人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列---性质》名师课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
复习引入
等差数列
每一项与它前一项的差等于同一个常数.
.
. . . . .
等差数列各项对应的点都在同一条直线上.
人教A版同步教材名师课件
等差数列
---等差数列的性质
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解等差数列的概念 数学抽象
掌握等差数列通项公式的求法 数学运算
理解等差数列与一次函数的关系 直观想象
学习目标
学习目标:
1.掌握等差数列的有关性质.
2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.
学科核心素养:
1.通过等差数列性质的学习,体现了数学运算素养.
2.借助等差数列的实际应用,培养学生的数学建模及数学运算素养.
看下面三个等差数列:
(1);
(2);
(3).
相等,不是巧合．
仍然相等．
1．你能计算出每个数列中与的值吗？
2．各个数列中与的值有怎样的数量关系？这种关系是巧合吗？
3．如果换为与呢？
探究新知
探究新知
在等差数列中,为公差,若,且,则有何关系？并请同学们证明结论.
证明
又
又
等差数列的性质
在等差数列中,由
上面的命题中的等式两边有相同数目的项,如成立吗？
探究新知
(其中)
说明
1.等差数列中项与序号的关系
(1)两项关系
(2)多项关系
若
则
特别地,若
探究新知
2.等差数列的项的对称性
文字 叙述 在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和
符号 表示 为偶数
为奇数
探究新知
3.由等差数列构成的新等差数列
(1)条件
分别是公差为的等差数列
(2)结论　
数列 结论
公差为的等差数列(为任一常数)
公差为的等差数列(为任一常数)
公差为的等差数列(为常数,)
公差为的等差数列(为常数)
探究新知
4.等差数列的单调性
等差数列{}的公差为,
(1)当时,数列为_____数列.
(2)当时,数列为_____数列.
(3)当时,数列为___数列.
递增
递减
常
探究新知
例1、①在等差数列中,已知,则等于( 　 )
A. B. C. D.
②已知是两个等差数列,其中且,那么的值为( 　 )
A B. C. D.
③若为等差数列,,求.
典例讲解
①由 ,即得.
所以,
所以.
②由于都是等差数列,所以也是等差数列,
而,
所以是常数列,故.
解析
B
B
典例讲解
③方法一:设等差数列的公差为,
因为,
所以,解得,
所以.
例1、①在等差数列中,已知,则等于( 　 )
A. B. C. D.
②已知是两个等差数列,其中且,那么的值为( 　 )
A B. C. D.
③若为等差数列,,求.
B
B
解析
典例讲解
方法二:因为为等差数列,所以也为等差数列.
设其公差为,则为首项,为第项,
所以,即,解得.
所以.
方法三:因为,所以,
所以.
例1、①在等差数列中,已知,则等于( 　 )
A. B. C. D.
②已知是两个等差数列,其中且,那么的值为( 　 )
A B. C. D.
③若为等差数列,,求.
B
B
等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件,列出关于的方程(组),确定,然后求其他量.
(2)利用性质巧解,观察等差数列中项的序号,若满足,则.
特别提醒:递增等差数列,递减等差数列,解题时要注意数列的单调性对取值的限制.
方法归纳
因为,所以
解得或,
因为,所以或,
所以,
或.
变式训练
1.在等差数列中,,且. 求通项.
解析
设这三数为,
则,①
,②,
由①②解得:(舍去),
所以这三个数为.
典例讲解
例2、(2019·龙岩高二检测)设三个数成单调递减的等差数列,三个数的和为,三个数的积为,求这三个数.
三个数成等差数列,可设这三个数为.
思路探究
解析
设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为
此时公差为.
(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为
此时公差为.
(3)等差数列的通项可设为
方法归纳
设四个数为,
则,
又递增数列,所以解得,
此等差数列为或.
变式训练
2.已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为,首尾两数之积比中间两数之积少,求此等差数列.
解析
依题意,等差数列各项都为正数,
所以所以.
当且仅当时等号成立.
典例讲解
例3、(2020·濮阳高二检测)已知各项都为正数的等差数列中,则的最大值为________.
解析
利用等差数列的性质、均值不等式取最值.
思路探究
例4、(2020·潍坊高二检测)《周髀算经》中有一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为 (　　)
A.12.5尺 B.10.5尺 C.15.5尺 D.9.5尺
典例讲解
设此等差数列的公差为,则,
,解得.
C
解析
1.解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.
(2)利用通项公式,得到一个以首项和公差为未知数的方程或不等式.
(3)利用函数或不等式的有关方法解决.
方法归纳
2.解决等差数列实际应用问题的步骤
方法归纳
特别提醒:在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
3.若关于的方程和的
个根可组成首项为的等差数列,则的值为(　　)　
A.38 B. C. D.
变式训练
判断各个根对应数列的项数.因为每个方程的两个根的和都为1,
故必有一个方程的根为.不妨设方程的根为
为等差数列的首项, 为等差数列4项中的某一项,
由的两根和为1,且两根为等差数列中的后3项中的两项,
知只有为第4项,才能满足中间两项之和为1的条件,
所以四根的排列顺序为,所以
解析
D
4.古代中国数学辉煌灿烂,在《张邱建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何 ”则该问题中未到三人共得金________斤.
变式训练
设十人得金按等级依次设为
则成等差数列,且
设等差数列的公差为,
则解得,
所以.
解析
素养提炼
1.等差数列中项与序号的关系
(1)两项关系
(2)多项关系
若
则
特别地,若
素养提炼
2.等差数列的项的对称性
文字 叙述 在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和
符号 表示 为偶数
为奇数
素养提炼
3.由等差数列构成的新等差数列
(1)条件
分别是公差为的等差数列
(2)结论　
数列 结论
公差为的等差数列(为任一常数)
公差为的等差数列(为任一常数)
公差为的等差数列(为常数,)
公差为的等差数列(为常数)
素养提炼
4.等差数列的单调性
等差数列{}的公差为,
(1)当时,数列为_____数列.
(2)当时,数列为_____数列.
(3)当时,数列为___数列.
递增
递减
常
1.在等差数列中,已知,则公差等于 (　　)
A. B C. D
当堂练习
2.由公差的等差数列组成一个新的数列
下列说法正确的是 (　　 )
A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为的等差数列
C.新数列是公差为的等差数列 D.新数列是公差为的等差数列
由等差数列的性质得,所以.
B
因为,所以数列是公差为的等差数列.
C
解析
解析
3.已知为等差数列,则________.
当堂练习
设这个直角三角形的三边长分别为根据勾股定理,
得,解得,
于是这个直角三角形的三边长分别是,
即这个直角三角形的三边长的比是.
因为等差数列中,,
所以.
解析
4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于________.
解析
当堂练习
因为是以为首项,为公差的等差数列,
所以.
又为项的对称数列,所以.
5.如果有穷数列(为正整数)满足条件:
,那么称其为“对称”数列.
例如数列与数列都是“对称”数列.
已知在项的“对称”数列中,是以为首项,为公差的等差数列,则________.
解析
归纳小结
1.等差数列中项与序号的关系
(1)两项关系
(2)多项关系
若
则
特别地,若
归纳小结
3.由等差数列构成的新等差数列
(1)条件
分别是公差为的等差数列
(2)结论　
数列 结论
公差为的等差数列(为任一常数)
公差为的等差数列(为任一常数)
公差为的等差数列(为常数,)
公差为的等差数列(为常数)
作 业
课本24页 习题4.2:2