2022－2023学年人教版数学九年级下册（重庆地区）第二十七章 相似 综合复习题（含解析）

第二十七章 相似 综合复习题
一、单选题
1．（2022·重庆梁平·九年级期末）如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M、N，则AM：MN：AB为（　 ）
A．1：3：2 B．2：3：6
C．1：2：3 D．1：3：6
2．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，矩形的对角线、相交于点E，轴于点B，所在直线交x轴于点F，点A、E同时在反比例函数的图象上，已知直线的解析式为，矩形的面积为120，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·重庆市育才中学九年级期末）如图，下列不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·重庆八中九年级期末）如图，在矩形ABCD中，，，连接BD，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，，延长交于点N，连接，当时，则的面积为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·重庆实验外国语学校九年级期末）如图，矩形中，，点为边的中点，点在边上，将四边形沿着翻折得到四边形，交于点，若且的延长线恰好经过点，则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·重庆荣昌·九年级期末）在平面直角坐标系中，C（0，4），点A在x轴上，以AC为对角线构造平行四边形ABCD，点在第三象限，BC与x轴交于点F，延长BC至点E，使得,BC＝EC，连结对角线BD与AC交于点G，连结，交于点，若D、E在反比例函数上，S△DHG＝4，则k的值为（　　）
A．30 B．24 C．20 D．15
7．（2022·重庆沙坪坝·九年级期末）如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，OA∥BC，反比例函数经过点A、点B，已知OA＝2BC，若△OAB的面积为，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．（2022·重庆万州·九年级期末）如图，正方形的对角线、交于点O，，点E在上，且，连接交于点F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·重庆南岸·九年级期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　）
A．①与④ B．②与③ C．①与⑤ D．②与⑤
10．（2022·重庆忠县·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴、轴上，，轴，二次函数的图象经过中点．若点，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·重庆一中九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点在轴上，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
12．（2022·重庆八中九年级期末）如图所示，在直角坐标系中，，，以A为位似中心，把按相似比1∶2放大，放大后的图形记作，则的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
13．（2022·重庆·西南大学附中九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为、，以原点O为位似中心，在原点的异侧按1∶3的相似比将放大，则点B的对应点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022·重庆黔江·九年级期末）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．
15．（2022·重庆梁平·九年级期末）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．
16．（2022·重庆市育才中学九年级期末）在Rt△BAC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝4，点D是AC边的中点，点E是BC边上一点，连接DE，AE．将△AED沿着DE翻折得到△GED，连接CG，若∠DGE＝45°，则点G到边BC的距离为 __．
17．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，平行四边形ABCD的BC边过原点O，顶点D在x轴上，反比例函数的图象过AD边上的A，E两点，已知平行四边形ABCD的面积为8，，则k的值为______．
18．（2022·重庆梁平·九年级期末）如图，已知 ，将⊿以点为位似中心，相似比为2:1，放大到⊿，则顶点的对应点的坐标为 ______ ．
19．（2022·重庆南岸·九年级期末）若，则=______.
20．（2022·重庆南岸·九年级期末）如图，晚上小亮在路灯下散步，在由A点处走到B点处这一过程中，他在点A，B，C三处对应的在地上的影子，其中影子最短的是在 _____点处（填A，B，C）．
三、解答题
21．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，6），其中AB＝8，tan∠CAB＝3
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD//AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移2个单位长度得到抛物线y1，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F，点G为抛物线y1的顶点，点M为直线FG上一点，点N为平面上一点．在（2）中，当BE的值最大时，是否存在以P、E、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2022·重庆·西南大学附中九年级期末）如图，是等腰直角三角形，，点P是直线BC上一动点，连接AP，分别过B、C做直线AP的垂线，垂足分别为点E、F，取BC的中点Q，连接QE、QF．
(1)如图1，若点P在BC的延长线上且，，求BC的长；
(2)如将2，若P是BC的延长线上任意一点，求证：；
(3)如图3，作点C关于直线AP的对称点，连接，若，请直接写出当QC取得最大值时PC的长．
23．（2022·重庆梁平·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAC是直角三角形，点A坐标是（0，2），∠OCA＝30°，以线段OA、OC为邻边作矩形点ABCO，D是线段AC上的一动点（不与A，C重合），连结BD作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．
