人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列的拓展应用》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列的拓展应用》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 904.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 14:58:36 | ||
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文档简介
《等差数列的拓展应用》教学设计
一、创设情境,引入新课
在大自然中,美无处不在,雄伟的高山,潺潺的溪流,茂密的森林.同样,数学也可以给人以美的感受.我们来看下面这个例子:如图,某仓库有一堆钢管,最上面有四根,下面每一层比它的上一层多一根,记最上层钢管数为,往下每一层的钢管数依次记为,则,.
师:假设我们把这堆钢管倒过来放置,如下图,你能从中发现什么规律吗
生:.
师:很好!本节课,我们将学习等差数列的概念和通项公式的实际应用,进而探究等差数列的性质.
设计意图:引导学生在复习旧知识的同时又联想出新的问题,进而激起学生求知的欲望.
二、讲授新课
1.利用等差数列解答实际问题
师:请同学们阅读例1(教材第16页例3).
例1 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少(为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的,设备将报废.请确定的取值范围.
学生阅读后,教师提出问题.
师:如何根据实际意义建立数列模型 题目条件中包含哪些不等关系 利用什么公式列不等式
学生回答后,教师总结.
师:这台设备使用年后的价值构成一个数列.由题意可知,10年之内(含10年),这台设备的价值应不小于万元;而10年后,这台设备的价值应小于11万元.可以利用的通项公式列不等式求解.
教师板书解答过程.
解:设使用年后,这台设备的价值为万元,则可得数列.由已知条件,得.
由于是与无关的常数,所以数列是一个公差为的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元,所以,于是.
根据题意,得即解这个不等式组,得.
所以,的取值范围为.
师:请同学们完成教材第17页练习第1题.
设计意图:通过用等差数列解决实际问题,培养学生发现问题和解决问题的能力,提高数学建模核心素养.
2.等差数列通项公式的灵活运用
师:请同学们阅读例2(教材第页例4).
例2 已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)是不是数列的项 若是,它是的第几项 若不是,说明理由.
学生阅读后,教师提出问题.
师:如何确定新的等差数列的首项和公差 判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么
学生回答后,教师总结.
师:(1)是一个确定的数列,只要把表示为中的项,就可以利用等差数列的定义得出的通项公式;
(2)设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式,由此即可判断是否为的项.
教师板书解答过程.
解:(1)设数列的公差为.
由题意可知,,于是.
因为,所以,所以.
所以.
所以,数列的通项公式是.
(2)数列的各项依次是数列的第,项,这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列,则.
令,解得.
所以,是数列的第8项.
变式问题
师:如果在中每相邻两项之间都插入个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,那么的公差是多少
师:设数列的公差为.
由题意可知,,于是.
因为,所以,所以.
师:对于第(2)小题,你还有其他解决方法吗
师:由(1)知,所以.而,令,解得.所以,是数列的第8项.
师:请同学们完成教材第18页练习第4题.
设计意图:通过典型例题的分析,使学生深入认识等差数列的本质,进一步理解等差数列的通项公式.通过变式问题培养学生的合作探究能力.
3.等差数列性质的探求
(1)通项公式的推广
师:请同学们完成下列结论的证明.
已知等差数列,公差为.
求证:.
学生代表板演.
证明:因为,所以.故.
(2)“下标”和性质
例3 (教材第17页例5)已知数列是等差数列,,且.求证:.
师:请同学们想一想如何证明这个等式.
学生回答后,教师总结.
师:只要根据等差数列的定义写出,再利用已知条件即可得证.
找一名学生板演.
证明:设数列的公差为,则
.
所以.
因为,所以.
师:例3是等差数列的一条性质,下图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗
学生回答后,教师总结:
(1)等差数列的图象是点组成的集合,这些点均匀分布在同一条直线上,所以点,在同一条直线上.
(2)设点与点的中点为,点与点的中点为.
因为,所以点与点重合,所以它们的纵坐标相等,即,所以.
(3)特别地,当时,.
师:请同学们完成下面这道练习题.
已知等差数列中,,求.
答案 方法一：根据等差数列的通项公式,得.
由题意知,,即.
所以.
方法二:根据等差数列的性质,得,
又因为,所以,所以,
所以.
设计意图:以例题形式归纳出等差数列的一条重要性质,培养学生的逻辑推理能力.引导学生从几何角度解释这一性质,培养学生直观想象的核心素养和多角度研究问题的思维品质.
三、课堂小结
1.在利用等差数列解决实际问题时,一定要弄清首项、序号等关键问题.
2.在等差数列中,若,则.
特别地,当时,.
3.在等差数列中,.
设计意图:回顾本节知识,对学生易错的地方进行强调.
四、布置作业
教材第18页练习第3,5题.
