第4讲 等比数列前n项和及其性质 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册(含答案)

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名称 第4讲 等比数列前n项和及其性质 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册(含答案)
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文件大小 3.3MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-02 14:35:54

文档简介

引子:
数列从不吝啬她的优雅,不是出其不意,就是猝不及防;
数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式,还是求和,方法都多得令人发指;
好在目前高考对此降低了难度,就算偶尔发生意外,也顶多是一个小题的差距,根本没法伤筋动骨;
她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力,只有拿满分才配得上。
第4讲 等差数列的前n项和公式
题型1 求等比数列的通项公式
例1.(2021 巴中模拟)记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=﹣6.则{an}的通项公式为(  )
A.an=(﹣2)n B.an=﹣2n C.an=(﹣3)n D.an=﹣3n
例2.已知等比数列中,若,,则等于( )
A. B. C. D.
例3.已知数列为等比数列,其前项和为,若,,则( ).
A.或32 B.或64 C.2或 D.2或
例4.已知正项等比数列的前项和为,,且,则公比( )
A. B.2 C.3 D.
例5.设是等比数列,是的前项和,对任意正整数,有,又,则的值为( )
A.2 B.200 C.-2 D.0
例6.已知等比数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前项和为,且,求的值.
例7.已知等差数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:,并且,试求数列的前项和.
例8.(2022·全国·高二课时练习)一个球从高度处自由落下,每次着地后又跳回到原来的再落下,当它第5次着地时共经过的路程是( )
A. B. C. D.
例题3.(2022·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,,,则( )
A. B. C. D.
1.(2022·全国·高二课时练习)已知数列的前项和,,其中,求数列的前项和.
2.(2022·全国·高三专题练习)已知数列 的前项和为,且满足,则( )
A. B. C. D.
3.(多选)(2022·全国·高二课时练习)已知正项等比数列中,,设其公比为,前项和为,则( )
A. B. C. D.
4.(2022·全国·高三专题练习)已知公差为正的等差数列的前项和为,若构成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
5.(2021秋 安康期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7a1(a1>0),a4=24,则数列{an}的通项公式为(  )
A. B.3×2n C. D.2n
6.(2021春 铜陵期末)各项均为正数的等比数列{an},其前n项和为Sn,若a2﹣a5=﹣78,S3=13,则数列{an}的通项公式an=(  )
A.2n B.B、2n﹣1 C.3n D.3n﹣1
7.(2021春 博野县校级月考)设公比大于零的等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S4=5S2,数列{an}的通项公式(  )
A.an=2n﹣1 B.an=3n C.2 D.an=5n
题型2 等比数列前n项和的性质
例1.(2021秋 滨海新区校级期末)记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S8=9,则S12=(  )
A.12 B.18 C.21 D.27
例2.(2021秋 赣州期中)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,S4=10,S12=70,则S8=(  )
A.30 B.﹣20 C.﹣30 D.30或﹣20
例3.一个等比数列前项的和为48,前项的和为60,则前项的和为( ).
A.83 B.108 C.75 D.63
例4.等比数列的前项和,若,,则( )
A.72 B.81 C.90 D.99
例5.设等比数列的前项和记为,若,则=( )
A. B. C. D.
例6.等比数列的前n项和为,已知,则( )
A. B. C.10 D.9
例7.已知等比数列中,,,,则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
例8.(2022·全国·高二)已知数列的前项和,则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为( )
A. B.2 C. D.
例9.(2022·山东聊城一中高三期末)已知等比数列的公比,且,则___________.
1.(2022·全国·高二学业考试)已知一个项数为偶数的等比数列,所有项之和为所有偶数项之和的倍,前项之积为,则( )
A. B. C. D.
2.(2022·全国·高二课时练习)已知等比数列共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比________.
3.设是等比数列的前项和,若,则( )
A. B. C. D.
4.(2021 甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(  )
A.7 B.8 C.9 D.10
题型3 求等比数列的前n项和
例1.(2021秋 河池月考)在正数等比数列{an}中,若,,则该数列的前10项和为(  )
A. B. C. D.
1.2021秋 南阳期末)已知数列{an}中,an=2×3n﹣1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为(  )
A.3n﹣1 B.3(3n﹣1) C. D.
2.(2021秋 全国月考)若单调递增的等比数列{an},满足a4+a6=20,a2a8=64,则S5=(  )
A.16 B.32 C. D.31
3.(2021秋 安徽月考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an(n∈N*),其前n项和为Sn,则(  )
A.Sn=2an﹣1 B.
C.Sn=3an﹣2 D.
题型4 等比数列的应用
例1.(2021秋 菏泽期中)《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁分别分得100,60,36,21.6,递减的比例为40%,那么“衰分比”就等于40%,今共有粮m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知乙分得80石,甲、丙所得之和为164石,则“衰分比”为(  )
A.20% B.25% C.75% D.80%
1.(2021秋 河东区期末)我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题:三百七十八里关,初行健步不为难.次日脚痛减一半,六朝才得到其关.要见每朝行里数,请公仔细算相还.意为:某人步行到378里的要塞去,第一天走路强壮有力,但把脚走痛了,次日因脚痛减少了一半,他所走的路程比第一天减少了一半,以后几天走的路程都比前一天减少一半,走了六天才到达目的地.请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中,第四天所走的路程为(  )
A.96 B.48 C.24 D.12
2.(2021秋 安徽月考)在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关”.则第五天走的路程为(  )里.
A.6 B.12 C.24 D.48
3.(2021秋 安宁区校级期中)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.那么请问此人前两天所走的里程为(  )
A.189里 B.216里 C.288里 D.192里
题型5 等差数列与等比数列的综合应用
例1.(2020秋 榆林期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S7=14,a2+a12=10.
(1)求an;
(2)设,证明数列{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn.
例2.(2021秋 重庆期末)已知数列{an}满足an+1﹣an=3,且a1,a5,a8成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值及此时n的值.
例3.(2020秋 惠州月考)在等差数列{an}中,a3=4,a9=10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}中,b2=1,b3=4.若cn=an+bn,且数列{cn}是等比数列,求数列{cn}的前n项和Sn.
例4.(2020秋 丰满区校级月考)已知等差数列{an}中,a2=3,a4=7,数列{bn}满足b1=a1,bn+1=3bn.
(1)求数列{an}通项公式an;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn.
题型6 数列的求和
例1.(2021春 宣城期末)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列的前n项和,求Tn.
例2.(2021秋 通渭县校级期末)在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn(Sn﹣an)+2an=0
(Ⅰ)证明数列{}是等差数列;
(Ⅱ)求Sn和数列{an}的通项公式an;
(Ⅲ)设,求数列{bn}的前n项和Tn.
1.(2021 天门校级模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣3 2n+4,n=1,2,3,….
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Tn为数列{Sn﹣4}的前n项和,求Tn.
