4.3 对数 同步练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

4.3对数——对数的概念及运算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
2．某种水果失去的新鲜度与其采摘后时间（小时）近似满足函数关系式为（为非零常数）.若采摘后20小时，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%.那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度（）（ ）
A．33小时 B．35小时
C．38小时 D．43小时
3．若，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．4
4．若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
5．设3x＝4y＝36，则的值为（ ）
A．6 B．3
C．2 D．1
6．设，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．2
8．化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
9．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
10．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
二、多选题
11．已知函数，则使的x是（ ）
A．4 B．1 C． D．
12．下列各式正确的有（ ）
A．lg(lg 10)=0 B．lg(ln e)=0
C．若10=lg x，则x=10 D．若，则x=±5.
13．历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数，常用对数曾经在化简计算上为人们做过重大贡献，而自然对数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.现有如下四个关于对数的运算，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．下列结果为1的是（ ）
A． B． C． D．
15．设a，b，c都是正数，且，那么（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
16．里氏震级的计算公式为：，其中是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是，此时标准地震的振幅为，则此次地震的震级为_________级.
17．______．（用数字作答）
18．化简____________
四、解答题
19．计算：（1）；
（2）．
20．（1）计算：；
（2）设，求的值．
21．化简下列各式
(1)；
(2)；
(3)．
参考答案：
1．B
【分析】由指数式与对数式的互化即可求解
【详解】因为，
所以，
故选：B
2．A
【分析】根据已知条件，结合待定系数法，求出的值，即可求得，再将代入函数中，即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
故，
当时，，
解得.
故选：A
3．B
【分析】根据对数的运算性质可求x的值.
【详解】因为，故即，
所以，即.
故选：B.
4．B
【分析】根据指对数的关系得，代入目标式求值即可.
【详解】由题意知：，即.
故选：B.
5．D
【解析】根据指数式与对数式的互化公式，结合已知和对数的运算性质进行求解即可.
【详解】由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，
∴＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.
故选：D
【点睛】本题考查了对数式与指数式的互化公式，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.
6．C
【分析】根据对数的运算性质计算即可.
【详解】解：.
故选：C.
7．A
【分析】运用对数运算性质及换底公式即可获解.
【详解】，，
，
，，
，
故选：A
8．A
【分析】运用对数的运算性质即可求解.
【详解】解析：
故选：A.
9．C
【分析】将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
10．A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识 信息处理能力 阅读理解能力以及指数对数运算.
11．AD
【分析】根据题意，结合函数的解析式分两种情况讨论：当时，，当时，，求出符合要求的x的值，即可得答案.
【详解】根据题意，函数，
当时，，则有，不合要求，舍去
当时，，解得：或，均满足要求.
故或，
故选：AD
12．AB
【分析】根据，可得A正确；根据，可得B正确；由对数式化指数式可知CD错误；
【详解】对于A，因为lg(lg 10)=lg 1=0，所以A正确；
对于B，因为lg(ln e)=lg 1=0，所以B正确；
对于C，因为10=lg x，所以x=1010，所以C错误；
对于D，因为，所以.所以D错误.
故选：AB.
【点睛】本题考查了底数的常用对数和自然对数，考查了1的常用对数和自然对数，考查了对数式化指数式，属于基础题.
13．ABD
【分析】根据对数的运算法则逐个判断即可
【详解】由对数运算规律可知，，所以A正确；
，所以B正确；
，所以C错误；
，所以D正确.
故选ABD.
14．BCD
【分析】由对数运算及指数运算的性质化简即可.
【详解】对于选项A，，故A错误；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D正确.
故选：BCD.
15．AD
【分析】利用与对数定义求出，，，再根据对数的运算性质可得，然后进行化简变形即可得到.
【详解】由于，，都是正数，故可设，
，，，则，，.
，，即，去分母整理得，.
故选AD.
【点睛】本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.
16．
【分析】将，代入等式计算即可得解.
【详解】将，代入等式得.
故答案为：.
17．1
【分析】利用对数换底公式及性质计算作答.
【详解】
.
故答案为：1
18．2
【分析】结合、换底公式化简计算即可
【详解】原式
.
故答案为：2.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）根据对数的运算法则，逐步计算，即可得出结果；
（2）根据指数幂的运算法则，以及对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
20．（1）4；（2）2．
【分析】（1）根据指数的运算性质直接计算即可；
（2）通过换底公式可得，，进而可得解.
【详解】（1）原式．
（2）∵，
∴．同理可得，，
则，，
∴．
∴．
21．(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）根据对数运算法则计算；
（2）根据对数运算法则计算；
（3）根据对数运算法则计算．
(1)
原式＝；
(2)
，
原式＝
；
(3)
原式＝
．