2020·辽宁庄河中学二ニ月考)若数列的前4项分别是,则此数列的一个通项公式为______.
6.(2020·黑龙江哈尔滨师范大学附中高一期中)若数列的通项公式是,则______,______.
三、解答题
7.(2020·江苏泰州中学高一期中)已知数列中,.
(1)写出数列的前5项;
(2)猜想数列的通项公式;
(3)画出数列的图像.
参考答案
1.
答案：C
解析：由数列的前4项可知,数列的一个通项公式为n=10时,.
2.
答案：A
解析：由题意得,所以在,1)上都成立,即,所以函数图像都在的下方.故选.
3.
答案：B
解析：令，则,即.故选B.
4.
答案：C
解析：在数列中,所以，所以是以3为周期的周期数列,所以.故选C.
5.
答案：答案不唯一）
解析：数列的前4项分别是,,可得奇数项为正数,偶数项为负数,第项的绝对值等于,故此数列的一个通项公式为.
6.
答案：
解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项.因为所以
.
7.
答案：见解析
解析：.
猜想:.
（3）图像如图所示.
3/5《数列的概念》高考通关练
一、选择题
1.（2019·河北张家口高一下学期月考）一个无穷数列的前三项是1，2，3，下列不可以作为其通项公式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2020·北京汇文中学高二检测）数列的前项和,若,则（ ）
A.10
B.15
C.
D.20
3.（2020·浙江诸暨中学高一月考）数列的通项公式为，则数列中的最大项是（ ）
A.
B.19
C.
D.
4.(2020 山东牟平一中高二月考)数列中，，则数列的前12项和等于（ ）
A.76
B.78
C.80
D.82
5.(2020·山东寿光现代中学高二月考)(多选)下列说法正确的是（ ）
A.数列和集合表达的意义相同
B.根据数列的前几项归纳出数列的通项公式有且仅有一个
C.如果数列的前项和为,则对任意的,都有
D.在数列中,如果对于任意正整数,都有+1,则当时,
二、填空题
6.(2020·北京四中月考)已知数列对任意的满足，且,则______，______.
7.(2019·北京西城高二期末)在数列中,是它的第项______.
8.(2020·江苏海门中学高一检测)数列的前项和,则______.
9.（2019·青岛调考）数列满足则数列的第2020项为______.
三、解答题
10.（2020·西安铁一中单元检测）在数列中,.
(1)求证:数列先递增后递减；
(2)求数列的最大项.
参考答案
1.
答案：C
解析：对于,若,则,符合题意;对于,若,则,符合题意;对于,若,当时,,不符合题意;对于,若,则,符合题意.故选C.
2.
答案：D
解析：当时,; 当时,也符合,所以所以.
3.
答案：C
解析：令，运用基本不等式得,当且仅当时,等号成立.因为,所以,由于,故当或时,最大.故选C.
4.
答案：
解析：由已知(1),得(2),由(1)(2)得1),取及,结果相加可得.故选.
5.
答案：CD
解析：数列是表示按照一定顺序排列的一列数,为,而集合只表明该集合中有个元素,数列中的项有顺序,集合中的元素没有顺序,故错误;根据数列的前几项归纳出数列的通项公式不一定唯一，可以有多个,有的数列没有通项公式,故错误;根据数列的前项和的定义可知正确;在中,令,得,故正确.
6.
答案：
解析：由题意得则，而，所以由此可知.
7.
答案：7
解析：令解得，所以是它的第7项.
8.
答案：
解析：当时,；当时,.当时,不满足上式.故
9.
答案：
解析：由已知可得,所以为周期数列且,所以.
10.
答案：见解析
解析：(1)证明:令,即,整理得,解得.令,即,整理得,解得.所以数列从第1项到第9项递增,从第10项起递减.
(2)由知最大.
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