（3）试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．
24．（2022·重庆荣昌·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，-），B（-2，0），其中点A是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C．M为直线AB下方抛物线上一点，过点M作PC的平行线交BP于点N，求MN最大值；
(3)如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．
25．（2022·重庆开州·九年级期末）如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点A的坐标为，．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在直线BC上方的抛物线上运动（不含端点B、C），连接DC、DB，当四边形ABDC面积最大时，求出面积最大值和点D的坐标；
(3)如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接BE点M为原抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，以B、E、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．
26．（2022·重庆潼南·九年级期末）如图，与交于D，F两点，是直径，．
(1)证明：；
(2)若，求的长度．
27．（2022·重庆万州·九年级期末）如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，的顶点A、B、C均在格点上，O为直角坐标系的原点，点在x轴上．
(1)以O为位似中心，将放大，使得放大后的与的相似比为2∶1，画出，要求所画与在原点两侧；
(2)求的面积．
28．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A( 1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是点C关于x轴的对称点．
(1)求抛物线与直线BD的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上一动点，当△BPC的面积最大时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，当△BPC的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点M，在BD上有一动点N，且MN⊥BD，求PM+MN的最小值；
(4)点Q是对称轴上一动点，点R是平面内任意一点，当以B、C、Q、R为顶点的四边形为菱形时，直接写出点R的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】过A点作AE⊥BE，交于点E，过M、N、B点分别作MC⊥AE，ND⊥AE，BE⊥AE交点分别为C、D、E，根据条件得出MC∥ND∥BE，再根据平行线分线段成比例即可得出答案．
【详解】解：过A点作AE⊥BE，交于点E，过M、N、B点分别作MC⊥AE，ND⊥AE，BE⊥AE交点分别为C、D、E，
∵图形为6×6的正方形网格，
∴MC∥ND∥BE，
∴AM：MN：AB=AC：CD：AE=1：3：6，
∴AM：MN：AB=1：3：6，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，做出辅助线，找准对应关系是解决问题的关键．
2．C
【分析】过点作于点，设与轴交于点，根据题意， ，，求得，进而可得，即，设则，根据面积为120求得的值，点A、E同时在反比例函数的图象上，表示出，则，即 ，即可求得的值
【详解】解：如图，过点作于点，设与轴交于点，
，
，
，
直线的解析式为，
令，，令，
，
设则
在中，
四边形是矩形
，
矩形的面积为120，
即
解得
根据题意，点A、E同时在反比例函数的图象上，
设，则，即
即可
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，相似三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴交点问题，矩形的性质，熟练运用以上知识是解题的关键．
3．A
【分析】由图可知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可满足△ABD∽△ACB；得出选项A、B、C满足△ABD∽△ACB，选项D不满足△ABD∽△ACB，即可得出结论．
【详解】解：虽然，但∠ABD≠∠C，
∴△ABD与△ACB不相似，
∴选项A符合；
∵，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴选项B不符合；
∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴选项C不符合；
∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴选项D不符合.
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
4．A
【分析】先证明∽，求得，过点D作DG⊥B′A并交B′A的延长线于点G，先后求得GD、AG、B′G和B′A的长，再利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵矩形ABCD中，∠ABD=60°，BC=4，
∴∠CBD=∠ADB=30°，
∴BD=2CD，
由勾股定理得：CD=4，BD=8，
根据旋转的性质知B′D= BD，C′D=CD，，
∴，
∴∽，
∴，
∴，
过点D作DG⊥B′A并交B′A的延长线于点G，
又∵，，，
∴∠GAD=30°，
∴GD=AD=2，AG=6，B′G=2，
∴B′A=2-6，
∵∠B′A B=∠ABD=60°，
∴B′A∥BD，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5．A
【分析】设，从而可得，，先利用矩形的性质、平行线的性质可得，根据翻折的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后过点作于点，在中，利用勾股定理可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：由题意，设，则，，
四边形是矩形，点为边的中点，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
设，则，
，
，
，即，
解得或，
