人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【整合课件】4.2.1_等差数列的概念1(共22张PPT)

(共22张PPT)
§4.2.1 等差数列的概念
目标定位
【学习目标】
1．理解等差数列的定义；
2．探索并掌握等差数列的通项公式．
3．掌握等差中项的概念，深化认识并能灵活运用．
【重、难点】
重点：1.理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项
公式； 2.体会等差数列与一次函数的联系.
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.
学习目标和重难点
知识链接
答：通过给出数列任意相邻两项之间的数量关系给出数列的方法叫做递推法，其中递推公式.
什么是递推法和递推公式？
自主探究
（一）要点识记
如果一个数列从第2项起，数列的每一项与前一项的差都
等于________________，那么这个数列就叫做_________.
这个常数叫做等差数列的______，通常用字母_____表示.
同一个常数
等差数列
d
公差
等差数列的定义
获取新知
（二）数列的通项公式
等差数列的通项公式
问题1. 如何用符号表示数列是公差为d的等差数列？
答： 或
自主探究
（一）要点识记
问题2. 一个数列至少要有多少项？等差数列呢？
答：一个数列至少有1项，等差数列至少要有3项.
当三个数 a，A，b成等差数列时，A叫做a与b的等差中项.
特别地，等差数列中，从第2项起，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即2an＝an-1+an+1
新知探究
（二）数列的通项公式
问题3. 若已知等差数列{an}的首项和公差，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？
【解析】 方法1）归纳法
根据等差数列的定义，，，
，… .
∴ ，，，… ，
.
新知探究
（二）数列的通项公式
方法2）累加法
根据等差数列的定义，，，，…， ，
将以上个等式相加，得
即 ，即.
新知探究
（二）数列的通项公式
方法3）迭代法
根据等差数列的定义，
新知探究
（一）数列的表示方法
例1. 判断下列数列是否为等差数列？
（1） （2）
【解析】（1） ∵ 对任意的，
(为常数)
∴ 该数列为等差数列.
（2） ∵ 当 时，
(不是常数)
∴ 该数列不是等差数列.
新知探究
（二）数列的通项公式
【解题反思】如何判断数列是否为等差数列？
答：判断一个数列是否为等差数列，只需判断 ()或是不是一个与n无关的常数．
变式1. 已知数列：
① 48，53，58，63； ② 18，15.5，13，10.5，8.5，5；
③ 1，2，4，6，8，10，…；④ 2，2，2，2，2，….
其中是等差数列的是___________.
①②④
新知探究
（二）等差中项
例2. 在 中，若 是 的等差中项，则________.
【解析】∵ 是 的等差中项 ∴
又 ∴ ，即
新知探究
（二）数列的通项公式
【解题反思】
（1）若A是a与b的等差中项，那么它们之间有什么样的数量关系
呢？
（2）当a，A，b满足什么样的数量关系时，A是a与b的等差中项？
答：（1）若A是a与b的等差中项，则（或2A＝a＋b）．
（2）若（或2A＝a＋b），则A是a与b的等差中项.
新知探究
（二）数列的通项公式
变式2. 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等
差数列，求a，b，c的值．
【解析】∵ －1，a，b，c,7成等差数列
∴ b是－1与7的等差中项 ∴
又 a是－1与3的等差中项 ∴
c是3与7的等差中项 ∴
∴ a＝1，b＝3，c＝5.
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系
例3．(1) 求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2) 判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…中
的项？如果是，是第几项？
【解析】(1) 由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，
得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49；
(2) 由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式
为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，解得n＝100，
∴ －401是这个数列的第100项．
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（三）判断数列中的项与项数的关系
【解题反思】
（1）至少要确定 中的几项才能确定等差数列？
（2）如何判断一个数是否为某等差数列中的项？
答：（1）至少要知道其中的三项才能确定等差数列；
（2）把该数代入数列的通项公式，然后解方程，若求出的项
数是正整数，则该数就是数列中的项，否则就不是.
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（三）判断数列中的项与项数的关系
变式3 . 等差数列的第1项是11，第7项是，则它的第4项是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
B
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（三）判断数列中的项与项数的关系
例4. 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
【解析】根据题意，当出租车的行程达到4km时，乘客需支付10元. 之后，行程每增加1km，乘客所付车费就要多付1.2元.
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（三）判断数列中的项与项数的关系
为此，建立等差数列来计算4km后的车费，
则 ，.
当出租车行至14 km处时，, 乘客所需支付车费为
（元）
∴ 乘客需要支付车费元.
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（三）判断数列中的项与项数的关系
【解题反思】在什么情况下可以用等差数列的知识解决问题呢？
答：当实际问题中的数据依次成等值增加或减少时，可考虑利用等差数列方法解决．但一定要准确判断首项，项数和公差等关键问题数据．
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（四）数列的递推公式
变式4. 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5，5 km高度的气温是－17.5，求2 km，4 km，8 km高度的气温．
【解析】由题意，从地面到10 km高空，气温关于高度n (km)成等差数列. 设{an}表示自下而上n km高度的气温，则a1＝8.5，a5＝－17.5.由等差数列的通项公式，a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5
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（四）数列的递推公式
∴ an＝15－6.5n ∴ a2＝2，a4＝－11，a8＝－37
∴ 即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2，－11，－37.