2.(2021 眉山模拟)若Sn是公差不为0的等差数{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比例数列.
(Ⅰ)求等比数列S1,S2,S4的公比;
(Ⅱ)若S2=4,设bn,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
题型6 等比数列前你项和中的最值与范围
例1.设为等比数列的前项和,若,,,则等比数列的公比的取值范围是( )
A. B. C. D.
例2.已知数列中,其前项和为,且满足,数列的前项和为,若对恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
例3.已知数列的前项和为,且满足,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
例4.已知等比数列的前n项和为,则的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.5
例5.已知数列满足,.记为数列的前n项和,则( )
A. B. C. D.
例6.已知正项等比数列的前项和为,若,,成等差数列,则的最小值为( )
A. B. C. D.
例7.设为数列的前项和,,且.记为数列的前项和,若对任意,,则的最小值为( )
A.3 B. C.2 D.
例8.已知数列,满足,若的前项和为,
且对一切恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
例9.已知数列的前n项和,则的最大值为___________.
1.已知等比数列的公比为前项和为,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知数列满足,,若前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是( )
A.60 B.62 C.63 D.65
3.已知数列中满足,,若前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是( )
A.2008 B.2014 C.2021 D.2022
4.已知数列满足:,,记数列的前项和为,
若对所有满足条件的,的最大值为____.
5.已知数列的前n项和为且.若+5≥(2-λ)n对都成立,则实数的最小值为_______.
6.设数列的前n项和为,且是6和的等差中项,若对任意的,都有,则的最小值为________.
7.在等比数列中,,,记数列的前项和 前项积分别为,,若对任意正整数都成立,则实数的最小值为___________.
一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)
1.(3分)(2021秋 重庆月考)在等比数列{an}中,a2=2,S3=7,则a6=(  )
A.12 B.16 C.64 D.32
2.(3分)(2021秋 安康期中)等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S3=3,则S5=(  )
A.1 B.5 C.1或31 D.5或11
3.(3分)(2021秋 让胡路区校级期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若公比q=2,则(  )
A. B. C. D.
4.(3分)(2021秋 河池月考)在正数等比数列{an}中,若,,则该数列的前10项和为(  )
A. B. C. D.
5.(3分)(2021秋 信阳期中)一个等比数列的前n项和为Sn=(1﹣2λ)+λ 2n,则λ=(  )
A.﹣1 B.1 C.2 D.3
6.(3分)(2021 全国Ⅰ卷模拟)等比数列{an}中,a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,则{an}的前12项和为(  )
A.90 B.60 C.45 D.32
7.(3分)(2021春 内江期末)中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“二百五十二里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走252里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,则最后一天走了(  )
A.4里 B.16里 C.64里 D.128里
8.(3分)(2021秋 商丘期中)在正项等比数列{an}中,a5,a6+a7=3,{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则满足Sn+a1>Tn的最大正整数n的值为(  )
A.11 B.12 C.13 D.14
二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)
9.(4分)(2021秋 保定月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若S2=1,S6=91,则(  )
A.S8=729 B.S8=820 C.q=3 D.q=9
10.(4分)(2021 姑苏区校级开学)已知一个等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R,则下列等式不正确的是(  )
A.P+Q=R B.Q2=PR C.(P+Q)﹣R=Q2 D.P2+Q2=P(Q+R)
11.(4分)(2021秋 岳麓区校级月考)设等比数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知a7=a6+2a5,且存在两项am,an,使得4a1,则下列结论正确的是(  )
A.an+1=2an B.Sn=an+1﹣a1 C.m+n=6 D.mn=8
12.(4分)(2021春 沈阳期末)我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题:今有垣厚五尺,两鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.下列说法中正确的有(  )
A.大鼠与小鼠在第三天相逢 B.大鼠与小鼠在第四天相逢
C.大鼠一共穿墙尺 D.大鼠和小鼠穿墙的长度比为59:26
三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)
13.(4分)(2021秋 潮州期末)设{an}是首项为2的等比数列,Sn是其前n项和.若a1+a2a3=34,则S5=   .
14.(4分)(2021秋 山东月考)已知数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,则数列{an2}的前n项和为    .
15.(4分)(2021秋 南昌月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S5=3,S10=12,则S20=   .
16.(4分)(2021秋 保定期中)在中国现代绘画史上,徐悲鸿的马独步画坛,无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一,画中刚劲矫健、剽悍的骏马,在人们心中是自由和力量的象征,鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马,它们奔跑的速度各有差异.已知第i(i=1,2,…,7)匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍,且第8匹马的最长日行路程为400里,则这8匹马的最长日行路程之和为    里.(取1.18=2.14)
四.解答题(共6小题,满分44分)
17.(6分)(2021春 赤峰期末)已知数列{an}为等比数列,首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,请写出数列{an}的前n项和Sn的表达式,并用错位相减法加以证明.
18.(6分)(2021秋 河南月考)记Sn为等比数列{an}的前n项和,且Sn≠0,已知a1=1,S4=5S2.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若Sm=43,求m.
19.(8分)(2020 江西模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S7=49,a2+a8=18.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若S3、a17、Sm成等比数列,求S3m.
20.(8分)(2021秋 鼓楼区校级月考)已知数列{an}满足a1=3,a2=5,且.
(1)设bn=an+1﹣an,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)若数列{an}满足,求实数m的取值范围.
21.(8分)(2021 唐山二模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=24,S10=120.
(1)求Sn;
(2)记数列的前n项和为Tn,证明:Tn.
22.(8分)(2021春 房山区期末)已知等比数列{an}满足a1=1,a5a2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn;
(Ⅲ)比较Sn与2的大小,并说明理由.引子:
数列从不吝啬她的优雅,不是出其不意,就是猝不及防;
数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式,还是求和,方法都多得令人发指;
好在目前高考对此降低了难度,就算偶尔发生意外,也顶多是一个小题的差距,根本没法伤筋动骨;
她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力,只有拿满分才配得上。
第4讲 等差数列的前n项和公式
题型1 求等比数列的通项公式
例1.(2021 巴中模拟)记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=﹣6.则{an}的通项公式为(  )
A.an=(﹣2)n B.an=﹣2n C.an=(﹣3)n D.an=﹣3n
【解题思路】根据题意,设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则有,解可得a1与q的值,由等比数列的通项公式计算可得答案.
【解答过程】解:根据题意,设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
又由S2=2,S3=﹣6,则有,
解可得a1=﹣2,q=﹣2,则an=(﹣2)n;故选:A.
例2.已知等比数列中,若,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意,等比数列中,,
可得,解得,所以.
故选:A.
例3.已知数列为等比数列,其前项和为,若,,则( ).
A.或32 B.或64 C.2或 D.2或
【答案】B
【详解】∵数列为等比数列,,解得,
设数列的公比为,,解得或,
当,则,
当,则.故选:B.