当时，，此时翻折后，点与点重合，不符题意，舍去，
，
如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
，
，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质和正确找出两个相似三角形是解题关键．
6．A
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，过点作轴于点，设，根据为的中点，则,进而证明，求得的值，以及S△DHG＝4，求得平行四边形的面积，根据割补法利用建立一元一次方程求得的值，即可求得的值．
【详解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，过点作轴于点，
设，其中
C（0，4）,BC＝EC，
为的中点，则
，
即
解得
为平行四边形对角线的交点
是的中位线
,
平行四边形
又
四边形是平行四边形
轴
，
设
都在反比例函数上，
则
解得
故选A
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数与几何图形，平行四边形的性质，掌握以上知识，并添加适当的辅助线是解题的关键．
7．D
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，则，所以，设，，则，，利用建立方程可求出的值．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
，
设，，则，，
反比例函数经过点、点，
，
，
，
，
解得，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图像上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
8．B
【分析】根据题意求得，过点E作，交于点G，证明，可得，进而即可求得．
【详解】解：过点E作，交于点G
∴
∵正方形的对角线、交于点O
∴，即
∵
∴
∵，
又∵正方形
∴
∵
∴为等腰直角三角形
∵正方形
∴，，，
∴为等腰直角三角形
∴
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
9．D
【分析】分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可
【详解】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：；
②号三角形的三边长分别为：
③号三角形的三边长分别为：
④号三角形的三边长分别为：
⑤号三角形的三边长分别为：
，
②与⑤相似，故D选项正确，符合题意；其他选项不正确
故选D
【点睛】本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键．
10．D
【分析】在Rt△AOC中，根据勾股定理，然后证明△ACB∽△COA，得出，根据点D为AB中点，求出点D（5，4），根据二次函数的图象经过中点．点D坐标代入解析式解方程即可．
【详解】解：点，，
∴CO=2，AO=4，
在Rt△AOC中，，
∵，
∴∠BAC=∠ACO，
∵∠ACB=90°=∠AOC，
∴△ACB∽△COA，
∴，即，
∴，
∵点D为AB中点，
∴AD=，
∴点D（5，4），
∵二次函数的图象经过中点．
∴，
解得．
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理，待定系数法求而出函数解析式，三角形相似判定与性质，线段中点，平行线性质，图形与坐标，掌握勾股定理，待定系数法求而出函数解析式，三角形相似判定与性质，线段中点，平行线性质，图形与坐标是解题关键．
11．C
【分析】过点作垂直于轴的线交于点，根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出，即可得到答案．
【详解】解：过点作垂直于轴的线交于点，如下图：
，
，
，
与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握两个图形相似形的判定及性质．
12．D
【分析】根据位似得到，过作D⊥y轴于D，则∠DB=∠AOB=90°，证得△BD≌△ABO，求出D=AO=1，AD=4，得到的坐标．
【详解】解：∵把按相似比1∶2放大，放大后的图形记作，
∴，
∴，
过作D⊥y轴于D，则∠DB=∠AOB=90°，
∵∠BD=∠ABO，
∴△BD≌△ABO，
∴D=AO=1，BD=BO=2，
∴AD=4，
∴（-1,4），
故答案为（-1,4）．
【点睛】此题考查了位似图形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握位似的性质及全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．
13．A
【分析】直接利用位似图形的性质以及结合B点坐标直接得出点B′的坐标．
【详解】解：∵以点O为位似中心，在原点的异侧按1：3的相似比将△OAB放大，点B的坐标分别为( 2，3)．
∴点B的对应点B′的坐标为（6，-9），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
14．
【分析】根据勾股定理求出，根据//，得到，即可求出的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，//，，
在中，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵//，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
15．∠D=∠B（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．
【详解】解：∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAE=∠BAC
∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD AC=AB AE时△ABC∽△ADE．
故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）．
16．
【分析】如图，连接AG交DE于M，过点G作GH⊥BC于点H，过点E作EF⊥AC于点F，过点D作DK⊥BC于点K，运用勾股定理可得BC＝8，利用翻折可得：∠DAE＝∠DGE＝45°，DG＝AD＝，∠ADE＝∠GDE，AG⊥DE，AM＝MG，进而推出DE∥CG，根据△AEF是等腰直角三角形，可得：AF＝EF，AE＝EF，设AF＝EF＝x，则CF＝ x，利用△CEF∽△CAB，，建立方程求解可得：AF＝EF＝，AE＝，再运用勾股定理求得：DE＝，由S△ADE＝AD EF＝DE AM，可求得AM＝4，AG＝8，再运用勾股定理求得CG＝4，最后通过△DEK∽△GCH，即可求得答案．
