人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列及其通项公式》教学设计1
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列及其通项公式》教学设计1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 445.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 14:59:04 | ||
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文档简介
《等差数列及其通项公式》教学设计
一、创设情境,引入新知
师:上节课我们学习了数列.在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列——等差数列.
问题:请同学们观察、分析并得出答案.
(1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成,最中间是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
(2)S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48.②
(3)测量某地垂直地面方向上海拔以下的大气温度,得到从距离地面起每升高处的大气温度(单位:℃)依次为25.0,24.4,23.8,23.2,22.6.③
(4)某人向银行贷款a万元,贷款时间为年.如果个人贷款月利率为,那么按照等额本金方式还款,他从某月开始,每月应还本金万元,每月支付给银行的利息(单位:万元)依次为.④
设计意图:通过创设实际问题情境,激发学生学习探究知识的兴趣,让学生感受到等差数列在实际生活中是普遍存在的,培养学生的观察、分析、归纳能力.
二、探索研究,发现规律
师:请同学们观察以下四个数列:
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
38,40,42,44,46,48.②
25.0,24.4,23.8,23.2,22.6.③
.④
看看这些数列有什么共同特点呢？
观察、分析并得出:
对于数列①,从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于9;
对于数列②,从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于2;
对于数列③,从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于-0.6;
对于数列④,从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于.
由学生归纳概括出,以上四个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数(即:每个数列都具有相邻两项差为同一个常数的特点).
设计意图:通过对材料的观察与分析,培养学生自主研究问题与总结归纳的能力,引导学生发现等差数列的共同特点.
三、总结提炼,深入探究
1.等差数列的定义
师:对于以上几组数列,我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析的等差数列的特征,尝试着给等差数列下个定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示.对于以上四组等差数列,它们的公差依次是.
2.等差中项的定义
师:如果在与中间插入一个数,使成等差数列,那么应满足什么条件
由学生回答:因为组成了一个等差数列,所以由等差数列的定义可以知道,
所以就有.
师:由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,叫做与的等差中项.不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列中,5是3和7的等差中项,也是1和9的等差中项;9是7和11的等差中项,也是5和13的等差中项.
设计意图:让学生参与到知识的形成过程中,提升对知识间内在联系的认知,获得数学学习的成就感.
3.等差数列的通项公式
(1)公式的探求
师:对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢 这是我们接下来要学习的内容.我们是通过研究数列的第项与序号之间的关系去写出数列的通项公式的.下面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式.
由学生经过分析写出通项公式:
①这个数列的第1项是9,第2项是,第3项是,第4项是由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.
②这个数列的第1项是38,第2项是,第3项是,第4项是,由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.
③这个数列的第1项是,第2项是,第3项是,第4项是,第5项是,由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.
(4)这个数列的第1项是,第2项是,第3项是,第4项是,由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.
设计意图:导学生发现规律,并加以总结,培养学生的归纳总结能力.
师:如果任意给了一个等差数列的首项和公差,它的通项公式是什么呢
引导学生根据等差数列的定义进行归纳,可得
所以
,
,
……
由此我们可以猜想得出:以为首项,为公差的等差数列的通项公式为.也就是说,只要我们知道了等差数列的首项和公差,那么这个等差数列的通项就可以表示出来了.
设计意图:引导学生进行理性分析与推导,从而得出通项公式,培养学生的逻辑推理核心素养.
(2)从函数角度理解等差数列的通项公式
师:观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关
引导学生根据等差数列的通项公式推出:
由于,所以当时,等差数列的第项是一次函数当时的函数值,即.
师:如图,在平面直角坐标系中画出函数的图象,就得到一条斜率为,截距为的直线.在这条直线上描出点,就得到了等差数列的图象.事实上,公差的等差数列的图象是点组成的集合,这些点均匀分布在直线上.
反之,任给一次函数为常数),则构成一个等差数列,其首项为,公差为.
设计意图:引导学生动手作图,让学生尝试从函数的角度来理解等差数列,体会等差数列与函数的内在联系,培养学生的逻辑推理核心素养.
四、典例分析,应用巩固
例1 (1)已知等差数列的通项公式为,求的公差和首项;
(2)求等差数列的第20项.
分析:(1)已知等差数列的通项公式,只要根据等差数列的定义,由即可求出公差;
(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式,再利用通项公式求数列的第20项.
解:(1)当时,由的通项公式,可得.
于是.
把代入通项公式,得.
所以,的公差为,首项为3.
(2)由已知条件,得.
把代入,得.
把代入上式,得.