例4.已知正项等比数列的前项和为,,且,则公比( )
A. B.2 C.3 D.
【答案】B
【详解】由得,
又,∴,即,
∴或(舍去).故选:B
例5.设是等比数列,是的前项和,对任意正整数,有,又,则的值为( )
A.2 B.200 C.-2 D.0
【答案】A
【详解】设的公比为,因为,所以,即,
因为,所以,可得,
因为,所以,故选:A.
例6.已知等比数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前项和为,且,求的值.
【答案】(1)或;(2).
【详解】(1)因为在等比数列中,,所以数列公比满足,所以,
当时,;当时,;
(2)当时,,解得;
当时,,无正整数解,不合题意;综上,.
例7.已知等差数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:,并且,试求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【详解】(1)设数列的公差为d,根据题意得:解得:
∴通项公式为
(2))∵,∴是公比为2的等比数列,
∴,∴
例8.(2022·全国·高二课时练习)一个球从高度处自由落下,每次着地后又跳回到原来的再落下,当它第5次着地时共经过的路程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解:由题设知当小球5次着地时共经过的米数:

故选:D.
例题3.(2022·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】解:因为,,
当时,
当时,所以,即,所以,
又,所以是以为首项,为公比的等比数列,
所以,
所以.故选:A
1.(2022·全国·高二课时练习)已知数列的前项和,,其中,求数列的前项和.
【答案】
【详解】对于,
当时,,
当时,,
当时,上式也符合,所以.
所以.
由于,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,其前项和.
2.(2022·全国·高三专题练习)已知数列 的前项和为,且满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】当时,,∴,当时,,两式相减可得,
∴数列是首项为,公比为的等比数列,∴.故选:D.
3.(多选)(2022·全国·高二课时练习)已知正项等比数列中,,设其公比为,前项和为,则( )
A. B. C. D.
【答案】ABD
【详解】因为,所以,即,解得或,
又,所以,所以A正确;
数列的通项公式为,所以B正确;
,所以C不正确;
由,得,,
所以,所以D正确.故选:ABD
4.(2022·全国·高三专题练习)已知公差为正的等差数列的前项和为,若构成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【详解】(1)由为正项等差数列,,得,则,
又构成等比数列,所以,
即,解得或(舍去),所以;
(2)由(1)知,所以,
又因为,
所以是以2为首项,4为公比的等比数列,
所以数列的前项和
5.(2021秋 安康期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7a1(a1>0),a4=24,则数列{an}的通项公式为(  )
A. B.3×2n C. D.2n
【解题思路】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,分析可得a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=7a1,变形解可得q的值,验证可得q的值,进而可得a1的值,结合等比数列的通项公式计算可得答案.
【解答过程】解:根据题意,设等比数列{an}的公比为q,
若S3=7a1,则a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=7a1,
变形可得:q2+q﹣6=0,解可得:q=2或﹣3,
当q=2时,a13,
当q=﹣3时,a1,不符合题意,舍去;
故a1=3,则an=a1qn﹣1=3×2n﹣1;故选:A.
6.(2021春 铜陵期末)各项均为正数的等比数列{an},其前n项和为Sn,若a2﹣a5=﹣78,S3=13,则数列{an}的通项公式an=(  )
A.2n B.B、2n﹣1 C.3n D.3n﹣1
【解题思路】设公比为q的等比数列{an},运用等比数列的通项公式,列方程,解方程即可得到首项和公比,即可得到所求通项公式.
【解答过程】解:各项均为正数,公比为q的等比数列{an},a2﹣a5=﹣78,S3=13,
可得a1q﹣a1q4=﹣78,a1+a1q+a1q2=13,
解得a1=1,q=3,则an=a1qn﹣1=3n﹣1,n∈N*,故选:D.
7.(2021春 博野县校级月考)设公比大于零的等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S4=5S2,数列{an}的通项公式(  )
A.an=2n﹣1 B.an=3n C.2 D.an=5n
【解题思路】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.
【解答过程】解:设公比q大于零的等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S4=5S2,q≠1.
∴5,化为:q2=4.解得q=2
数列{an}的通项公式an=2n﹣1.故选:A.
题型2 等比数列前n项和的性质
例1.(2021秋 滨海新区校级期末)记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S8=9,则S12=(  )
A.12 B.18 C.21 D.27
【解题思路】根据等比数列的性质进行计算即可.
【解答过程】解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3,S8=9,
∴S4,S8﹣S4,S12﹣S8成等比数列,
即3,6,S12﹣9成等比数列,
∴(S12﹣9)×3=36,∴S12=21.
故选:C.
例2.(2021秋 赣州期中)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,S4=10,S12=70,则S8=(  )
A.30 B.﹣20 C.﹣30 D.30或﹣20
【解题思路】根据题意可得S4,S8﹣S4,S12﹣S8构成等比数列,即(S8﹣S4)2=S4(S12﹣S8),
故(S8﹣10)2=10(70﹣S8),从而即可求出S8的值.
【解答过程】解:由{an}是等比数列,且S4=10,S12=70,{an}的公比q≠1,
所以S4,S8﹣S4,S12﹣S8构成等比数列,
所以(S8﹣S4)2=S4(S12﹣S8),即(S8﹣10)2=10(70﹣S8),化简并整理得S82﹣10S8﹣600=0,
又S8=S4+q4S4>0,所以解得S8=30或S8=﹣20(舍去).故选:A.
例3.一个等比数列前项的和为48,前项的和为60,则前项的和为( ).
A.83 B.108 C.75 D.63
【答案】D
【详解】设等比数列前项和为,
因为等比数列前项的和为48且不为零,则成等比数列,
故,故,故选:D.
例4.等比数列的前项和,若,,则( )
A.72 B.81 C.90 D.99
【答案】B
【详解】由等比数列的性质,可得成等比数列,
则,即,
解得,即.故选:B.
例5.设等比数列的前项和记为,若,则=( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析:∵数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn,
∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.
∵S10∶S5=1∶2,即S10=S5,
∴等比数列S5,S10-S5,S15-S10的公比为=-.
∴S15-S10=-(S10-S5)=S5.
∴S15=S5+S10=S5.
∴S15∶S5=.故选:A.
例6.等比数列的前n项和为,已知,则( )
A. B. C.10 D.9
【答案】C
【详解】因为,可得,设数列的公比为q,则.
所以.故选:C.
例7.已知等比数列中,,,,则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为,则,
即,
因为,所以,
则,即,解得,故选:B.
例8.(2022·全国·高二)已知数列的前项和,则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为( )
A. B.2 C. D.
【答案】C
【详解】当时,,又,
即前10项分别为,
所以数列的前10项中,,
所以,故选:C.
例9.(2022·山东聊城一中高三期末)已知等比数列的公比,且,则___________.
