人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列课时2》教学设计

《等差数列》教学设计
课时2等差数列的性质及应用
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
等差数列的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 【考查内容】 1.等差数列中基本量的计算(知三求二),通常涉及用性质解决等差数列的片段求和等问题 2.求等差数列前n项和的最值 3.依据求与等差数列相关的递推数列的求和问题(如裂项相消求和、分组求和及倒序相加求和) 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
等差数列的性质及应用 逻辑推理 数学运算
等差数列的前n项和公式 逻辑推理 数学运算
等差数列前n项和公式的应用 数学建模 数学运算
一、本节内容分析
本节内容是对等差数列及其前n项和公式的初步探究,主要介绍等差数列的概念、性质及应用;等差数列前n项和公式的性质及应用,这些内容是等差数列的核心知识.通过本节的学习,学生能够通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题,体会等差数列与一元一次函数的关系.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.等差数列的概念 2.等差数列的性质及应用 3.等差数列的前n项和公式 4.等差数列前n项和公式的应用 数学运算 数学建模 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
在学习本节内容之前,学生已经学习了数列的概念以及表示方法,所以学习本节等差数列是有知识基础的,但是本节知识作为高考数学深入探究考查的一个重点,大部分学生还是会对等差数列的性质应用以及前n项和公式的推导及应用等方面有难度,不仅包括理解上的难度,也有计算上的难度.对前n项和公式的推导上也存在逻辑推理的困难.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.等差数列的概念
2.等差数列的性质及应用
3.等差数列的前n项和公式
4.等差数列前n项和公式的应用
【教学目标设计】
1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义,达到数学运算核心素养水平.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并利用等差数列的性质解决相应的问题,达到数学建模核心素养水平.
3.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系,达到逻辑推理核心素养水平.
4.能在具体的问题情境中利用数列的前n项和公式的性质解决相应的数学问题,达到数学建模核心素养水平.
【教学策略设计】
因为等差数列问题在日常生活中有大量的应用,如存款利息,每日温差等与人们生活关系密切的现实问题,人们解决许多实际问题也需要有关数列的知识.实际教学中可以利用教材中的实际案例作为教学引入,引导学生注意观察数字或图形的变化特征,锻炼逻辑推理核心素养,充分发挥学生自主探究学习的能动性,实现情境教学、先学后教的教学策略,提高学生自主探究的能力,对等差数列及其前n项和有深入的理解和灵活的掌握.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,学会用公式解决一些实际问题,体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系.
难点:
1.概括通项公式推导过程中体现出的数学思维方法.
2.等差数列前n项和公式推导思路的获得.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,这节课我们继续学习等差数列,上课之前,大家先来听一下这个例子:某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少,经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.请问老师刚才叙述的这个例子是数列吗 它是一种什么数列
生:等差数列
师:很好!那这里边的数列首项是多少 公差又是用谁表示的
生:首项是220万元,公差是d.
师:对,那我们借助这个题来复习下上节课内容,同时也引出我们今天课上要学的重点.上一节课我们知道在等差数列的通项公式中四个基本量,已知其三可求一,如果这个例子不是求值,而是求其取值范围,又该怎么去做呢
【设情境 巧激趣】
在日常生活实例中,思考其中蕴含的数学知识,将等差数列的通项公式运用在实例中,激发学生兴趣,引出课题.
教学精讲
【典型例题】
等差数列的性质及应用
例1 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少,经验表明,每经过一年其价值就会减少(为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的,设备将报废.请确定的取值范围.
【学生积极思考,合作交流,回答问题,教师指定学生回答解题思路】
师:经过刚才的讨论,我们明确解决此题的关键还是把通项公式表示出来.一个关键问题,这里面的公差怎么处理 是加还是减
生:是减,因为是逐年递减.
师:很好.那么本题我们列出通项公式,购进价的等于11,则需要怎样列不等式确定的范围
生:也就是
师:很好.最后还需要注意一点就是题目上对的限制,要求的是正常数,那我们求得的在正数领域内的范围即可,若要求的是正整数,则答案还需再精确化!
