3.2.1 函数的基本性质(单调性与最值)讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

3.2 函数的基本性质
3.2.1 函数的单调性与最值
知识点1 函数的单调性
(1)单调函数的定义：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上任意两个自变量、，当时：
若，那么就说函数在区间上是增函数；
若，那么就说函数在区间上是减函数；
注：上述式子也可描述为：
对于区间上任意两个自变量、，有()
时，称函数在区间上是增函数；
对于区间上任意两个自变量、，有()
时，称函数在区间上是减函数.
函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量，对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．
增函数 减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
若函数在区间上是增函数(或减函数)，则称函数在区间上单调递增(或单调递减)，区间叫做的单调递增区间(或单调递减区间)；(切记：函数的同类单调区间(即同为增区间或减区间)不能取并集，一般用“，”隔开或用“和”字连接.)
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间断端点，书写时就必须去掉端点，因此。书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，需开则开”。
知识点2 一些常见函数的单调性
函数 图象 参数范围 单调区间或单调性
一次函数 单调递增区间
单调递减区间
二次函数 单调递减区间； 单调递增区间.
单调递增区间； 单调递减区间.
反比例函数 单调递减区间和
单调递增区间和
指数函数 (且) 单调递减区间为
单调递增区间为
对数函数 (且) 单调递减区间为
单调递增区间为
幂函数 在上递减
没有单调性
在上递增
正弦函数 单调递增区间 单调递减区间
余弦函数 单调递减区间 ； 单调递增区间
正切函数 单调递增区间
知识点3 一些函数的单调性常用的结论
①与+单调性相同。(为常数)
②若，则与单调性相同；若，则与单调性相反；
③在公共定义域内，函数与，单调性相反；
④在公共定义域内，函数与单调性相同；
⑤若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数．
更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减．
1、函数单调性的判断方法
(1)定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
(2)性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有
①为增函数， ②为增函数，
③为减函数， ④为减函数。
(3)图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.
2、函数单调性的应用
(1)比较大小．比大小常用的方法是利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。
注：一般三个数比较大小使用中间量法(一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0)再结合函数的图像判断大小。
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
解抽象函数不等式问题(如)的一般步骤：
第一步：(定性) 确定函数在给定区间上的单调性；
第二步：(转化) 将函数不等式转化为的形式；
第三步：(去) 运用函数的单调性去掉函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；
第四步：(求解) 解不等式或不等式组确定解集；
第五步：(反思) 反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．
(3)利用函数单调性求参数的取值范围．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②二次函数的单调性与开口和对称轴(对称轴左右两侧单调性相反)有关。
③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求，如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，
注：“单调区间”与“在区间上单调”的区分
(1)函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．
(2)单调区间是完整的区间，在区间上单调可能只是部分单调区间．
3、求函数最值(值域)的五种常用方法及注意点
(1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值；
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
注：
①求函数的最值时，应先确定函数的定义域；
②求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．　
考点一 函数的单调性的判断
(一)利用图象确定函数的单调区间
【例1-1-1】(多选)如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递减的是( )
A． B． C． D．
【例1-1-2】已知函数的图象关于原点对称，且当时，，画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
变式1-1-2-1：已知函数．
(1)画出的图象，并根据图象写出的递增区间和递减区间；
(2)当时，求函数的最小值，并求y取最小值时x的值．(结果保留根号)
变式1-1-2-2：已知函数，.
(1)求方程的解集；
(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；
(3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
(二)定义法判断或证明函数的单调性
【例1-2】已知函数
(1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；
(2)若，求函数的最大值和最小值.
变式1-2-1：已知函数(常数).
(1)当时，用定义证明在区间上是严格增函数；
(2)令，设在区间上的最小值为，求的表达式.
变式1-2-2：已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
(三)求复合函数的单调区间
【例1-3】函数的单调减区间为__________．
变式1-3-1：函数的单调递增区间为___________.
变式1-3-2：求函数的定义域、值域与单调区间；
变式1-3-3：求函数的单调递增区间.
变式1-3-4：函数的单调递减区间为______．
考点二 函数单调性的应用
(一)利用单调性比较大小
【例2-1】已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
变式2-1-1：函数在上是减函数，且为实数，则有( )
A． B．
C． D．
变式2-1-2：已知在区间上是增函数，且，则下列不等式中正确的是( )
A． B．
C． D．
(二)利用函数的单调性解抽象不等式
【例2-2-1】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
变式2-2-1-1：已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为( )
A．(0，1) B．(-2，1) C．(0，) D．(0，2)
变式2-2-1-2：函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是( )
A． B． C． D．
变式2-2-1-3：已知函数，则不等式的x的解集是________．
【例2-2-2】已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是( )
A． B． C． D．
变式2-2-2-1：定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是( )
A． B． C． D．
(三)利用函数的单调性求参数的取值范围
【例2-3】若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
变式2-3-1：若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．
变式2-3-2：已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
变式2-3-3：若函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是______.
变式2-3-4：已知二次函数的最大值为2，且.
(1)求的解析式；
(2)若在区间上不单调，求实数m的取值范围.
(四)抽象函数的单调性问题
【例2-4】(多选)定义在上的函数满足，当时，，则满足( )
A． B．是偶函数
C．在上有最大值 D．的解集为
变式2-4-1：已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
变式2-4-2：已知函数对任意的m，都有，且时，．
(1)求的值：
(2)证明在R上为增函数；
(3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：．
变式2-4-3：已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；
(1)求证：；
(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；
(3)解不等式
考点三 函数的最值
(一)利用函数单调性求最值
【例3-1】函数在区间上的最大值为( )
A． B． C． D．
变式3-1-1：已知函数，且，，则函数的值域是______.
变式3-1-2：已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.
变式3-1-3：已知函数．
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
(2)求在区间上的值域．
变式3-1-4：为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米()，公司甲的整体报价为y元．
(1)试求y关于x的函数解析式；
(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
(二)根据函数最值求参数
【例3-2】已知在上的最大值为M，最小值为m，若，则______．
变式3-2-1：已知函数，其中，若函数的定义域和值域均为，则实数的值为______．
变式3-2-2：已知函数在上的最大值为3，最小值为．
(1)求的解析式；
(2)若，使得，求实数m的取值范围．
变式3-2-3：设函数若存在最小值，a的取值范围___________.
变式3-2-4：已知函数，若是的最大值，则实数t的取值范围是______．
(三)函数不等式的恒(能)成立问题
【例3-3】若命题“，成立”是真命题，则实数a的取值范围是________
变式3-3-1：设函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．
变式3-3-2：已知函数.
(1)请判断函数在和内的单调性，并证明在的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.