【答案】120
【详解】因为在等比数列中,若项数为,则,
所以
.
故答案为:120
1.(2022·全国·高二学业考试)已知一个项数为偶数的等比数列,所有项之和为所有偶数项之和的倍,前项之积为,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍,所以,,故
设等比数列的公比为,设该等比数列共有项,
则,所以,,
因为,可得,因此,.故选:C.
2.(2022·全国·高二课时练习)已知等比数列共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比________.
【答案】2
【详解】由题意, 设奇数项的和为,偶数项的和为,得
故公比 .故答案为2
3.设是等比数列的前项和,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设,由数列为等比数列(易知数列的公比),
得为等比数列 又
故选:.
4.(2021 甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(  )
A.7 B.8 C.9 D.10
【解题思路】由等比数列的性质得S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,从而得到关于S6的方程,再求出S6.
【解答过程】解:∵Sn为等比数列{an}的前n项和,S2=4,S4=6,
由等比数列的性质,可知S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,
∴4,2,S6﹣6成等比数列,∴22=4(S6﹣6),解得S6=7.故选:A.
题型3 求等比数列的前n项和
例1.(2021秋 河池月考)在正数等比数列{an}中,若,,则该数列的前10项和为(  )
A. B. C. D.
【解题思路】由等比数列的通项公式求得q和a1的值,再由等比数列前n项和公式,得解.
【解答过程】解:因为,,所以q2,
因为正数等比数列{an},所以q,a11,
所以S102.故选:B.
1.2021秋 南阳期末)已知数列{an}中,an=2×3n﹣1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为(  )
A.3n﹣1 B.3(3n﹣1) C. D.
【解题思路】由已知可知,数列{an}是以2为首项以3为公比的等比数列,从而可得由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项,以9为公比的等比数列,代入求等比数列的求和公式即可求解
【解答过程】解:∵,
则数列{an}是以2为首项以3为公比的等比数列
由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项,以9为公比的等比数列
前n项的和为Sn
故选:D.
2.(2021秋 全国月考)若单调递增的等比数列{an},满足a4+a6=20,a2a8=64,则S5=(  )
A.16 B.32 C. D.31
【解题思路】由等比数列中项性质知a4a6=64,从而求得a4和a6的值,进而得q和a1的值,再由等比数列前n项和公式,得解.
【解答过程】解:由等比数列的性质知,a4a6=a2a8=64,
因为a4+a6=20,且单调递增的等比数列{an},所以a4=4,a6=16,
所以公比q=2,首项a1,
所以S5.故选:C.
3.(2021秋 安徽月考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an(n∈N*),其前n项和为Sn,则(  )
A.Sn=2an﹣1 B.
C.Sn=3an﹣2 D.
【解题思路】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可判断.
【解答过程】解:由题意得,数列{an}是以1为首项,以3为公比的等比数列,
所以,Sn.故选:B.
题型4 等比数列的应用
例1.(2021秋 菏泽期中)《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁分别分得100,60,36,21.6,递减的比例为40%,那么“衰分比”就等于40%,今共有粮m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知乙分得80石,甲、丙所得之和为164石,则“衰分比”为(  )
A.20% B.25% C.75% D.80%
【解题思路】设“衰分比”为m,由题意化简得80 (1﹣m)=164,解方程即可.
【解答过程】解:设“衰分比”为m,
则甲分得,丙分得80 (1﹣m),
故80 (1﹣m)=164,解得,m=20%,故选:A.
1.(2021秋 河东区期末)我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题:三百七十八里关,初行健步不为难.次日脚痛减一半,六朝才得到其关.要见每朝行里数,请公仔细算相还.意为:某人步行到378里的要塞去,第一天走路强壮有力,但把脚走痛了,次日因脚痛减少了一半,他所走的路程比第一天减少了一半,以后几天走的路程都比前一天减少一半,走了六天才到达目的地.请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中,第四天所走的路程为(  )
A.96 B.48 C.24 D.12
【解题思路】由题意,每天所走的路程构成公比为的等比数列,然后结合等比数列的求和公式可求首项,再由等比数列的通项公式可求.
【解答过程】解:由题意,每天所走的路程构成公比为的等比数列,
设第一天走了x里,则378,解得x=192,
所以第四天走的路程为192×()3=24.故选:C.
2.(2021秋 安徽月考)在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关”.则第五天走的路程为(  )里.
A.6 B.12 C.24 D.48
【解题思路】直接利用已知条件求出数列的通项公式,进一步求出结果.
【解答过程】解:根据题意:,q,
所以a1=192,故.故选:B.
3.(2021秋 安宁区校级期中)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.那么请问此人前两天所走的里程为(  )
A.189里 B.216里 C.288里 D.192里
【解题思路】由题意得,每天行走的路程成等比数列{an},且公比为,由条件和等比数列的前n项和公式求出a1,由等比数列的通项公式求出答案即可.
【解答过程】解:由题意可知此人每天走的步数{an}构成公比为的等比数列,
由题意和等比数列的求和公式可得378,解得a1=192,
此人第二天走19296里,
可得此人前两天所走的里程为192+96=288里.故选:C.
题型5 等差数列与等比数列的综合应用
例1.(2020秋 榆林期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S7=14,a2+a12=10.
(1)求an;
(2)设,证明数列{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn.
【解题思路】(1)根据题意,由等差数列的通项公式和前n项和公式可得S7=7a1+21d=14,a2+a12=2a1+12d=10,解可得a1、d的值,由等差数列的通项公式即可得答案,
(2)根据题意,求出数列{bn}的通项公式,由等比数列的定义可得结论,由等比数列的前n项和公式计算可得答案.
【解答过程】解(1)根据题意,{an}是等差数列,
若S7=14,a2+a12=10,则有S7=7a1+21d=14,a2+a12=2a1+12d=10,
联立解得a1=﹣1,d=1,
所以an=n﹣2;
(2)证明:由2n﹣2,则,
故列{bn}是首项为,公比为2的等比数列.
数列{bn}的前n项和.
例2.(2021秋 重庆期末)已知数列{an}满足an+1﹣an=3,且a1,a5,a8成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值及此时n的值.
【解题思路】(1)由题意得数列{an}的公差为3,再由a1,a5,a8成等比数列得(a1+12)2=a1(a1+21),从而解得;
(2)由等差数列性质知,当Sn取最小值时,即an变号时,从而确定最小值.
【解答过程】解:(1)∵an+1﹣an=3,∴数列{an}的公差为3,故an=a1+3(n﹣1),
又∵a1,a5,a8成等比数列,∴(a1+12)2=a1(a1+21),
解得a1=﹣48,故an=a1+3(n﹣1)=3n﹣51;
(2)由题意得,Sn取最小值时,即an变号时,
令an=3n﹣51=0得,n=17;
故Sn的最小值为S16=S17=﹣408;此时n的值为16或17.
