1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝{y||y﹣1|＞2}，C＝{x|x2﹣（m﹣1）x﹣2m﹣2＜0，m∈R}．
（1）求A∩B；
（2）若C （A∪B），求实数m的取值范围．
2．设全集R，A＝{x|（ax+4）（x﹣2a+3）＞0，a＞0}，B＝{x|y＝}．
（1）若a＝2，求A∩B，；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
3．已知集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．
（Ⅰ）若集合A＝{1，3}，直接写出集合S，T；
（Ⅱ）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，求证：x1+x4＝x2+x3；
（Ⅲ）若集合A {x|0≤x≤2020，x∈N}，S∩T＝ ，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值．
4. 完成以下两小题 ：
（1）已知集合对任意恒成立,求；
（2）已知集合,若,求实数的取值范围。
5. 命题A:、是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题B：不等式（）有解.若A且B为真，求：m的取值范围.
6. 已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于．
（1）分别判断数集与是否具有性质
（2）证明：，且
（3）当时，若，若数集具有性质，求数集．
7. “关于的方程有实数根”是“”的什么条件？请证明你的结论．
8. 已知、、，若实数、、满足条件，，，用反证法证明：、、中至少有一个数不小于0．
9. 设集合，若，试求与．
10. 已知集合，，
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
11. 已知集合，集合，集合.
（1）若集合满足，，求实数的值；
（2）已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，.其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的，总有，则称集合具有性质.
①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和集合；
②判断和的大小关系，并证明你的结论.
12. 已知，．请选择适当的方法证明．
（1）若，证明：；
（2）若，证明：与不能同时成立．
13. 设为非空集合，定义（其中表示有序对），称的任意非空子集为上的一个关系.例如时，与都是上的关系.设为非空集合上的关系.给出如下定义：①（自反性）若对任意，有，则称在上是自反的；②（对称性）若对任意，有，则称在上是对称的；③（传递性）若对任意，有，则称在上是传递的.如果上关系同时满足上述3条性质，则称为上的等价关系.任给集合，定义为.
（1）若，问：上关系有多少个？上等价关系有多少个？（不必说明理由）
（2）若集合有个元素，的非空子集两两交集为空集，且，求证：为上的等价关系.
（3）若集合有个元素，问：对上任意等价关系，是否存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得？请判断并说明理由.
14．设A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，m∈R}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}．
（1）是否存在m，n∈R，使得A＝{1，2}，B＝ ，说明理由；
（2）若A∩B＝A，求m，n的值．
15．若实数x，y满足集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等，求x，y的值．
16. （1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；
（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.
17. 对正整数，记，.
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合中元素的个数；
（3）若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值.
18. 已知集合，全集．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
19. 已知有限集合，若集合中任意元素都满足，则称该集合为收敛集合. 对于收敛集合，定义变换有如下操作：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为，令，若集合还是收敛集合，则可继续实施变换，得到的新集合记作，…，如此经过次变换后得到的新集合记作.
（1）设，请写出的所有可能的结果；
（2）设收敛集合，试判断集合最多可进行几次变换，最少可进行几次变换，并说明理由；
（3）设，对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，求所有的满足条件的集合.
20. 设，，是否存在实数a，使？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
21. 已知全集，，，且，求a的取值范围.