【详解】解：如图，连接AG交DE于M，过点G作GH⊥BC于点H，过点E作EF⊥AC于点F，过点D作DK⊥BC于点K，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝，
∴BC＝＝8，
∵点D是AC边的中点，
∴AD＝DC＝，
由翻折，得：△GDE≌△ADE，
∴∠DAE＝∠DGE＝45°，DG＝AD＝，∠ADE＝∠GDE，AG⊥DE，AM＝MG，
∴DG＝DC，
∴∠DCG＝∠DGC，
∵∠ADE+∠GDE+∠CDG＝180°，∠DCG+∠DGC+∠CDG＝180°，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴DE∥CG，
∴AG⊥CG，∠DEC＝∠GCH，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝∠CFE＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝EF，AE＝EF，
设AF＝EF＝x，则CF＝﹣x，
∵∠CFE＝∠CBA＝90°，∠ECF＝∠ACB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：x＝，
∴AF＝EF＝，AE＝，
∴DF＝AD﹣AF＝﹣＝，
在Rt△DEF中，DE＝，
∵DK⊥BC，AB⊥BC，
∴DK∥AB，
∴ ，即，
∴DK＝2，
∵S△ADE＝AD EF＝DE AM，
∴AM＝，
∴AG＝2AM＝8，
在Rt△ACG中，CG＝＝4，
∵∠DEC＝∠GCH，∠DKE＝∠CHG＝90°，
∴△DEK∽△GCH，
∴，即，
∴GH＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，涉及折叠的性质，勾股定理，三角形面积，相似三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
17．2
【分析】根据反比例函数图象上点的特征，利用平行线分线段成比例，及三角形的面积列出方程求解．
【详解】解：过点A作AF⊥x轴于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，
则AFEH，
则：，△DEH∽△DAF，
∴，
设A（x，y），则E（3x，y），
则AF＝y，OF＝x，OH＝3x，EH＝y，
∴FH＝2x，DH＝x，OD＝4x，
∵平行四边形ABCD的面积为8m，则△AOD的面积是4，
则△ODE的面积是，
∴×y×4x＝，
∴xy＝2，
∴k＝xy＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查看反比例函数的k的意义，结合平行线分线段成比例列方程是解题的关键．
18．(-4,-6)或(4,6)
【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或- k进行解答．
【详解】解：∵以原点0为位似中心，相似比为2: 1，将△OAB放大为⊿, B (2, 3),
则顶点的对应点B的坐标为(-4, -6)或(4, 6)．
故答案为:(-4, -6)或(4, 6)．
【点睛】本题考查了位似变换:位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
19．
【分析】根据比例的等比性质代入即可得解．
【详解】∵=，b+d≠0，∴=．
故答案为．
【点睛】本题考查了比例的等比性质，若a：b＝c：d＝…＝m：n，则（a+c+…+m）：（b+d+…+n）＝m：n（注意分母的和不为0），难度适中．
20．C
【分析】如图所示，、 、分别为点A，B，C三处对应的在地上的影子，通过三角形相似，比较长度的大小，进而求得影子最短的值的点．
【详解】解：如图、、分别为点A，B，C三处对应的在地上的影子
由三角形相似可得
，
值最小
值最小
由题意可知，离路灯越近，影子越短
故答案为：C．
【点睛】本题考查了相似三角形．解题的关键是建立比较长度的关系式．
21．（1）y＝x2＋2x＋6；（2）最大值为4，此时P（4，6）；（3）存在，（1，5）或（，）或（3＋，3＋）或（3﹣，3﹣）．
【分析】（1）由C（0，6）以及tan∠CAB＝3，进而求得OA的长度，再确定点A、点B的坐标，最后运用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AC、BC的表达式，设点P的横坐标为m，由PD//AC求出直线PD的解析式，再与直线BC的解析式组成方程组求出点E的坐标，再用含字母m的式子表示BE，最后根据二次函数的性质求出BE的最大值及点P的坐标即可；
（3）先根据△AOC沿射线CA方向平移2个单位后的位置，确定抛物线y1的表达式及顶点G和点F的坐标，求出直线FG的函数表达式，再根据（2）中求出的点P的坐标求出点E的坐标，再按照PE为边、对角线等情况画出相应的菱形，求出点N的坐标．
【详解】解：（1）∵C（0，6），＝tan∠CAB＝3，
∴AO＝＝2，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴，解得，
∴该抛物线的表达式为y＝-x2＋2x＋6；
（2）如图1，作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K．
设直线BC的函数表达式为y＝kx＋6，则6k＋6＝0，解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x＋6；
设直线AC的函数表达式为y＝px＋6，则﹣2p＋6＝0，解得p＝3，
∴y＝3x＋6.
设P（m，-m2＋2m＋6），由PD//AC，
设直线PD的函数表达式为y＝3x＋n，
则m2＋2m＋6＝3m＋n，解得n＝m2﹣m＋6，
∴y＝3xm2﹣m＋6.
由，得，
∴E（，）．
∵AC＝＝2，BC＝＝6，且△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，
∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝1：1：，
∴PE＝EI，
∴PE＝10EI＝10（m﹣）＝m﹣m2，
∵BE＝BK，
∴BE＝2BK＝2（6﹣）＝12﹣﹣，
∴BE＝m﹣m2﹣（12﹣﹣）＝﹣m2＋8m﹣12＝﹣（m﹣4）2＋4，
∴当m＝4时，BE的最大值，最大值为4，此时P（4，6）；
（3）存在．
如图2，由（2）得，AC＝2，将△AOC沿射线CA方向平移2个单位，相当于将△AOC向左平移2个单位，再向下平移6个单位，
∴该抛物线也向左平移2个单位，再向下平移6个单位，
∵原抛物线为y＝x2＋2x＋6＝（x﹣2）2＋8，
∴y1＝x2＋2，抛物线y1与坐标轴的交点分别为F（﹣2，0）、D'（2，0）、（0，2），且顶点为G（0，2），点F（﹣2，0）为抛物线y1与原抛物线的交点．
∵P（4，6），C（0，6），且PD//AC，
∴D（2，0），点D'与点D重合．
设直线FG的函数表达式为y＝qx＋2，则﹣2q＋2＝0，解得q＝1，
∴y＝x＋2.