板书设计:
第2课时等差数列的拓展应用 一、创设情境,引入新课 二、讲授新课 1.利用等差数列解答实际问题 例1 2.等差数列通项公式的灵活运用 例2 3.等差数列性质的探求 (1)通项公式的推广 （2）“下标”和性质 例3 在等差数列中,若,则 特别地,当时, 三、课堂小结 四、布置作业
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一、创设情境,引入新课
在大自然中,美无处不在,雄伟的高山,潺潺的溪流,茂密的森林.同样,数学也可以给人以美的感受.我们来看下面这个例子:如图,某仓库有一堆钢管,最上面有四根,下面每一层比它的上一层多一根,记最上层钢管数为,往下每一层的钢管数依次记为,则,.
师:假设我们把这堆钢管倒过来放置,如下图,你能从中发现什么规律吗
生:.
师:很好!本节课,我们将学习等差数列的概念和通项公式的实际应用,进而探究等差数列的性质.
设计意图:引导学生在复习旧知识的同时又联想出新的问题,进而激起学生求知的欲望.
二、讲授新课
1.利用等差数列解答实际问题
师:请同学们阅读例1(教材第16页例3).
例1 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少(为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的,设备将报废.请确定的取值范围.
学生阅读后,教师提出问题.
师:如何根据实际意义建立数列模型 题目条件中包含哪些不等关系 利用什么公式列不等式
学生回答后,教师总结.
师:这台设备使用年后的价值构成一个数列.由题意可知,10年之内(含10年),这台设备的价值应不小于万元;而10年后,这台设备的价值应小于11万元.可以利用的通项公式列不等式求解.
教师板书解答过程.
解:设使用年后,这台设备的价值为万元,则可得数列.由已知条件,得.
由于是与无关的常数,所以数列是一个公差为的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元,所以,于是.
根据题意,得即解这个不等式组,得.
所以,的取值范围为.
师:请同学们完成教材第17页练习第1题.
设计意图:通过用等差数列解决实际问题,培养学生发现问题和解决问题的能力,提高数学建模核心素养.
2.等差数列通项公式的灵活运用
师:请同学们阅读例2(教材第页例4).
例2 已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)是不是数列的项 若是,它是的第几项 若不是,说明理由.
学生阅读后,教师提出问题.
师:如何确定新的等差数列的首项和公差 判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么
学生回答后,教师总结.
师:(1)是一个确定的数列,只要把表示为中的项,就可以利用等差数列的定义得出的通项公式;
(2)设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式,由此即可判断是否为的项.
教师板书解答过程.
解:(1)设数列的公差为.
由题意可知,,于是.
因为,所以,所以.
所以.
所以,数列的通项公式是.
(2)数列的各项依次是数列的第,项,这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列,则.
令,解得.
所以,是数列的第8项.
变式问题
师:如果在中每相邻两项之间都插入个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,那么的公差是多少
师:设数列的公差为.
由题意可知,,于是.
因为,所以,所以.
师:对于第(2)小题,你还有其他解决方法吗
师:由(1)知,所以.而,令,解得.所以,是数列的第8项.
师:请同学们完成教材第18页练习第4题.
设计意图:通过典型例题的分析,使学生深入认识等差数列的本质,进一步理解等差数列的通项公式.通过变式问题培养学生的合作探究能力.
3.等差数列性质的探求
(1)通项公式的推广
师:请同学们完成下列结论的证明.
已知等差数列,公差为.
求证:.
学生代表板演.
证明:因为,所以.故.
(2)“下标”和性质
例3 (教材第17页例5)已知数列是等差数列,,且.求证:.
师:请同学们想一想如何证明这个等式.
学生回答后,教师总结.
师:只要根据等差数列的定义写出,再利用已知条件即可得证.
找一名学生板演.
证明:设数列的公差为,则
.
所以.
因为,所以.
师:例3是等差数列的一条性质,下图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗
学生回答后,教师总结:
(1)等差数列的图象是点组成的集合,这些点均匀分布在同一条直线上,所以点,在同一条直线上.
(2)设点与点的中点为,点与点的中点为.
因为,所以点与点重合,所以它们的纵坐标相等,即,所以.
(3)特别地,当时,.
师:请同学们完成下面这道练习题.
已知等差数列中,,求.
答案 方法一：根据等差数列的通项公式,得.
由题意知,,即.
所以.
方法二:根据等差数列的性质,得,
又因为,所以,所以,
所以.
设计意图:以例题形式归纳出等差数列的一条重要性质,培养学生的逻辑推理能力.引导学生从几何角度解释这一性质,培养学生直观想象的核心素养和多角度研究问题的思维品质.
三、课堂小结
1.在利用等差数列解决实际问题时,一定要弄清首项、序号等关键问题.
2.在等差数列中,若,则.
特别地,当时,.
3.在等差数列中,.
设计意图:回顾本节知识,对学生易错的地方进行强调.
四、布置作业
教材第18页练习第3,5题.
板书设计:
第2课时等差数列的拓展应用 一、创设情境,引入新课 二、讲授新课 1.利用等差数列解答实际问题 例1 2.等差数列通项公式的灵活运用 例2 3.等差数列性质的探求 (1)通项公式的推广 （2）“下标”和性质 例3 在等差数列中,若,则 特别地,当时, 三、课堂小结 四、布置作业
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