所以,这个数列的第20项是.
例2 是不是等差数列的项 如果是,是第几项
分析:先求出数列的通项公式,它是一个关于的方程,再看是否能使这个方程有正整数解.
解:由,得这个数列的通项公式为.
令,
解这个关于的方程,得.
所以,是这个数列的项,是第100项.
师评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于(独立的量有3个)的方程.另外,要会利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,就是要看求出的序号是否是正整数.如果是正整数,那么该数就是数列的第项;如果不是正整数,那么该数就不是数列中的项.
设计意图:帮助学生学以致用,将所学知识应用到具体的题目中去,加深对等差数列概念和通项公式的理解.培养学生数学运算的核心素养.
五、课堂小结
1.等差数列的定义.
2.等差中项的定义.
3.等差数列的通项公式.
说明:以学习小组为单位,在学习小组中,各自归纳自己对这堂课的收获,然后由小组代表总结归纳.
设计意图:学生自已小结,使学生对所学知识有更深刻的认识.培养学生的数学抽象核心素养.
六、布置作业
教材第15页练习第1~5题.
板书设计:
第1课时 等差数列及其通项公式 一、创设情境,引入新知 二、探索研究,发现规律 三、总结提炼,深入探究 1.等差数列的定义 2.等差中项的定义 3.等差数列的通项公式 (1)公式的探求 (2)从函数角度理解等差数列的通项公式 ,所以当时,等差数列的第项是一次函数当时的函数值,即 四、典例分析,应用巩固 例1 例2 五、课堂小结 六、布置作业
教学研讨:
本教学设计由生活中的数列模型,如北京天坛圜丘坛地面上铺的石板的数目、女装上衣的尺码、大气温度随海拔高度的变化、贷款利息的计算等问题引入,进而提出有待探索的问题,这有助于发挥学生学习的主动性.在探索的过程中,学生通过分析、观察,逐步抽象概括得出等差数列的概念,强化了由具体到抽象,由特殊到一般的思维过程.
本节课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出,引导分析细致、到位、适度.如:引导学生建立通项公式与一次函数的联系,利用函数这一已经掌握的概念,来“同化”等差数列的概念,体现函数思想;还有让学生经历列表、画图象的过程,从“形”的角度,感受函数与数列的联系;此外,用方程的思想指导等差数列基本量的运算等等.学生在经历过程中,加深了对概念的理解和巩固.
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一、创设情境,引入新知
师:上节课我们学习了数列.在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列——等差数列.
问题:请同学们观察、分析并得出答案.
(1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成,最中间是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
(2)S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48.②
(3)测量某地垂直地面方向上海拔以下的大气温度,得到从距离地面起每升高处的大气温度(单位:℃)依次为25.0,24.4,23.8,23.2,22.6.③
(4)某人向银行贷款a万元,贷款时间为年.如果个人贷款月利率为,那么按照等额本金方式还款,他从某月开始,每月应还本金万元,每月支付给银行的利息(单位:万元)依次为.④
设计意图:通过创设实际问题情境,激发学生学习探究知识的兴趣,让学生感受到等差数列在实际生活中是普遍存在的,培养学生的观察、分析、归纳能力.
二、探索研究,发现规律
师:请同学们观察以下四个数列:
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
38,40,42,44,46,48.②
25.0,24.4,23.8,23.2,22.6.③
.④
看看这些数列有什么共同特点呢？
观察、分析并得出:
对于数列①,从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于9;
对于数列②,从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于2;
对于数列③,从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于-0.6;
对于数列④,从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于.
由学生归纳概括出,以上四个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数(即:每个数列都具有相邻两项差为同一个常数的特点).
设计意图:通过对材料的观察与分析,培养学生自主研究问题与总结归纳的能力,引导学生发现等差数列的共同特点.
三、总结提炼,深入探究
1.等差数列的定义
师:对于以上几组数列,我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析的等差数列的特征,尝试着给等差数列下个定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示.对于以上四组等差数列,它们的公差依次是.
2.等差中项的定义
师:如果在与中间插入一个数,使成等差数列,那么应满足什么条件
由学生回答:因为组成了一个等差数列,所以由等差数列的定义可以知道,
所以就有.
师:由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,叫做与的等差中项.不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列中,5是3和7的等差中项,也是1和9的等差中项;9是7和11的等差中项,也是5和13的等差中项.
设计意图:让学生参与到知识的形成过程中,提升对知识间内在联系的认知,获得数学学习的成就感.
3.等差数列的通项公式
(1)公式的探求
师:对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢 这是我们接下来要学习的内容.我们是通过研究数列的第项与序号之间的关系去写出数列的通项公式的.下面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式.