师:同学们,此题我们利用了通项公式的作用去解决问题,但其中渗透了一个等差数列的常见性质,即单调性.
【少教精教】
指定学生讲解思路,通过学生自己由实际问题确定解题思路,列出不等式组,教师少教,提示关键信息,让学生自主探究等差数列的性质,以达到精教的目的.
【要点知识】
等差数列的单调性
师:既然数列是一种特殊函数,自然数列也是有单调性的,利用公差的正负,我们可以确定数列的单调性,反过来,已知数列的单调性,我们也可以确定公差的范围.我们再来看一道和公差相关的问题.
【深度学习】
教师将相关的知识用框图形式展示,可以使学生加深对等差数列单调性的理解,也可以使学生形成用框图总结的思维习惯.
【典型例题】
等差数列的性质及应用
例2 已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)是不是数列的项 若是,它是的第几项 若不是,说明理由.
师:在这个问题中,有两个等差数列和,它们的公差一样大吗 有怎样的关系
【学生阅读教材,积极思考,交流探讨,教师组织学生同桌或小组间讨论】
师:数列的公差是8,在数列中每相邻两项间都插入3个数构成新的等差数列,那么数列的公差是数列的公差的几倍
生:4倍.
师:如果数列的公差是,在其中插入个数,那么数列的公差是多少
生:.
师:很好!有了首项和公差,那么数列就可以表示了.另外第(2)问就是通项公式的一个简单应用,求某一项的项数,每位同学都必须要掌握,可以尝试用不同方法去解题.
【学生独立计算,教师巡视指导做题情况】
【简单问题解决能力】
在不熟悉的问题情境中,学生选择、提取相关的知识,运用数学策略,解决问题,得到新的等差数列,加深理解,培养简单问题解决能力.
师:事实上,我们可以在一个等差数列的基础中衍生出很多等差数列.
【要点知识】
常见的等差数列
注:①若分别是公差为的等差数列,则数列是常数)是公差为的等差数列.②等差数列的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列.如成等差数列.
【意义学习】
教师将规律性较强的内容知识用框图形式展示,可以使学生加深对等差数列性质的理解.记住常见的等差数列,也可以使学生更快地找到解题思路和方法.
师:那么等差数列还具有哪些自己特有的性质呢 可以从等差中项的角度,使其更具有普遍性.我们一起来看一下这道题目.
【典型例题】
等差数列的性质及应用
例3 已知数列是等差数列,,且.求证.
【教师引导学生积极思考,动手演算证明,并予以鼓励和肯定】
师:这道题关键是写出各项通项公式,再根据要求,列出等式,最后证明出结论.
【典例解析】
等差数列的性质及应用
证明:设数列的公差为,则.所以.因为,所以.
师:由这道题目,我们其实还可以得到等差数列的一条性质,可以假设一种情境,画出上题中数列的图象.
【典例解析】
等差数列的性质及应用
师:类比于等差中项的概念,若,则横坐标和是否共用一个中点横坐标 而它们的纵坐标是否也共用了一个中点纵坐标 所以和函数的图象特征相联系,这又是哪一条性质呢
【设情境 巧引入】
由问题引导出要学习的内容,由新的问题,再从问题中导出等差数列的性质,最后由教师总结出相应的做题方法和具体策略,让学生对等差数列性质印象更深,运用更好.
【概括理解能力】
分析题目条件,在熟悉情境中,运用解题方法计算得到新的性质规律,锻炼学生的概括理解能力.
【要点知识】
等差数列的对称性
有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项,则等于中间项的2倍),即(其中为奇数且).
若是任意等差数列,我们也可以单独分析数列中的局部,则有:若,则.特别地,若,则,.
师:根据所学我们来进行巩固练习.
【巩固练习】
等差数列的性质及应用
1.某体育场一角看台的座位是这样排列的:第1排有15个座位,从第2排起每一排都比前一排多2个座位.你能用表示第排的座位数吗 第10排有多少个座位
2.画出数列的图象,并求通过图象上所有点的直线的斜率.
3.在等差数列中,,且,求.
4.已知数列都是等差数列,公差分别为,数列满足.