22. （1）已知集合，任意从中取出k个四元子集，均满足的元素个数不超过2个，求k的最大值.（举出一个例子即可，无需证明）
（2）已知集合，任意从中取出k个三元子集，均满足的元素个数不超过一个，求k的最大值.1．【分析】（1）计算得A＝（﹣3，1），B＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求A∩B即可；
（2）包含关系要分空集和非空两种情况讨论，本题中集合C还要考虑不等式两根的大小，对分类讨论要做到不重不漏即可．
【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝{y||y﹣1|＞2}，
∴A＝（﹣3，1），B＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
∴A∩B＝（﹣3，﹣1）．
（2）由（1）可知A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），
x2﹣（m﹣1）x﹣2m﹣2＜0可化为（x+2）[x﹣（m+1）]＜0，
当m＝﹣3时，C＝ ，符合题意；
当m＞﹣3时，m+1＞﹣2，∴C＝{x|﹣2＜x＜m+1}，
∴m+1≤1，∴﹣3＜m≤0．
当m＜﹣3时，m+1＜﹣2，∴C＝{x|m+1＜x＜﹣2}，符合题意；
综上所述，实数m的取值范围是（﹣∞，0]．
2．【分析】（1）y＝式子有意义，解得x的范围，进而可得B＝[﹣2，1），解不等式（2x+4）（x﹣2a+3）＞0，可得A＝（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），进而可得答案．
（2）由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件得B是A的真子集，即（ax+4）（x﹣2a+3）＞0在x∈[﹣2，1）上恒成立，进而可得答案．
【解答】解：（1）y＝式子有意义，则有≥0，得﹣2≤x＜1，
∴B＝[﹣2，1），
∴＝（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞），
当a＝2时，（ax+4）（x﹣2a+3）＞0，
即为（2x+4）（x﹣1）＞0，
得x＜﹣2或x＞1；
∴A＝（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），
∴＝[﹣2，1]，
∴A∩B＝ ，＝R．
（2）∵“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，
∴B是A的真子集；
∴（ax+4）（x﹣2a+3）＞0在x∈[﹣2，1）上恒成立，
∵a＞0，则2a﹣3﹣（﹣）＝2a++3＞0．
∴（ax+4）（x﹣2a+3）＞0的解集为A＝（﹣∞，﹣）∪（2a﹣3，+∞），
∴2a﹣3＜﹣2，得a＜，
综上可得a的取值范围为（0，）．
3．【分析】（Ⅰ）根据题目定义，直接计算集合S及T；
（Ⅱ）根据两集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的关系；
（Ⅲ）通过假设A集合{m，m+1，m+2，…，2020}，m≤2020，m∈N，求出相应的S及T，通过S∩T＝ 建立不等关系求出相应的值．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由集合A＝{1，3}，计算集合S＝{2，4，6}，T＝{0，2}；
（Ⅱ）由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，
所以T中也只包含四个元素，即T＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1}，
剩下的x3﹣x2＝x4﹣x3＝x2﹣x1，所以x1+x4＝x2+x3；
（Ⅲ）设A＝{a1，a2，…ak} 满足题意，其中 a1＜a2＜…＜ak，
则 2a1＜a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜…＜ak﹣1+ak＜2ak，
∴|S| 2k﹣1，a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜…＜ak﹣a1，∴|T| k，
∵S∩T＝ ，由容斥原理|S∪T|＝|S|+|T| 3k﹣1，
S∪T中最小的元素为0，最大的元素为2ak，
∴|S∪T| 2ak+1，
∴3k﹣1 2ak+1 4041（k∈N*），
∴k≤1347，
实际上当A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，
证明如下：
设 A＝{m，m+1，m+2，…，2020}，m∈N，
则 S＝{2m，2m+1，2m+2，…，4040}，A﹣＝{0，1，2，…，2020﹣m}，
依题意有2020﹣m＜2m，即m＞673，
故m的最小值为674，于是当m＝674时，A中元素最多，
即A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1347．
4. 完成以下两小题 ：
（1）已知集合对任意恒成立,求；
（2）已知集合,若,求实数的取值范围。
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）分别利用绝对值不等式和分式不等式的性质求两个集合，再求交集即可；
（2）根据子集的定义求解即可.
【小问1详解】
因为,当且仅当取等
所以的最小值为7,所以,即
因为
所以即,,即,即
所以或,即
所以
【小问2详解】
因为
结合图像可知的解为,即
,即
若,显然成立,此时,即
若,则,解得
综上,实数的取值范围为
5. 命题A:、是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题B：不等式（）有解.若A且B为真，求：m的取值范围.
【答案】
【分析】由韦达定理求出，然后求得，进而求出的取值范围，由已知条件可得，进而求出命题A:对应的m的取值范围。构造函数（），讨论去掉绝对值号求出函数的最大值2m，由不等式（）有解得2m>1,进而求出命题B对应的m的取值范围。由A且B为真，可知A、B都为真命题，即可求得结果。
【详解】因为、是方程的两个实根，所以，
所以， ，因为，所以，因为不等式对任意实数恒成立，所以，所以或，即或，解得或或。所以，命题A: 或或。
令（），则，结合该函数的性质可知，该函数的最大值为2m，由不等式（）有解，可得2m>1,解得 。所以命题B： 。
因为A且B为真，所以 ，所以 或 。
所以，m的取值范围为。
【点睛】本题考查不等式的恒成立和有解问题，解决此类问题，都是转化为求函数的最值问题。如不等式 恒成立，则；不等式 有解，则。
6. 已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于．
（1）分别判断数集与是否具有性质
（2）证明：，且
（3）当时，若，若数集具有性质，求数集．
【答案】（1）数集不具有性质，具有性质.