①如图2，点M1在点P左侧，PE、EM1为菱形的邻边．
连接PC，则CG＝PC，可得BC垂直平分PG，设垂足为点Q，
则点N1与点E关于点Q对称；
∵△PCE≌△BDE，
∴PE＝DE，E（3，3），
∵Q（2，4），
∴N1（1，5）；
②如图3，PE为菱形的对角线，M2N2垂直平分PE，设垂足为点R，
∵R为PE的中点，
∴R（，），
连接并延长BG交AC于点H，则△BGO≌△CAO，
∴∠GBO＝∠ACO，
∴∠GBO＋∠CAO＝∠ACO＋∠CAO＝90°，
∴BH⊥AC，
∴BH//M2N2；
设直线BH的函数表达式为y＝rx＋2，则6r＋2＝0，解得r＝﹣，
∴y＝﹣x＋2，
设直线M2N2的函数表达式为y＝﹣x＋t，则﹣× ＋t＝，解得t＝，
∴y＝﹣x＋；
由，得，
∴M2（，），
∵点N2与点M2（，）关于点R（，）对称，
∴N2（，）；
③如图4，点M3在点P右侧，PE、PM3为菱形的邻边．
由EN3//FG，设直线的函数表达式为y＝x＋s，则3＋s＝3，解得s＝0，
∴点N3在直线y＝x上，
连接OE，则点O、E、N3在同一直线上．
设N3（d，d），
∵OE＝＝3，EN3＝PE＝＝，
∴d＝×（3＋）＝3＋，
∴N3（3＋，3＋）
④点M4在点P左侧，PE、PM4为菱形的邻边．
设N4（e，e），
则e＝×（3）＝3﹣，
∴N4（3﹣，3﹣）．
综上所述，点N的坐标为（1，5）或（，）或（3＋，3＋）或（3﹣，3﹣）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质与一次函数、四边形、相似三角形等知识的综合应用，正确作出辅助线并找到等量关系列出相应的表达式或方程是解答本题的关键．
22．(1)BC=；
(2)见详解；
(3)PC=+1．
【分析】（1）在EA上截取GE=PE，连结CG，根据∠COE=30°，CE⊥PG，得出∠PCE=90°-∠CPE=90°-30°=60°，根据等腰直角三角形性质得出∠ACB=∠ABC=45°，证明△PCE≌△GCE（SAS），再证CG=AG=2，利用勾股定理即可求解；
（2）证明：连结AQ，先证△QCA等腰直角三角形；再证△CEA≌△AFB（AAS），得出CE=AF，EA=BF，可证△CEA≌△AFB（AAS），最后证明△QEF为等腰直角三角形即可；
（3）连接AQ，AC．由QC′≤AQ+AC′=1+，推出当点C′落在QA的延长线上时，QC′的值最大（如图3-2中），再证明BA=BP，可得结论．．
(1)
解：在EA上截取GE=PE，连结CG，
∵∠CPE=30°，CE⊥PG，
∴∠PCE=90°-∠CPE=90°-30°=60°，
∵是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ECA=180°-∠PCE-∠ACB=180°-60°-45°=75°，
在△PCE和△GCE中，
，
∴△PCE≌△GCE（SAS），
∴∠PCE=∠GCE=60°，CP=GC=2，
∴∠GCA=∠ECA-∠GCE=75°-60°=15°，
∵∠CGE=90°-∠GCE=90°-60°=30°，
∴∠GAC=∠CGE-∠ECG=30°-15°=15°，
∴CG=AG=2，
在Rt△CEG中，EG=，
∴EA=EG+AG=，
∴BC=；
，
(2)
证明：连结AQ，
∵点Q为BC中点，AB=AC，∠BAC=90°，
∴QC=QA=QB，∠QCA=∠QAB=45°，AQ⊥BC，
∵CE⊥EF，BF⊥EF，∠CAB=90°，
∴∠CEA=∠AFB=∠CAB=90°，
∴∠ECA+∠CAE=∠CAE+∠FAB=90°，
∴∠ECA=∠FAB，
在△CEA和△AFB中，
，
∴△CEA≌△AFB（AAS），
∴CE=AF，EA=BF，
∴EF=AE+AF=BF+EC，
∵∠ECA+45°=∠FAB+45°，即∠QCE=∠QAF，
在△CEQ和△AFQ中，
∴△CEA≌△AFB（AAS），
∴QE=QF，∠CQE=∠AQF，
∵∠EQA+∠AQF=∠EQA+∠CQE=90°，
∴△QEF为等腰直角三角形，
∴EF=，
∴；
(3)
连接AQ，AC．
∵AC=AB=1，∠CAB=90°，
∴BC=AC=，
∵CQ=BQ，
∴AQ=，
∵C，C′关于AP对称，
∴AC=AC′=1，
∵QC′≤AQ+AC′=1+，
∴当点C′落在QA的延长线上时，QC′的值最大，
此时∠CAC′=135°，
∴∠PAC=∠PAC′=112.5°，
∴∠PAB=112.5°-90°=22.5°，
∵∠ABC=∠PAB+∠BPA=45°，
∴∠BAP=∠BPA=22.5°，
∴BA=AP=1，
∴PC=BC+PB=+1．
