人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【整合课件】4.2.1_等差数列的概念2(共21张PPT)

(共21张PPT)
§4.2.1 等差数列的概念
目标定位
【学习目标】
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律；
2．理解等差数列的性质
3．掌握等差数列的性质及其应用．
【重、难点】
重点：等差数列的性质及证明.
难点：运用等差数列定义及性质解题．
学习目标和重难点
知识链接
（1） 等差数列{an}中，对于任意正整数n，都有an＋1－an＝
________.
（2） 等差数列{an}中，对于任意正整数n，都有2an＋1－an＝
________.
d
an+2
自主探究
（一）要点识记
1. ________________ ， ______________ ；
2. 在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am＋an＝___________ ；
特别地，若m+n=2p，则am＋an＝ _____________ .
3. 若数列{an}和{kn}都是等差数列，公差分别为，则 也是等差数列，且公差为_________ ；
特别地，等差数列的奇数项和偶数项均构成等差数列，且公差为________.
ap＋aq
am＋an＝2ap
新知探究
（一）要点识记
4. 若数列和 都是等差数列，公差分别为，则
也是等差数列，且公差为______________.
特别地，（1）当 时，得 是首项为
_______，公差为__________的等差数列.
（2）当 时，得是首项为_______，公差
为_______的等差数列.
新知探究
（二）深层探究
1.（1）由am＋an＝ap＋aq 能推出 m+n=p+q吗？
（2）由m+n=p 能推出 am＋an＝ap 吗？
答：（1）当等差数列{an}是常数列时，由am＋an＝ap＋aq 不能
推出 m+n=p+q；
当等差数列{an}不是常数列时，由am＋an＝ap＋
aq 一定能推出 m+n=p+q.
（2）由m+n=p 不能推出 am＋an＝ap.
新知探究
（二）深层探究
2. 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d与一次函数有什么关系？
答：（1）当公差d＝0时，等差数列是常函数，不是一次函数；
（2）当公差d≠0时，等差数列是关于n的一次函数，且其斜率即为公差d，在y轴上的截距为a1－d．
新知探究
（二）等差数列与一次函数的关系
3. 若数列{an}的通项公式是一次函数an＝pn＋q，其中p、q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
答：取数列{an}中任意两项an和an－1(n>1)，则an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝p．显然，这是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列．
将一次函数变形为等差数列通项公式的形式为：an＝pn＋q＝(q＋p)＋(n－1)p，所以该数列的首项a1＝p＋q，公差d＝p.
新知探究
（三）等差数列的单调性
4. 根据等差数列与一次函数的关系，你能根据等差数列的通项
公式an＝a1＋(n－1)d判断它的单调性吗？
答： 当 时，数列为常数列；
当 时，数列为递增数列；
当 时，数列为递减数列．
新知探究
（一）等差数列通项公式的推广
【解析】由题意，该数列的公差
∴
例1. 若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
变式1. 等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于
(　　)
A．2 B．20 C．100 D．不确定
A
新知探究
（三）等差数列的单调性
例2. 已知递增的等差数列{an}满足，则
________
【解析】由得，
即 ，解得
又 {an}是递增数列， ∴ ，
∴
新知探究
例3. 已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，
则a3＋a15＝_______.
【解析】∵ a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13 ∴ a9＝117
∴ a3＋a15＝a9＋a9＝234.
234
变式3.已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，则a3＋a9＝_____.
【解析】由等差数列的性质，知a2＋a10＝2a6，又a2＋a6＋a10＝1.
∴ 3a6＝1，a6＝ ∴ a3＋a9＝2a6＝.
（四）1. 等差数列的项与序号的关系
新知探究
例4. 设数列 ，都是等差数列，若
，则_______.
【解析】两个等差数列的和数列仍为等差数列．
设两等差数列组成的和数列为{cn}，
则{cn}为等差数列且c1＝7，c3＝21，
∴ c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.
35
（四）3. 等差数列的其他性质
新知探究
（一）等差数列通项公式的推广
问题1. 若已知等差数列{an}中的第m项am和公差d，如何表示通
项an？
【解析】设等差数列的首项为 a1，则 am＝a1＋(m－1)d，
得 a1＝am－(m－1)d，
∴ an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d
＝am＋(n－m)d.
新知探究
（一）等差数列通项公式的推广
（1）等差数列通项公式的推广： an＝am＋(n－m)d；
（2）由任意两项和公差： .
【获取新知】
新知探究
（二）等差数列与一次函数的关系
问题2.（1） 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d与一次函数有什么关系？
【解析】（1）∵ 数列是关于序号n的函数，为此将数列的通项公式变形为关于n的函数：.
显然，当 时， 是关于序号n的一次函数，其图象是直线上一系列孤立的点，d为该直线的斜率，a1－d是该直线在y轴上的截距.
新知探究
（二）等差数列与一次函数的关系
（2）若数列{an}的通项公式是一次函数an＝pn＋q，其中p、q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
答：取数列{an}中任意两项an和an－1(n>1)，则an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝p．显然，这是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列．
将一次函数变形为等差数列通项公式的形式为：an＝pn＋q＝(q＋p)＋(n－1)p，所以该数列的首项a1＝p＋q，公差d＝p.
新知探究
（1）当公差d＝0时，等差数列是常函数，不是一次函数；
（2）当公差d≠0时，等差数列是关于n的一次函数，且其斜率即
为公差d，在y轴上的截距为a1－d．
【获取新知】
（二）等差数列与一次函数的关系
新知探究
（三）等差数列的单调性
问题3. 根据等差数列与一次函数的关系，你能根据等差数列的
通项公式an＝a1＋(n－1)d判断它的单调性吗？
答： 当 时，数列为常数列；
当 时，数列为递增数列；
当 时，数列为递减数列．
新知探究
（四） 1.等差数列的项与序号的关系
问题4. 已知数列{an}是等差数列
（1）是否成立？呢？为什么？
（2）① 是否成立？据此你能得到
什么结论？
② 是否成立？你又能得到什
么结论？
新知探究
【获取新知】
在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am＋an＝ap＋aq .
特别地，若m+n=2p，则am＋an＝2ap .
【解题反思】
（1）由am＋an＝ap＋aq 能推出 m+n=p+q吗？
（2）由m+n=p 能推出 am＋an＝ap 吗？
（四） 1.等差数列的项与序号的关系