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）由定义直接判断．
（2）由已知得与中至少有一个属于，从而得到；再由，得到，3，，．由具有性质可知，2，3，，，由此能证明，且．
（3）根据（2），只要证明即可求得集合．
【小问1详解】
由于与均不属于数集，3，，
所以数集，3，不具有性质．
由于，，，，，，，，，都属于数集，2，3，，
所以数集，2，3，具有性质．
【小问2详解】
数集具有性质，则与中至少有以一个属于，由于，所以，所以，从而，即，即
，所以
由数集具有性质，得
从而
【小问3详解】
由（2）知，当时，
有，，即，
，，，
由具有性质可知．
由，得，
且，，
即，，，， 是首项为1，公比为等比数列，
即有集合，2，4，8，．
7. “关于的方程有实数根”是“”的什么条件？请证明你的结论．
【答案】必要非充分条件，证明见解析.
【分析】根据一元二次函数的判别式和充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】“关于的方程有实数根”是“”必要非充分条件．
证明：
先证充分性不成立：
取，此时方程有实数根，
但此时，因此充分性不成立．
再证必要性成立：
当时，恒成立，
所以方程有实数根，
即必要性成立.
所以“关于的方程有实数根”是“”必要非充分条件．
8. 已知、、，若实数、、满足条件，，，用反证法证明：、、中至少有一个数不小于0．
【答案】证明见解析
【分析】利用反证法证明，假设、、都小于，再根据不等式的性质及完全平方数的非负性证明即可.
【详解】证明：假设、、都小于．
即，，
以上三个不等式相加，可得：，
整理上式可得：．
这与矛盾，
所以假设不成立，
因此、、中至少有一个数不小于0．
9. 设集合，若，试求与．
【答案】，．
【分析】根据交集结果得到，结合，分两种情况，或，求出对应的，利用元素互异性排除不合要求的解.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以或，即或．
当时，，
满足．
当时，，
此时，不满足题意，舍去
综上所述，，此时．
10. 已知集合，，
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或或.
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合，再根据列不等式组即可求解；
（2）求出方程的两根分别为，讨论，，时集合，结合，即可求解.
【详解】（1），
，
若，则，
因为，所以，
所以，解得：，
所以实数的取值范围为：；
（2）由可得：，
当时，，此时，而，
若，则，
当时，，不等式解集为，此时满足，
所以符合题意；
当时，，此时，而，
若，则，
综上所述：实数的取值范围为：或或.
11. 已知集合，集合，集合.
（1）若集合满足，，求实数的值；
（2）已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，.其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的，总有，则称集合具有性质.
①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和集合；
②判断和大小关系，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2）①不具有性质，具有性质，；②，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出集合，根据有，进而结合求得答案；
（2）①根据题意分析出不具有性质，具有性质，进而求出S,T；
②写出S,T，进而根据题意得到答案.
【详解】（1），
，
因为，，
由题意，，解得或，
经检验，不符合，而满足题意，
所以.
（2）①不具有性质，具有性质，，
.
②m=n，证明如下：
因为，
所以a,b不相等，
所以a+b的个数与a-b的个数相等，即m=n.
12. 已知，．请选择适当方法证明．
（1）若，证明：；
（2）若，证明：与不能同时成立．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）利用作差法可证得结论成立；
（2）假设与同时成立，由解出的取值范围，同理解出的取值范围，再结合不等式的基本性质推出矛盾，由此可证得结论成立.
【小问1详解】
证明：因为
，
因为，且，，所以，
所以，得证．
【小问2详解】
证明：假设与同时成立，
由可得，由可得，
由不等式的性质可得，这与矛盾，假设不成立.
所以，与不能同时成立.
13. 设为非空集合，定义（其中表示有序对），称的任意非空子集为上的一个关系.例如时，与都是上的关系.设为非空集合上的关系.给出如下定义：①（自反性）若对任意，有，则称在上是自反的；②（对称性）若对任意，有，则称在上是对称的；③（传递性）若对任意，有，则称在上是传递的.如果上关系同时满足上述3条性质，则称为上的等价关系.任给集合，定义为.
（1）若，问：上关系有多少个？上等价关系有多少个？（不必说明理由）
（2）若集合有个元素，的非空子集两两交集为空集，且，求证：为上的等价关系.
（3）若集合有个元素，问：对上的任意等价关系，是否存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得？请判断并说明理由.
【答案】（1）;
（2）证明过程见详解 （3）存在
【分析】（1）先用列举法写出集合，其非空子集个数即为其关系个数.等价关系也可用例举法列出来.
（2）要证为集合上的等价关系，只需证集合在集合上上满不满足自反性、对称性、传递性.