【点睛】本题考查30°直角三角形性质，等腰直角三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，解分式方程，轴对称性质，掌握以上知识是解题关键．
23．（1）（，2）；（2）存在，AD的值为2或；（3）为定值，．
【分析】（1）先求出OA=2,再根据矩形的性质可得OC＝AB、 OC//AB、∠ABC＝90°、 BC ＝OA=2，进一步可得AC=4，然后再运用勾股定理可以求得AB的长，即可确定B的坐标；
（2）先说明∠ACB＝60°，然后分当E在线段CO上和E在OC的延长线上两种情况解答即可；
（3）过点D作MN⊥AB交AB于点M，交OC于点N，再运用待定系数法求得直线AC的解析式，设D坐标为，则，；然后再说明，最后运用相似三角形的性质列方程解答即可.
【详解】解：（1）∵点A坐标是（0，2）
∴OA=2
∵四边形AOCB为矩形，
∴OC＝AB， OC//AB，∠ABC＝90°， BC ＝OA=2，
∵∠OCA＝30°，
∴∠BAC＝30°，
∴Rt△ACB中，AC＝2BC，
∴BC＝OA＝2，则AC＝4，
．
．
（2）存在，理由如下：
∵四边形AOCB为矩形，
∴AB//OC，
∴∠ACO＝∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝60°，
①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC为等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，
∴∠DCE＝∠EDC＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝60°，
∴△DBC为等边三角形．
∴DC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，
∵∠ACO＝30°，OA＝2，
∴AD＝AC－CD＝4－2＝2.
②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE为等腰三角形，只有CD＝CE，
∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，
∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
AB＝AD＝．
综上，满足条件的AD的值为2或．
（3）为定值．理由如下：
如图（3），过点D作MN⊥AB交AB于点M，交OC于点N，
∵A（0，2）和C（，0）
设直线AC的表达式为y＝kx＋b，代入A、C坐标后得
解得，
∴直线AC的表达式为，
设D坐标为，
，，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BDM＋∠NDE＝90°，
∠BDM＋∠DBM＝90°，
∴∠DBM＝∠NDE，
∵∠BMD＝∠DNE＝90°，
∴．
=.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识的综合运用，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.
24．(1)y=x2-x-4；
(2)MN的最大值为；
(3)点Q的坐标为：（2-，1-）或（1-，-3）．
【分析】（1）设抛物线为顶点式，用待定系数法求得函数解析式；
（2）先用两点间距离公式求得PC的长，再利用相似三角形将MN用含ME的式子表示，并把MN表示成关于M点横坐标的二次函数，从而求得MN的最大值；
（3）先设出点Q的坐标，再利用三角形全等用含点Q横坐标的式子表示E、F的坐标，最后根据点E、F在抛物线对称轴上时横坐标为1求出点Q的横坐标，进而求得点Q的坐标．
（1）
解：∵点A（1，-）是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-，
由于抛物线经过点B（-2，0），
∴a（-2-1）2-=0，
解得：a=，
∴二次函数的解析式为y=（x-1）2-=x2-x-4；
（2）
解：令x=0，则y=x2-x-4=4，
∴D点坐标为（0，-4），
设直线AD的函数解析式为y=kx-4，
把点A（1，-）代入得：-=k-4，
∴k=-，
∴直线AD的函数解析式为y=-x-4，
由于BP∥AD，故可设直线BP的函数解析式为：y=-x+b1，
又直线BP经过点B（-2，0），得：-×（-2）+ b1=0，
解得：b1=-1，
从而BP的解析式为y=-x-1，
解方程组，得：或，
∴该直线与抛物线的交点P的坐标为（3，-），
令y=0，则x2-x-4=0，
解得：．
∴点C（4，0），
∴PC=，
过点M作ME∥x轴交直线BP于点E，