例3.(2020秋 惠州月考)在等差数列{an}中,a3=4,a9=10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}中,b2=1,b3=4.若cn=an+bn,且数列{cn}是等比数列,求数列{cn}的前n项和Sn.
【解题思路】(1)由题意可得,解得a1=2,d=1,即可求出通项公式,
(2)根据cn=an+bn,可得c2=4,c3=8,可得q=2,根据等比数列求和公式即可求出.
【解答过程】解:(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,
由,解得a1=2,d=1,∴an=a1+(n﹣1)d=n+1,即an=n+1;
(2)当n=2时,c2=a2+b2=2+1+1=4,
当n=3时,c3=a3+b3=3+1+1=8,
∵数列{cn}是等比数列,∴其公比为q2,∴c1=2,
∴数列{cn}的前n项和Sn2n+1﹣2.
例4.(2020秋 丰满区校级月考)已知等差数列{an}中,a2=3,a4=7,数列{bn}满足b1=a1,bn+1=3bn.
(1)求数列{an}通项公式an;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn.
【解题思路】(1)设等差数列{an}的公差为d,运用等差数列的通项公式,解方程可得首项和公差,进而得到所求通项公式;
(2)设等比数列{bn}的公比为q,运用等比数列的通项公式,解方程可得公比,进而得到所求和.
【解答过程】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a2=3,a4=7,
所以,解得a1=1,d=2,
∴an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1(n∈N*);
(2)由(1)得b1=a1=1,∵bn+1=3bn,
∵3,∴{bn}是首项1公比是3的等比数列,
∴,(n∈N*).
题型6 数列的求和
例1.(2021春 宣城期末)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列的前n项和,求Tn.
【解题思路】(1)设公差为d,利用S4=14,且a1,a3,a7成等比数列,建立方程,即可求得首项与公差,从而可得数列{an}的通项公式;
(2)利用裂项法,可求数列的前n项和.
【解答过程】解:(1)设公差为d,则
∵S4=14,且a1,a3,a7成等比数列
∴4a1+6d=14,(a1+2d)2=a1(a1+6d)
∵d≠0,∴d=1,a1=2,∴an=n+1
(2)
∴Tn.
例2.(2021秋 通渭县校级期末)在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn(Sn﹣an)+2an=0
(Ⅰ)证明数列{}是等差数列;
(Ⅱ)求Sn和数列{an}的通项公式an;
(Ⅲ)设,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解题思路】(I)由已知中数列{an}的前n项和Sn满足Sn(Sn﹣an)+2an=0,结合an=Sn﹣Sn﹣1,可得为定值,进而得到数列{}是等差数列;
(Ⅱ)由(I)可得数列{}的通项公式,进而得到Sn的通项公式,再由an与Sn的关系,得到数列{an}的通项公式
(III)由已知中Sn的通项公式,可得数列{bn}的通项公式,进而利用裂项相消法得到答案.
【解答过程】证明:(I)∵当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,且Sn(Sn﹣an)+2an=0
∴Sn[Sn﹣(Sn﹣Sn﹣1)]+2(Sn﹣Sn﹣1)=0
即Sn Sn﹣1+2(Sn﹣Sn﹣1)=0 即
又∵S1=a1=1,故数列{}是以1为首项,以为公差的等差数列
(II)由(I)得: ∴Sn
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1
∵n=1时,无意义,故an
(III)∵2()
∴Tn=2(1)=2(1)
1.(2021 天门校级模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣3 2n+4,n=1,2,3,….
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Tn为数列{Sn﹣4}的前n项和,求Tn.
【解题思路】(Ⅰ)令n=1得a1=s1=2a1﹣2即a1=2,然后当n≥2时根据sn﹣sn﹣1得到an变形为,设,则数列{bn}是首项b1=1、公差为的等差数列,表示出bn通项即可求出an;
(Ⅱ)先求出sn﹣4的通项公式,利用数列求和的方法求出Tn即可.
【解答过程】解:(Ⅰ)∵a1=S1=2a1﹣2,∴a1=2.
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,an=2an﹣1+3×2n﹣1,于是;
令,则数列{bn}是首项b1=1、公差为的等差数列,;∴an=2nbn=2n﹣1(3n﹣1).
(Ⅱ)∵Sn﹣4=2n(3n﹣4)=3×2n×n﹣2n+2,
∴Tn=3(2×1+22×2++2n×n)﹣4(2+22++2n),
记Wn=2×1+22×2++2n×n①,则2Wn=22×1+23×2++2n+1×n②,
①﹣②有﹣Wn=2×1+22++2n﹣2n+1×n=2n+1(1﹣n)﹣2,
∴Wn=2n+1(n﹣1)+2.

2.(2021 眉山模拟)若Sn是公差不为0的等差数{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比例数列.
(Ⅰ)求等比数列S1,S2,S4的公比;
(Ⅱ)若S2=4,设bn,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
【解题思路】(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;
(II)S2=4,可得4a1=4,解得a1.可得d.可得an=2n﹣1.
可得bn,利用“裂项求和”可得Tn,再利用“放缩法”、数列的单调性即可得出.
【解答过程】解:(I)设等差数{an}的公差为d≠0,
∵S1,S2,S4成等比例数列.
∴,
∴a1(4a1+6d),化为d=2a1.
∴4.
∴等比数列S1,S2,S4的公比为4.
(II)∵S2=4,∴4a1=4,解得a1=1.∴d=2.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
∴bn,
∴数列{bn}的前n项和Tn,
由Tn对所有n∈N*都成立,
则20∈[20,30),
∴使得Tn对所有n∈N*都成立的最小正整数m为30.
题型6 等比数列前你项和中的最值与范围
例1.设为等比数列的前项和,若,,,则等比数列的公比的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据等比数列前项和公式,结合题意和指数幂的性质进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为,因为,,,所以,
,因为,
所以有,因为,所以,
因此要想对于恒成立,只需,而,所以.故选:A
例2.已知数列中,其前项和为,且满足,数列的前项和为,若对恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由利用,得到数列是以1为首项,为公比的等比数列,进而得到是以1为首项,为公比的等比数列,利用等比数列前n项和公式得到,,将恒成立,转化为对恒成立,再分为偶数和为奇数讨论求解.
【详解】当时,,得;
当时,由,得,两式相减得,
所以数列是以1为首项,为公比的等比数列.
因为,所以.又,所以是以1为首项,为公比的等比数列,
所以,,由,
得,所以,
所以.
又,所以,所以,
即对恒成立,
当为偶数时,,所以,
令,则数列是递增数列,所以;
当为奇数时,,所以,
所以,所以.综上,实数的取值范围是.故选:D.
例3.已知数列的前项和为,且满足,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】首先根据题意求出,从而得到;再由对于任意的,不等式恒成立,得到不等式在时恒成立,
从而得到,通过解不等式组即可求出实数的取值范围.