(1)数列是否是等差数列 若是,证明你的结论;若不是,请说明理由.
(2)若的公差都等于,求数列的通项公式.
5.已知一个无穷等差数列的首项为,公差为.
(1)将数列中的前项去掉,其余各项组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗 如果是,它的首项和公差分别是多少
(2)取出数列中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗 如果是,它的首项和公差分别是多少
(3)取出数列中所有序号为7的倍数的项,组成一个新的数列,它是等差数列吗 你能根据得到的结论作出一个猜想吗
【分析计算能力】
能够在熟悉的数学问题情境中直接应用数学知识进行列式、计算解决问题.通过巩固练习加深对知识的理解,锻炼分析计算能力.
师:好的,同学们,本节课我们主要学了等差数列的性质及应用.下面请同学具体帮我们回忆一下,本节课的重点概念.
【学生回忆、总结,教师完善】
【课堂小结】
等差数列的性质及应用
1.等差数列的单调性
2.在已知等差数列的基础上构造新的等差数列.
3.等差数列的对称性.
师:很好!通过本节课的学习,还是要加深一点,就是等差数列和一次函数的区别和联系,会利用等差数列的性质去解决相关问题.在数列的第一节课中我们还铺垫了数列前n项和的概念,那么等差数列的前n项和具体是怎样的 有哪些计算特点 我们下节课再去探讨.
【设计意图】
教师引导学生自主总结当堂课重点内容,培养学生对学习内容自主整理复习的意识和习惯,提升了推测解释、简单问题解决能力和数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
等差数列的通项公式和前项和公式本身具有很多性质,有关通项公式和前项和公式的应用问题解法角度会有多个,解决问题需应对解题策略方法有所选择.
应用所学知识,完成下面各题:
1.若数列为等差数列,求.
思路:本题通过等差数列的概念和性质来求解通项公式.
解析:方法一:令数列的首项为,公差为,则即解得
方法二:∵,∴.
方法三:∵为等差数列,,∴解得.
方法四:∵为等差数列,∴为等差数列,
∴,又.
【设计意图】
教师引导学生整理知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提高学生的学科能力,提升核心素养.
2.等差数列的前项和为,若.
(1)求公差的取值范围;
(2)为何值时,最大,并说明理由.
思路:本题通过利用等差数列的前项和性质求基本量的取值范围和最值.
解析:(1)由
又由,得,代入不等式组,∴解得.
(2)方法一:由(1)知:且数列是递减数列,由得即中最后一个正数项是开始为负数项,∴当时,最大.
方法二:由(1)知:且数列是递减数列,若要最大,需确定数列中最后一个非负数项是第几项.由,即,由,即,∴中最后一个正数项是开始为负数项,∴当时,最大.
方法三:,
∵当最小时,有最大值,
∴当时,,
∴当时,最小,即最大.
方法四:是等差数列,故设,如图所示.
∵,∴抛物线与轴的另一个交点在与之间.
∴对称轴的位置在6与之间,
易知对应的点与对称轴的距离比对应的点与对称轴的距离要近,故为最高点,最大.
【分析计算能力】
本题为已知等差数列的某两项,来求解通项公式,通过4种不同的方法分析计算.培养学生的类比、分析计算能力.
【简单问题解决能力】
本题为等差数列前n项和的性质及应用,求解公差的取值范围利用的公式即可.求解的最大值,需利用通项公式法和二次函数法提高学生的简单问题解决能力.
教学反思
学完本节,我们应该理解等差数列的概念,理解其通项公式的含义,并能够利用通项公式解决生活中的一些数列问题;理解并掌握等差数列的性质,从函数角度出发的单调性以及从图象出发的对称性,可以在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能利用其性质去证明一些等量关系;需要理解前n项和的推导过程,理解倒序相加法,掌握前n项和的三种公式,当利用二次函数的性质求最值时,需要注意n为正整数.
【以学定教】
理解等差数列的概念、通项公式、前n项和公式以及其性质和应用,能够通过数学知识在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
根据学生学习等差数列概念及性质与应用等知识的实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.
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