3.1函数的概念与表示知识点练习 讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

第二课 函数的概念与表示
【知识点梳理】
函数的相关概念
函数的定义
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数，记作：．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的取值集合叫值域．
2、区间
在表示函数的定义域或值域时，我们经常会用到区间来表示，设且，如下表所示：
3、函数三要素
定义域、对应法则、值域
判断两个函数是否同一函数的方法：定义域和对应法则是否相同，只有定义域和对应法则完全相同，这两个函数才是同一个函数；
因为函数表示的是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母无关紧要．如：f(x)=2x和f(t)=2t表示相同的函数．
4、函数的表示方法
①解析法；②图象法；③列表法
5、映射
一般地，设、是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射．记作：．
注意：函数是特殊的映射，函数与映射的区别只在于数集和集合的区别．
二、求函数定义域、值域、解析式的方法
1、求函数定义域
①若是整式，则定义域为全体实数；
②若是分式，则定义域为使分式的分母不为零的全体实数；
③若是偶次根式，则定义域是使被开方数不小于零的全体实数；
④零取零次方没有意义；
⑤★复合函数：已知的定义域为D，求的定义域，只需；已知的定义域，则的定义域为的值域；
⑥由实际问题确定的函数，其定义域还要考虑自变量的实际意义；
⑦定义域一般用集合或区间表示．
2、求函数值域
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；
②配方法：利用配方的方法来求值域，适合二次函数；
③换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
④图象法：二次函数分段函数必画草图求其值域；
⑤分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；
⑥判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根求出y的取值范围；适合分母为二次且xR的分式．
求函数解析式
①待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数；
②换元法：已知f(g(x))，求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x)，在求出f(t)可得f(x)的解析式，换元后要确定新元t的取值范围；
③配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x代替，常利用完全平方公式；
④消元法（方程组法）：解方程组法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f(x)的解析式．
分段函数
分段函数是指在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
函数图象
函数图象的画法：描点法，图象变换法
常用变换方法：
①平移变换（左加右减，上加下减）
②翻折变换：
的图象：将的图象在轴下方的部分关于轴翻转，其余部分不变；
的图象：将函数的图象轴右边部分翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分图象即可得到．
【典型例题】
题型一 函数相关概念、映射
例题1：下图中可作为函数y = f (x)的图象是（ ）
例题2：（执信中学高一期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
例题3：已知，求．
变式1：（1）、（2）、（3）、（4）用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？
变式2：在下列从集合A到集合B的对应关系中，不可以确定y是x的函数的是 ．
（1） ，对应关系
（2），对应关系
（3），对应关系
（4），对应关系
题型二 求函数定义域
例题4：求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）
变式3：（1）已知函数f (x)的定义域为(0, 1)，求f (x+1)的定义域；
（2）已知函数f (2x+1)的定义域为(0, 1)，求f (x)的定义域；
（3）已知函数f (x+1)的定义域为[–2, 3]，求f (2x–1)的定义域．
题型三 求函数值域
例题5：求下列函数的值域：
（1）， （2）, （3），
变式4：求下列函数的值域：
（1） （2） （3） （4）
题型四 求函数解析式
例题6：一次函数满足，求．
例题7：已知函数，求的解析式．
变式5：已知函数，求的解析式．
变式6：已知，求．
题型五 分段函数、函数图象问题
例题8：已知函数，求的值．
例题9：画出函数的图象，并求出其值域．
变式7：画出下列函数的图象，并直接写出值域：
；（2）；（3）；
（4）已知，画出的图象．
变式8：若，是和两个函数的较小者，求的最大值．
【巩固练习】
1、函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点数目是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．1或2
2、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
（1），；（2），；
（3），； （4），；
（5），
A．（1）、（5） B．（2）、（3） C．（4） D．（3）、（5）
3、函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
4、函数的图象是（ ）
5、已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6、的定义域为 ．
7、函数的值域是 ．
8、若函数，则 ．
9、已知，则 ．
10、作出函数的图象并求出其值域．
11、已知为常数，若则求的值．
【拓展提升】
1、若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、函数满足则常数等于（ ）
A． B． C． D．
已知，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
已知函数，若，则 ．
5、设是方程的两实根，当为何值时，有最小值？求出这个最小值．
答案:
【典型例题】
题型一 函数相关概念、映射
例题1：（ D ） 例题2：（ A ）
例题3：【解析】，，，．
变式1：（2）（3）（4） 变式2： （1）（2）（3） ．
题型二 求函数定义域
例题4： 【解析】（1）；（2）；（3）R
变式3： 【解析】（1）(-1,0)；（2）(1,3)；（3）
题型三 求函数值域
例题5：【解析】（1）；（2）；（3）
变式4：【解析】（1）令，则，在上的值域为；
令，则，，；
；
将函数转化为关于x的方程，
当，即时，方程无解；
当时，，解得，
所以函数值域为．
题型四 求函数解析式
例题6：【解析】设，则，
，解得或，
或．
例题7：【解析】令，则，，
即．
变式5：【解析】，
变式6：【解析】由得，
消去得．
题型五 分段函数、函数图象问题
例题8：【解析】．
例题9：【解析】图象略，值域为．
变式7：【解析】图象略，值域为（1）；（2）；（3）；（4）．
变式8：【解析】由图象可知，，．
【巩固练习】
1、（ C ）2、（ C ）3、（ C ）4、（ D ）5、（ B ）6、．7、．
8、2 ．9、．10、【解析】图象略，值域为．
11、【解析】，
，．
【拓展提升】
1、（ C ）2、（ B ） 3、（ C ） 4、-3 ．
5、【解析】由，解得；
由韦达定理得，，
，
当时，有最小值．