【详解】因为,所以时,,
两式相减,得,即,又时,,所以,
因为也适合,所以.所以,
因为对于任意的,不等式恒成立,
所以对于任意的,不等式恒成立,
即对于任意的,不等式恒成立,
所以只需,即,解得或.
所以实数的取值范围为.故选:A.
例4.已知等比数列的前n项和为,则的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.5
【答案】C
【分析】先根据求出的通项公式,求出,再根据是等比数列,利用等比数列的性质求出,从而求出,再用基本不等式求解的最小值.
【详解】当时,,
当时,
从而,
因为是等比数列
所以公比,且,即,即
所以,当且仅当,即时,等号成立
所以的最小值为4.故选:C
例5.已知数列满足,.记为数列的前n项和,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由递推关系得数列从第2项起是递增数列,得出不等关系,,,对从后开始用上式放缩,证得,
只要对前面几项求和可证.
【详解】解析:的前几项依次为1,1,2,3,5,8,13…,易知数列从第二项起为递增数列,
从而,即得,
由,得,
从而,
所以
又,
因此,.故选:B.
例6.已知正项等比数列的前项和为,若,,成等差数列,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
利用等比数列前项和的性质表示出,再表示成同一变量,然后利用基本不等式求出其最小值即可.
【详解】因为是正项等比数列,
所以,,仍然构成等比数列,所以.
又,,成等差数列,
所以,,
所以.
又是正项等比数列,
所以,,当且仅当时取等号.故选:B.
例7.设为数列的前项和,,且.记为数列的前项和,若对任意,,则的最小值为( )
A.3 B. C.2 D.
【答案】B
【分析】由已知得.再求得,从而有数列是以为首项,为公比的等比数列,由等比数列的通项公式求得,再利用分组求和的方法,以及等比数列求和公式求得,从而求得得答案.
【详解】解:由,得,∴.
又由,得,又,∴.所以,
∴数列是以为首项,为公比的等比数列,则,
∴,
∴,
∴.
∴.
∵对任意,,∴的最小值为.故选:B.
例8.已知数列,满足,若的前项和为,
且对一切恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由求得,即得,把不等式分离变量变形后转化为求新数列的最大项.
【详解】由题意,时,,
综上,,
题设不等式为,整理得,
记,则,
当时,,,时,,,
所以是中的最大值,,
所以.故选:D.
例9.已知数列的前n项和,则的最大值为___________.
【答案】
【分析】由数列的递推公式可得数列是首项为,公比为的等比数列,从而可求得数列的通项公式,写出的表达式,分n为偶数和奇数两种情况求得的取值范围即可得解.
【详解】已知,令,则,解得,
当时,,
两式相减,得,即,
数列是首项为,公比为的等比数列,
,则,,
当n为偶数时,;
当n为奇数时,.
,即的最大值为.故答案为:
1.已知等比数列的公比为前项和为,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据,可得再根据结合等比数列前n项和得公式即可得出答案.
【详解】解:因为,所以
,故选:C.
2.已知数列满足,,若前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是( )
A.60 B.62 C.63 D.65
【答案】C
【分析】由已知得,由此有数列是首项为4,公比为的等比数列,运用分组求和法求得,建立不等式,解之可得选项.
【详解】解:根据题意,数列,中满足,即+1,
所以,
又由,则数列是首项为4,公比为的等比数列,则,
所以,
所以,
当时,单调递增,<2021,>2021,
故满足不等式的最小整数为63.故选:C.
3.已知数列中满足,,若前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是( )
A.2008 B.2014 C.2021 D.2022
【答案】B
【分析】由题设条件可得,即是以4为首项,为公比的等比数列,可求得,分析可得关于单调递增,结合选项分析可得解
【详解】由题意,,又
是以4为首项,为公比的等比数列记的前n项之和为
由于单调递增,单调递减,故关于单调递增
由于
,由于
故满足不等式的最小整数n是2014故选:B
4.已知数列满足:,,记数列的前项和为,
若对所有满足条件的,的最大值为____.
【答案】
【分析】推导出对任意的时,取最大值时,为等比数列,求出该数列的首项和公比,利用等比数列的求和公式可求得的最大值.
【详解】因为数列满足,,
所以,,可得,,则.
易得当时,,则、、、均为正数,
由可知,可得数列为单调递增数列,
当取最大值时,,可得,
所以,对任意的,取最大值时,数列为等比数列,且该数列的公比为,首项为.
因此,的最大值为.故答案为:.
5.已知数列的前n项和为且.若+5≥(2-λ)n对都成立,则实数的最小值为_______.
【答案】
【分析】根据累加法求出数列,再代入已知条件后可得,
构造函数,再利用导数研究函数的最值,即可得答案;
【详解】,,
又,
当时,
,满足上式,
代入,得,构造函数,求导,
当时,;
当时,;
当时,.
于是函数在时取得最大值,
又∵,故最大值为,,故实数入的最小值为.
6.设数列的前n项和为,且是6和的等差中项,若对任意的,都有,则的最小值为________.
【答案】
【分析】先根据和项与通项关系得通项公式,再根据等比数列求和公式得,再根据函数单调性得取值范围,即得取值范围,解得结果.
【详解】因为是6和的等差中项,所以
当时,
当时,
因此
当为偶数时,
当为奇数时,因此
因为在上单调递增,
所以。故答案为:
7.在等比数列中,,,记数列的前项和 前项积分别为,,若对任意正整数都成立,则实数的最小值为___________.
【答案】
【分析】
先求出,,再求出,即对任意正整数都成立,求出函数的最大值即得解.
【详解】因为,,所以公比,所以,
所以,,,,
要,即对任意正整数都成立,只要,
又,所以或时,取最大值,
所以,的最小值为.故答案为:8
一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)
1.(3分)(2021秋 重庆月考)在等比数列{an}中,a2=2,S3=7,则a6=(  )
A.12 B.16 C.64 D.32
【解题思路】利用等比数列通公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.
【解答过程】解:∵在等比数列{an}中,a2=2,S3=7,
∴q≠1,且,解得a1=1,q=2,a6=1×25=32.故选:D.
2.(3分)(2021秋 安康期中)等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S3=3,则S5=(  )
A.1 B.5 C.1或31 D.5或11
【解题思路】根据题意,求出等比数列{an}的公比,进而计算可得答案.
【解答过程】解:根据题意,等比数列{an}中,设其公比为q,
a1=1,S3=3,则有1+q+q2=3,解可得:q=1或q=﹣2,
若q=1,S5=5a1=5,
若q=﹣2,S511,故选:D.
3.(3分)(2021秋 让胡路区校级期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若公比q=2,则(  )
A. B. C. D.
【解题思路】根据题意,由等比数列的前n项和公式直接计算即可.
【解答过程】解:根据题意,等比数列{an}中,公比q=2,
则;故选:A.