（3）只需判断针对集合上包含不同元素个数的子集对应的集合即可.
【小问1详解】
由题意得，共有个元素，则有个非空子集，即上的关系有个.
所有等价关系,,,,,共有个.
【小问2详解】
证明：令，
因为的非空子集两两交集为空集，且
设，则除了集合外，其余集合不包含.
则，又因为，则，即在上是自反的.
设，则除了集合外，其余集合不包含.
则，又因为，则，即在上是对称的.
设，则除了集合外，其余集合不包含.
则，
又因为，
则，即在上是传递的.
综上所述，为上的等价关系
【小问3详解】
令，
因为为上的等价关系，则为集合的非空子集.
因为的非空子集两两交集为空集，且
设，则除了集合外，其余集合不包含.
则，必有，则.
设，则除了集合外，其余集合不包含.
则，则必有，故，
设，则除了集合外，其余集合不包含.
则，则，必有，则.
故，不管集合中有几个元素，都能保证，则.
综上所述，对上的任意等价关系，存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得.
14．【分析】（1）由A＝{1，2}，B＝ ，即可求得m，n的值
（2）解x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，得x＝2或x＝m+1，若A∩B＝A，则A B，将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0可得答案．
解：（1）由A＝{1，2}，可得m＝0，
再由B＝ ，可得Δ＝（3n+1）2﹣4×2×2＝9n2+6n﹣15＜0，
所以（3n+5）（n﹣1）＜0，
解得﹣＜n＜1，
故存在m＝0，﹣＜n＜1，使得A＝{1，2}，B＝ ．
（2）解x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，得x＝2或x＝m+1，
若A∩B＝A，则A B，
将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0，得n＝﹣2，
则B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}＝{x|2x2﹣5x+2＝0}＝{2，}．
则m+1＝或m+1＝2，
则m＝﹣或m＝1，
所以m＝﹣或m＝1，n＝﹣2．
15．若实数x，y满足集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等，求x，y的值．
【分析】由集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等知，xy＝1，此时，{0，1，x}＝{0，|x|，y}，由此能够求出x，y的值．
【解答】解：由集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等知，lg（xy）＝0，
即xy＝1，
此时，{0，1，x}＝{0，|x|，y}．
所以 或 ，
解得x＝y＝1或x＝y＝﹣1．
当x＝y＝1时，A＝B＝{0，1，1}，与集合元素互异性矛盾，应舍去；
当x＝y＝﹣1时，A＝B＝{﹣1，0，1}，
故x＝y＝﹣1．
16. （1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；
（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，证明见解析.
【分析】
（1）利用反证法即可证明.
（2）利用充分条件、必要条件定义即可得出结果.
【详解】（1）证明：假设，，，
则，这与矛盾，
所以a，b，c中至少有一个小于.
（2）由（1）可得a，b，c中至少有一个小于，
反之不一定成立，例如：，，，则，
所以“”是“a，b，c中至少有一个小于” 的充分非必要条件.
【点睛】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题.
17. 对正整数，记，.
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合中元素的个数；
（3）若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）个；
（3）14个.
分析】（1）（2）应用表格列举出、即可；
（3）根据定义，首先证明时不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证明能分成两个不相交的稀疏集的并即可得解.
【小问1详解】
由题设，且，
1 2 3
所以.
【小问2详解】
由题意，且，
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3
由上，其中重复的元素有1、2、3，故集合中元素的个数为个.
【小问3详解】
假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并集，
设，为不相交的稀疏集，使，
不妨设，显然，则，即，同理，，又推得，但，与为稀疏集矛盾，
于是当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并，即，
若，则时，可分成两个稀疏集之并，
事实上，只要取，，则，为稀疏集，且.
当时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面个两稀疏集：，，
当时中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面两个稀疏集：，.
最后，集合且中的数均为无理数，它与中的任何其它数之和都不是整数，
则把且中的元素任意分成两个不相交的集合的并均可，不妨令稀疏集为与，
因此，令，，则和是不相交稀疏集，且，
综上，所求的最大值为14.
【点睛】思路点睛：涉及求符合某个条件的集合元素个数问题，充分利用集合元素的性质，特别是互异性，可以通过列举法列出特例元素，以排除重复元素.
18. 已知集合，全集．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），，
（2）
【分析】（1）先求出集合，再利用交集和交集的定义分别求解，
（2）由，得，然后分和两种情况求解即可.
【小问1详解】
当时，，
因为，
所以，，
【小问2详解】
因为，所以，
当时，满足，此时，得，
当时，因为，
所以，解得，
综上，或，
即实数的取值范围为.