设点M的坐标为（m，n），则点E的纵坐标为n，
∴点E的横坐标为-2n-2，
∴ME=-2n-2-m，
∵ME∥BC，MN∥PC，
∴∠E=∠PBC，∠MNE=∠BPC，
∴△MNE∽△CPB，
∴，
∴
，
∴当m=时，MN有最大值；
（3）
解：设点Q的坐标为（a，b），过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K，
∴△BMQ≌△QNF≌△EKB，
∴NF=KB=MQ=|a+2|，QN=EK=BM=|b|，
∴点F的坐标为（a-b，a+b+2），
点E的坐标为（-2-b，a+2），
当点F在抛物线的对称轴上时，a-b=1，
∴a-（a2-a-4）=1，
解得：a=2-（舍去正值），
得点Q的坐标为（2-，1-），
当点E在抛物线的对称轴上时，-2-b=1，
∴-2-（a2-a-4）=1，
解得：a=1-（舍去正值），
得点Q的坐标为（1-，-3）．
故点Q的坐标为：（2-，1-）或（1-，-3）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及与相似三角形、正方形的综合，其中设出抛物线上一个点的坐标，根据条件表示出其它点或线段，再利用相应的知识点解决相关问题．
25．(1)
(2)最大值为25，点D的坐标为
(3)或或或
【分析】（1）先根据，．求出OA=2，OC=4，OB=6，得出，将A、B、C代入得：，解方程组即可；
（2）作轴交BC于点M，利用待定系数法求出直线BC的解析式为，令，则，求出，将四边形ABCD分割成两个三角形面积利用公式得出即可；
（3）将抛物线配方为．向右平移2个单位抛物线过原点，解析式为，求两抛物线交点点E（3，5），分两种情况以BE为对角线的矩形EMBN，证明△EFM∽△MGB，得出，求出点M（2，1）或（2，4），设点N（x，y）当 M（2，1）时，利用中点坐标点N（7,4）点N（7,1），当BE为矩形M3NBE的边时，M3E⊥BE，过E作EH∥MG，可证△EFM3∽△EHB，得出求出，M3（2，），利用中点坐标得出点N（5, ），当BE为矩形NM3BE的边时，ME⊥BE，过E作EH∥MG，可证△M4GB∽△BHE，得出，求出点M（2，），利用中点坐标得出点N（-1, ）即可．
（1）
解：∵，．
∴OA=2，OC=4，OB=6，
∴，，
将A、B、C代入得：
，
解之得，
所以抛物线的解析式为；
（2）
解：作轴交BC于点M，
设BC的解析式为，
∵，，
代入坐标得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
令，则，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴当时，的值最大，最大值为25．
当时，，
此时，点D的坐标为；
（3）
解：将抛物线配方为．
向右平移2个单位抛物线过原点，解析式为，
两抛物线的交点，
两式相减得，
解得x=3，
，
∴点E（3，5），
以BE为对角线的矩形EMBN，
设原抛物线的对称轴与x轴交于G，过点E作EF⊥MG与F，
∴∠FEM+∠FME=90°，
∵四边形EMBN为矩形，
∴∠EMB=90°，
∴∠FME+∠GMB=90°，
∴∠FEM=∠GMB，
∵FG⊥x轴，
∴∠MGB=∠EFM=90°，
∴△EFM∽△MGB，
∴，
设M（2，m），点F（2，5），点G（2，0），BG=6-2=4，EF=3-2=1，FM=5-m，MG=m，
∴，
整理得，
解得，
点M（2，1）或（2，4），
设点N（x，y），
当 M（2，1）时，
∴x+2=3+6，解得x=7，y+1=5+0，解得y=4，点N（7,4），
当M（2，4）时，
∴x+2=3+6，解得x=7， y+4=5+0，解得y=1，点N（7,1），
当BE为矩形M3NBE的边时，M3E⊥BE，过E作EH∥MG，
∴∠HEM3+∠HEB=90°，∠FEM3+∠HEM3=90°，
∴∠FEM3=∠HEB，
∵∠EFM3=∠EHB=90°，
∴△EFM3∽△EHB，
，
BH=6-3=3，EF=3-2=1，FM=5-m，EH=5，
即，
解得，
∴M3（2，），
∴x+3=2+6，解得x=5，y+5=+0，解得y=，点N（5, ），
当BE为矩形NM4BE的边时，ME⊥BE，过E作EH∥MG，
∵∠M4BE=90°，
∴∠M4BG+∠EBH=90°，∠EBH+∠BEH=90°，
∴∠M4BG=∠BEH，
∵∠M4GB=∠EHB=90°，
∴△M4GB∽△BHE，
即，
解得，
点M（2，），
∴x+6=2+3，解得x=-1， y+0=+5，解得y=，点N（-1, ）．