4.(3分)(2021秋 河池月考)在正数等比数列{an}中,若,,则该数列的前10项和为(  )
A. B. C. D.
【解题思路】由等比数列的通项公式求得q和a1的值,再由等比数列前n项和公式,得解.
【解答过程】解:因为,,所以q2,
因为正数等比数列{an},所以q,a11,
所以S102.故选:B.
5.(3分)(2021秋 信阳期中)一个等比数列的前n项和为Sn=(1﹣2λ)+λ 2n,则λ=(  )
A.﹣1 B.1 C.2 D.3
【解题思路】根据题意,求出数列的前三项,由等比数列的定义可得关于λ的方程,解可得答案.
【解答过程】解:根据题意,等比数列的前n项和为Sn=(1﹣2λ)+λ 2n,
则a1=S1=(1﹣2λ)+2λ=1,
a2=S2﹣S1=2λ,
a3=S3﹣S2=4λ,
必有(2λ)2=4λ,解可得λ=1或0(舍);则λ=1;故选:B.
6.(3分)(2021 全国Ⅰ卷模拟)等比数列{an}中,a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,则{an}的前12项和为(  )
A.90 B.60 C.45 D.32
【解题思路】由等比数列的性质得:a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,a10+a11+a12也成等比数列,由此能求出{an}的前12项和.
【解答过程】解:∵等比数列{an}中,a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,
由等比数列的性质得:a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,a10+a11+a12也成等比数列,
∴由a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,得a7+a8+a9=12,a10+a11+a12=24,
∴{an}的前12项和为:3+6+12+24=45.故选:C.
7.(3分)(2021春 内江期末)中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“二百五十二里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走252里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,则最后一天走了(  )
A.4里 B.16里 C.64里 D.128里
【解题思路】第n天走的里程数{an}是公比为的等比数列,从而252,由此能求出a1=128,由此能求出最后一天走的里程数.
【解答过程】解:有一个人走252里路,第一天健步行走,
从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,
则第n天走的里程数{an}是公比为的等比数列,
∴252,解得a1=128,
则最后一天走了a6=1284.
故选:A.
8.(3分)(2021秋 商丘期中)在正项等比数列{an}中,a5,a6+a7=3,{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则满足Sn+a1>Tn的最大正整数n的值为(  )
A.11 B.12 C.13 D.14
【解题思路】求出等比数列{an}的公比和首项,利用等比数列的求和公式和等差数列的求和公式可得出关于n的不等式,求出n的取值范围即可得解.
【解答过程】解:∵在正项等比数列{an}中,a5,a6+a7=3,
∴,且q>0,解得a1,q=2,
∴{an}的前n项和为Sn,
{an}的前n项积为Tn,则Tn2222n﹣1=()n×21+2+3+ +n﹣1,
∵Sn+a1>Tn,∴,即2n﹣5,即n2﹣13n+10<0,
解得n,
∵1112,则12,
因此满足条件的正整数n的最大值为12.故选:B.
二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)
9.(4分)(2021秋 保定月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若S2=1,S6=91,则(  )
A.S8=729 B.S8=820 C.q=3 D.q=9
【解题思路】利用正项等比数列前n项和列方程组求出q=3,a1,再求出S8,由此能求出结果.
【解答过程】解:正项等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,S2=1,S6=91,
∴,且q>0,q≠1,
整理得(1﹣q+q2)(1+q+q2)=(1+q2)2﹣q2=91,
整理得q4+q2﹣90=0,由q>0,解得q=3,故C正确,D错误;
∴a1,S8820,故A错误,B正确.故选:BC.
10.(4分)(2021 姑苏区校级开学)已知一个等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R,则下列等式不正确的是(  )
A.P+Q=R B.Q2=PR
C.(P+Q)﹣R=Q2 D.P2+Q2=P(Q+R)
【解题思路】由等比数列的性质得Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n成等比数列,从而P,Q﹣P,R﹣Q成等比数列,由此能求出结果.
【解答过程】解:一个等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R,
由等比数列的性质得Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n成等比数列,
∴P,Q﹣P,R﹣Q成等比数列,∴(Q﹣P)2=P(R﹣Q),解得P2+Q2=P(Q+R).故选:ABC.
11.(4分)(2021秋 岳麓区校级月考)设等比数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知a7=a6+2a5,且存在两项am,an,使得4a1,则下列结论正确的是(  )
A.an+1=2an B.Sn=an+1﹣a1 C.m+n=6 D.mn=8
【解题思路】A选项,设公比为q,由通项公式得,解出q,得到an+1=2an即可判断.
B选项,将an+1=qan代入求和公式化简即可.
根据通项公式及条件,化简整理得,解出m+n,即可判断C,D.
【解答过程】解:A选项,设公比为q,则,
所以q2﹣q+2=0,又q>0,解得q=2,所以,说法正确.
B选项,,说法正确.
因为,
所以,即,解得m+n=6,故C正确,D错误.故选:ABC.
12.(4分)(2021春 沈阳期末)我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题:今有垣厚五尺,两鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.下列说法中正确的有(  )
A.大鼠与小鼠在第三天相逢 B.大鼠与小鼠在第四天相逢
C.大鼠一共穿墙尺 D.大鼠和小鼠穿墙的长度比为59:26
【解题思路】大鼠第n日穿墙an=2n﹣1,小鼠第n日穿墙bn=()n﹣1,由Sn5,
求出n∈(2,3),从而大鼠与小鼠在第三天相逢;第一天的时候,大老鼠打了1尺,小老鼠1尺,一共2尺,还剩3尺;第二天的时候,大老鼠打了2尺,小老鼠打了0.5尺,这一天一共打了2.5尺,两天一共打了4.5尺,还剩0.5尺.设第三天大老鼠打了X尺,小老鼠则打了(0.5﹣X)尺,则X÷4=(0.5﹣x)÷0.25,
解方程得X,由此能求出结果.
【解答过程】解:今有垣厚五尺,两鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,
则大鼠第n日穿墙an=2n﹣1,小鼠第n日穿墙bn=()n﹣1,
Sn5,整理得4,∴n∈(2,3),
∴大鼠与小鼠在第三天相逢,故A正确,B错误;
第一天的时候,大老鼠打了1尺,小老鼠1尺,一共2尺,还剩3尺;
第二天的时候,大老鼠打了2尺,小老鼠打了0.5尺,这一天一共打了2.5尺,两天一共打了4.5尺,还剩0.5尺.
第三天按道理来说大老鼠打4尺,小老鼠0.25尺,可是现在只剩0.5尺没有打通了,所以在第三天肯定可以打通.
我们现在设大老鼠打了X尺,小老鼠则打了(0.5﹣X)尺
则打洞时间相等:X÷4=(0.5﹣x)÷0.25,解方程得X,
∴大老鼠在第三天打了尺,小老鼠打了0.5尺,三天总的来说:大老鼠打了3尺,故C正确;
大鼠和小鼠穿墙的长度比为:59:26,故D正确.故选:ACD.