19. 已知有限集合，若集合中任意元素都满足，则称该集合为收敛集合. 对于收敛集合，定义变换有如下操作：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为，令，若集合还是收敛集合，则可继续实施变换，得到的新集合记作，…，如此经过次变换后得到的新集合记作.
（1）设，请写出的所有可能的结果；
（2）设是收敛集合，试判断集合最多可进行几次变换，最少可进行几次变换，并说明理由；
（3）设，对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，求所有的满足条件的集合.
【答案】（1），；（2）最多9次，最少5次；理由见解析；（3）.
【分析】（1）根据收敛集合的定义和，分类讨论和，即可求出的所有可能的结果；
（2）根据收敛集合的定义得出时，仍是收敛集合，若，则的元素个数比少2个，若，则的元素个数比少1个，结合变换即可得出结果；
（3）对于满足的实数定义运算：，证明可知运算满足交换律和结合律，结合运算，集合经过反复变换，即可得出结果.
【详解】解：（1）由题可知，，
若取，为和0，则，因而；
若取，为和，则，因而；
若取，为0和，则，因而；
综上，的所有可能的结果有，.
（2）对于任意的收敛集合，
其中的两个元素，都有，
则
，
即，因而仍是收敛集合，
若，则的元素个数比少2个；
若，则的元素个数比少1个；
因而对于含有10个元素的集合，
若每进行一次变换，得到的新收敛数列比前一个减少1个元素，
则至多可进行9次变换，此时只含有一个元素，无法继续进行变换；
若每进行一次变换，得到的新收敛数列比前一个减少2个元素，
则至少可进行5次变换，此时只含有一个元素，无法继续进行变换；
所以最多进行9次变换，最少进行5次变换.
（3）由于，
对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，
对于满足的实数定义运算：，
因为，且，所以，即该运算满足交换律；
因为，
且，
所以，即该运算满足结合律，
所以运算满足交换律和结合律，
由于，
先取进行运算，得到；
再取进行运算，得到；
再取进行运算，得到；
再取进行运算，得到；
最后取进行变换，得到，因而.
综上，最终所得集合只有一个元素时，所有的满足条件的集合.
【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解新定义“收敛集合”的含义是解决的关键，考查运算能力和分类讨论思想，属于难题.
20. 设，，是否存在实数a，使？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】不存在，理由见解析
【分析】根据，得，讨论中四个元素分别为1时，求的值，判断此时集合的元素是否符合集合与元素的关系，即可得结论.
【详解】解：，，若，所以
当时，即，所以，，，所以不符合集合中元素特点，舍去；
当时，即，舍去；
当时，即，此时无意义，舍去；
当时，，，此时，不满足，舍去.
故不存在实数a，使.
21. 已知全集，，，且，求a的取值范围.
【答案】
【分析】由一元二次方程根的分布求解，
【详解】由得，而，
当时，由得，
当时，对于有，
则解得，
综上，a的取值范围是．
22. （1）已知集合，任意从中取出k个四元子集，均满足的元素个数不超过2个，求k的最大值.（举出一个例子即可，无需证明）
（2）已知集合，任意从中取出k个三元子集，均满足的元素个数不超过一个，求k的最大值.
【答案】（1）3 （2）7
【分析】（1）列举所有的四元子集，根据的元素个数不超过2个即可求解，
（2）列举所有的三元子集，根据的元素个数不超过1个，可得 满足要求，当时得到元素个数之和超过21矛盾，即可求解.
【详解】由题意知：，四元子集的个数一共有15个，如下， ，
要使任意的元素个数不超过2个，则最大为2，
比如：
（2）由题意知：，三元子集的个数一共有35个，如下：
,
对,则 与中其他元素共构成6个含的二元数对，而在每个含的三元子集中，恰好含的有2个这种数对，
由题意可知：两个不同的三元子集中所含的相应数对不同，所以至多属于三元集组中的3个，即至多出现在3个三元集中，
由于的元素个数不超过一个，故在含的三元数对中，，
由m的任意性，不妨取 ，包含1的三元集合不妨取满足，
去掉1，剩下6个元素为 ，分为3组：
若选这组中的2，则中可选一个数字4或5，则满足至多一个元素的三元集合还有，故,
故可取7.
由于，所以至多属于三元集组中的3个，即至多出现在3个三元集中，中一共有7个元素，则这7个元素故总共出现的次数至多为
当时，每个三元集中的元素出现3次，那么所有的三元集中的元素出现次数为，则 ，这与总次数21矛盾，故，
故的最大值为7