综合得或或或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，四边形面积，二次函数的最值，抛物线平移，三角形相似判定与性质，矩形性质，中点坐标公式，掌握待定系数法求抛物线解析式，四边形面积，二次函数的最值，抛物线平移性质，三角形相似判定与性质，矩形性质，中点坐标公式是解题关键．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据圆内接四边形的一个外角等于其内对角可得，又半径相等可得，等量代换可得，根据等角对等边即可求证；
（2）根据平行线分线段成比例可得，根据根据（1）的结论可得，列出比例式，代入数值即可求得的长，进而求得的长．
（1）
证明：
四边形是的内接四边形
（2）
，
即
解得
【点睛】本题考查了等边对等角证明边相等，圆内接四边形，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接并延长，使，同法得到其余各点，顺次连接即可；
（2）根据所得图形及网格图即可得出答案．
(1)
解：连接并延长，使，同法得到其余各点，顺次连接即可．
所画图形如下所示：
(2)
解：．
【点睛】本题主要考查了作图—位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
28．(1)抛物线的解析式为，直线BD的解析式为y=x-1；
(2)点P的坐标为(，)；
(3)PM+MN的最小值为；
(4)点R的坐标为 (-2，)或(-2，)或(4，3)或(4，-3)或(2，2)．
【分析】（1）抛物线与x轴交于A( 1，0)、B(3，0)两点，由两点式即可得到抛物线的解析式，求得点D的坐标，利用待定系数法即可求得直线BD的解析式；
（2）过点P作PF⊥x轴于点F，交直线BD于点E，求得直线BD的解析式为y=x+1，设点P的坐标为(m，)，则点E的坐标为(m，m+1)，求得PE关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）作点P关于直线x=1的对称点，求得点的坐标为(，)，过点作直线BD的垂线，垂足为N，交直线x=1于点M，则PM+MN的最小值为的长，证明Rt△∽Rt△BDO，利用相似三角形的性质即可求解；
（4）分当BR为对角线，当CR为对角线，当CB为对角线时三种情况讨论，利用菱形的性质以及平移的性质即可求解．
（1）
解：∵抛物线与x轴交于A( 1，0)、B(3，0)两点，
∴抛物线的解析式为，
令x=0，则y=1，
∴点C(0，1)，
∵点D是点C关于x轴的对称点，
∴点D(0，-1)，
设直线BD的解析式为y=kx-1，
∴0=3k-1，
∴k=，
∴直线BD的解析式为y=x-1；
（2）
解：过点P作PE⊥x轴于点F，交直线BD于点E，
△BPC的面积=PE×OB=PE，
当PE取得最大值时，△BPC的面积有最大值，
同理求得直线BD的解析式为y=x+1，
设点P的坐标为(m，)，则点E的坐标为(m，m+1)，
∴PE=，
∵<0，
∴当m=时，PE有最大值，△BPC的面积有最大值，
此时点P的坐标为(，)；
（3）
解：抛物线的对称轴为直线x==1，
作点P关于直线x=1的对称点，
∵点P的坐标为(，)，
∴点的坐标为(，)，
过点作直线BD的垂线，垂足为N，交直线x=1于点M，
此时PM+MN=+MN，根据垂线段最短知PM+MN的最小值为的长，
过点作y轴交直线BD于点G，
则点G的坐标为(，)，
∴=-()=，
∵B(3，0)，D(0，-1)，
∴OB=3，OD=1，
∴BD=，
∵y轴，
∴∠=∠ODB，
∴Rt△∽Rt△BDO，
∴，即，
∴=，
∴PM+MN的最小值为；
（4）
解：设对称轴直线x=1与x轴交于点S，
∵B(3，0)，C(0，1)，
∴OB=3，OC=1，BS=2，
∴BC=，
当BR、CQ为对角线时，
∴BQ=BC=，
∴QS=，
∴的坐标为(1，)，的坐标为(1，)，
根据平移的性质，
点B(3，0)向左平移2个单位，再向上平移个单位，得到点(1，)，
∴点C(0，1)向左平移2个单位，再向上平移个单位，得到点(-2，)；
同理：点(-2，)；
当CR为对角线时，
过点C作CT⊥对称轴直线x=1于点T，则CT=1，CQ=BC=，
∴QT=，
∴的坐标为(1，4)，的坐标为(1，-2)，
同理，点(4，3)，点(4，-3)；
当CB为对角线时，
设点Q的坐标为(1，q)，
∴，即，
解得q=-1，
∴点Q的坐标为(1，-1)，
同理，点R的坐标为(2，2)；
综上，点R的坐标为 (-2，)或(-2，)或(4，3)或(4，-3)或(2，2)．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质，综合性较强，涉及知识点多，难度大，对学生要求较高；必须熟练掌握所学知识并能够灵活运用．