三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)
13.(4分)(2021秋 潮州期末)设{an}是首项为2的等比数列,Sn是其前n项和.若a1+a2a3=34,则S5= 62 .
【解题思路】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的通项公式求出q,进而计算可得答案.
【解答过程】解:根据题意,设等比数列{an}的公比为q,
若a1+a2a3=34且a1=2,则2+2q×2q2=34,解可得q=2,
则S562,故答案为:62.
14.(4分)(2021秋 山东月考)已知数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
则数列{an2}的前n项和为   .
【解题思路】由已知结合等比数列的性质及求和公式即可求解.
【解答过程】解:由题意得,an=2n﹣1,
所以4n﹣1,即数列{an2}是以1为首项,以4为公比的等比数列,
所以前n项和Sn.故答案为:.
15.(4分)(2021秋 南昌月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S5=3,S10=12,则S20= 120 .
【解题思路】由等比数列{an}的前n项和为Sn,可得S5,S10﹣S5,S15﹣S10,S20﹣S15成等比数列,再结合等比中项的公式,即可求解.
【解答过程】解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,∴S5,S10﹣S5,S15﹣S10,S20﹣S15成等比数列,
∴,即 (12﹣3)2=3×(S15﹣12),解得S15=39,
∴(S10﹣S5) (S20﹣S15),即(39﹣12)2=(12﹣3)×(S20﹣39),解得S20=120.故答案为:120.
16.(4分)(2021秋 保定期中)在中国现代绘画史上,徐悲鸿的马独步画坛,无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一,画中刚劲矫健、剽悍的骏马,在人们心中是自由和力量的象征,鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马,它们奔跑的速度各有差异.已知第i(i=1,2,…,7)匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍,且第8匹马的最长日行路程为400里,则这8匹马的最长日行路程之和为  4560 里.(取1.18=2.14)
【解题思路】根据题意,第8匹马、第七匹马、……、第一匹马构成以400为首项,1.1为公比的等比数列,进一步利用等比数列前n项和公式进行求解即可.
【解答过程】解:根据题意,第8匹马、第七匹马、……、第一匹马构成以400为首项,1.1为公比的等比数列,
则这8匹马的最长日行路程之和为4560.故答案为:4560.
四.解答题(共6小题,满分44分)
17.(6分)(2021春 赤峰期末)已知数列{an}为等比数列,首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,请写出数列{an}的前n项和Sn的表达式,并用错位相减法加以证明.
【解题思路】Sn,分类讨论q=1与q≠1两种情况即可证明.
【解答过程】证明:Sn,理由如下:
当q=1时,Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+…+an=na1;
当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an=Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn﹣1①,则qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn②,
两式相减得(1﹣q)Sn=a1﹣a1qn=a1(1﹣qn),所以Sn,
综上,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn,
18.(6分)(2021秋 河南月考)记Sn为等比数列{an}的前n项和,且Sn≠0,已知a1=1,S4=5S2.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若Sm=43,求m.
【解题思路】(I )利用等比数列前n项和公式列出方程组,求出公比,由此能求出通项公式.
(II)由题意分类讨论,利用等比数列求和公式即可求解.
【解答过程】解:(I )设{an}的公比为q,
由S4=5S2得a1+a2+a3+a4=5(a1+a2),整理得a3+a4=4(a1+a2),
因为a1+a2≠0,所以q2=4,所以q=2或q=﹣2,
故an=2n﹣1,或an=(﹣2)n﹣1.
(II)若an=2n﹣1,则Sn=2n﹣1,
由Sm=43,得2m=44,此方程没有正整数解;
若an=(﹣2)n﹣1,则Sm,
由Sm=43,得(﹣2)m=﹣128,解得m=7,综上,m=7.
19.(8分)(2020 江西模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S7=49,a2+a8=18.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若S3、a17、Sm成等比数列,求S3m.
【解题思路】(1)先由题设条件求出等差数列{an}的基本量a1,d,再求出其通项公式;
(2)由S3、a17、Sm成等比数列求出m,再代入前n项和公式求出S3m.
【解答过程】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵Sn为等差数列{an}的前n项和,S7=49,a2+a8=18,
∴ ,解得:d=2.∴an=a4+(n﹣4)d=2n﹣1.
(2)由(1)知:S.
∵S3、a17、Sm成等比数列,∴S3Sm=a172,即9m2=332,解得m=11.故S3m=S33=332=1089.
20.(8分)(2021秋 鼓楼区校级月考)已知数列{an}满足a1=3,a2=5,且.
(1)设bn=an+1﹣an,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)若数列{an}满足,求实数m的取值范围.
【解题思路】(1)将条件化为2an+2﹣2an+1=an+1﹣an,即bn+1bn,从而证得数列{bn}是等比数列;
(2)求得数列{bn}的通项,由累加法求得数列{an}的通项,并根据单调性求得参数取值范围.
【解答过程】(1)证明:由题知,2an+2﹣2an+1=an+1﹣an,即bn+1bn,且b1=a2﹣a1=5﹣3=2,
则数列{bn}是以2为首项,为公比的等比数列.
(2)解:由(1)知bn=an+1﹣an,
则当n≥2时,其前n﹣1项和Sn﹣1=a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1=an﹣a14,
则an=7,n≥2,且a1=3也满足通项,
则由指数函数单调性知,an=77,
若满足,则m≥7,即实数m的取值范围是[7,+∞).
21.(8分)(2021 唐山二模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=24,S10=120.
(1)求Sn;
(2)记数列的前n项和为Tn,证明:Tn.
【解题思路】(1)利用S4=24,S10=120,求出数列的首项与公差,然后求解数列的和.
(2)化简数列的通项公式,利用裂项消项法求解数列的和,然后证明不等式即可.
【解答过程】(1)解:设等差数列的公差为d,S4=24,S10=120,
可得4a1+6d=24;10a1+45d=120,解得a1=3,d=2,所以Sn=2n+n2.
(2)证明:,
所以Tn .
所以:Tn.
22.(8分)(2021春 房山区期末)已知等比数列{an}满足a1=1,a5a2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn;
(Ⅲ)比较Sn与2的大小,并说明理由.
【解题思路】(Ⅰ)利用等比数列通项公式列方程,求出q,由此能求出数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)利用等比数列前n项和公式能求出数列{an}的前n项和.
(Ⅲ)由Sn=2,,得到Sn<2.
【解答过程】解:(Ⅰ)∵等比数列{an}满足a1=1,a5a2,
∴,解得q,
∴数列{an}的通项公式an.
(Ⅱ)数列{an}的前n项和:Sn2.
(Ⅲ)∵Sn=2,,∴Sn<2