由学生经过分析写出通项公式:
①这个数列的第1项是9,第2项是,第3项是,第4项是由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.
②这个数列的第1项是38,第2项是,第3项是,第4项是,由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.
③这个数列的第1项是,第2项是,第3项是,第4项是,第5项是,由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.
(4)这个数列的第1项是,第2项是,第3项是,第4项是,由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.
设计意图:导学生发现规律,并加以总结,培养学生的归纳总结能力.
师:如果任意给了一个等差数列的首项和公差,它的通项公式是什么呢
引导学生根据等差数列的定义进行归纳,可得
所以
,
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……
由此我们可以猜想得出:以为首项,为公差的等差数列的通项公式为.也就是说,只要我们知道了等差数列的首项和公差,那么这个等差数列的通项就可以表示出来了.
设计意图:引导学生进行理性分析与推导,从而得出通项公式,培养学生的逻辑推理核心素养.
(2)从函数角度理解等差数列的通项公式
师:观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关
引导学生根据等差数列的通项公式推出:
由于,所以当时,等差数列的第项是一次函数当时的函数值,即.
师:如图,在平面直角坐标系中画出函数的图象,就得到一条斜率为,截距为的直线.在这条直线上描出点,就得到了等差数列的图象.事实上,公差的等差数列的图象是点组成的集合,这些点均匀分布在直线上.
反之,任给一次函数为常数),则构成一个等差数列,其首项为,公差为.
设计意图:引导学生动手作图,让学生尝试从函数的角度来理解等差数列,体会等差数列与函数的内在联系,培养学生的逻辑推理核心素养.
四、典例分析,应用巩固
例1 (1)已知等差数列的通项公式为,求的公差和首项;
(2)求等差数列的第20项.
分析:(1)已知等差数列的通项公式,只要根据等差数列的定义,由即可求出公差;
(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式,再利用通项公式求数列的第20项.
解:(1)当时,由的通项公式,可得.
于是.
把代入通项公式,得.
所以,的公差为,首项为3.
(2)由已知条件,得.
把代入,得.
把代入上式,得.
所以,这个数列的第20项是.
例2 是不是等差数列的项 如果是,是第几项
分析:先求出数列的通项公式,它是一个关于的方程,再看是否能使这个方程有正整数解.
解:由,得这个数列的通项公式为.
令,
解这个关于的方程,得.
所以,是这个数列的项,是第100项.
师评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于(独立的量有3个)的方程.另外,要会利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,就是要看求出的序号是否是正整数.如果是正整数,那么该数就是数列的第项;如果不是正整数,那么该数就不是数列中的项.
设计意图:帮助学生学以致用,将所学知识应用到具体的题目中去,加深对等差数列概念和通项公式的理解.培养学生数学运算的核心素养.
五、课堂小结
1.等差数列的定义.
2.等差中项的定义.
3.等差数列的通项公式.
说明:以学习小组为单位,在学习小组中,各自归纳自己对这堂课的收获,然后由小组代表总结归纳.
设计意图:学生自已小结,使学生对所学知识有更深刻的认识.培养学生的数学抽象核心素养.
六、布置作业
教材第15页练习第1~5题.
板书设计:
第1课时 等差数列及其通项公式 一、创设情境,引入新知 二、探索研究,发现规律 三、总结提炼,深入探究 1.等差数列的定义 2.等差中项的定义 3.等差数列的通项公式 (1)公式的探求 (2)从函数角度理解等差数列的通项公式 ,所以当时,等差数列的第项是一次函数当时的函数值,即 四、典例分析,应用巩固 例1 例2 五、课堂小结 六、布置作业
教学研讨:
本教学设计由生活中的数列模型,如北京天坛圜丘坛地面上铺的石板的数目、女装上衣的尺码、大气温度随海拔高度的变化、贷款利息的计算等问题引入,进而提出有待探索的问题,这有助于发挥学生学习的主动性.在探索的过程中,学生通过分析、观察,逐步抽象概括得出等差数列的概念,强化了由具体到抽象,由特殊到一般的思维过程.
本节课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出,引导分析细致、到位、适度.如:引导学生建立通项公式与一次函数的联系,利用函数这一已经掌握的概念,来“同化”等差数列的概念,体现函数思想;还有让学生经历列表、画图象的过程,从“形”的角度,感受函数与数列的联系;此外,用方程的思想指导等差数列基本量的运算等等.学生在经历过程中,加深了对概念的理解和巩固.
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