福建省三明市教研联盟校2023届高三上学期期中联考数学试题（Word版含答案）

三明市教研联盟校2023届高三上学期期中联考
数学试卷
总分：150分考试时间：2022年11月11日下午15：00-17：00
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知是虚数单位，，则“复数为纯虚数”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.同时具有以下性质：“①最小正周期是：②在区间上是增函数”的一个函数是（ ）
A. B.
C. D.
4.一般气象学上定义：用24小时内降水在平地上的积水厚度来判断降雨程度.其中小雨，中雨，大雨暴雨.如图，用一个圆锥形容器接了24小时雨水，则这天降雨等级大致为（ ）
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
5.将1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为先减后增数列的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是.若经过200天，则“进步”的值大约是“退步”的值的（ ）（参考数据：）
A.45倍 B.50倍 C.55倍 D.60倍
7.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.是数列中的最大值
C. D.数列无最大值
8.对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分）
9.下列说法正确的有（ ）
A.若事件与事件互斥，则事件与事件对立
B.若随机变量，则方差
C.若随机变量，则
D.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和
10.已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A.的最大值为
B.存在，使得
C.若，则
D.若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
11.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.三棱柱的体积为
B.平面
C.与平面所成角为
D.点到平面的距离为
12.意大利数学家列昂纳多.斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，15题第一空2分，第二空3分，共20分）
13.已知，则的值为__________.
14.将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，则的最小值是__________.
15.已知函数，若存在互不相等的实数使则（1）实数的取值范围为__________；（2）的取值范围是__________.
16.如图，已知三棱柱，底面是边长为的等边三角形，在底面的射影是的中心，且为的中点，在线段上且，过点作三棱柱的截面，若交于点，则三棱锥外接球的表面积是__________.
四 解答题（本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）
17.已知数列的前项和为，满足，且是与的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.已知函数，其中
（1）若函数的单调减区间为，求实数的值；
（2）若，已知曲线在点处的切线与轴的交点为，求的最小值.
19.如图，在中，为内一点，.
（1）若，求；
（2）若，求.
20.如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求二面角的正弦值.
21.中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车 电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.
（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望.
①参考数据：；
②参考公式：（i）线性回归方程：，其中；
（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强.
（iii），其中.附表：
22.已知函数与函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若与轴有两不同的交点，求证：与共有三个不同的交点.
三明市教研联盟校2023届高三上学期期中联考
数学
参考答案
一 单选题
1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D
8.当时，不等式成立；当时，，
令，
令，则是上的增函数且，
当时，此时递减，时，此时递增.
故的最小值为，令，则，
故是增函数，的最大值为，故，
综上所述，
二 多选题
9.BCD 10.ABD 11.BC 12.BCD
12.对于A选项，因为，类似的有，
累加得，故选项A错误.
对于B选项，因为，类似的有，
累加得，故选项B正确.
对于C选项，因为斐波那契数列总满足，
所以，
类似的有，，累加得，
由题知，故选项C正确.
对于D选项，可知扇形面积，
故，故选项D正确.
三 填空题
13. 14. 15. 16.
16.
如图1可得为的中点.
如图2：可得，且三棱锥的外接球与三棱锥的外接球相同
又平面球心到平面的距离
在中，由余弦定理可求得，再由正弦定理可求得外接圆半径
表面积为：
四 解答题
17.解：（1）因为是与的等差中项，，
所以当时，，两式相减可得，即
又因为当时，，
因此满足上式，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列，
（2），
.
18.解：（1）因为，若函数的单调减区间为
所以的解集为，
所以与1是方程的两个根，
所以，解得.
（2）因为，
所以，则，而，
故曲线在的切线方程为：
，
它与轴的交点为，故，
故，其中，
设，则，
当时，时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以是极小值点，也是最小值点，
故，即的最小值为13.
19.（1）
又
在中，由余弦定理得
.
（2）设，由已知得，
在中，由正弦定理得，
化简得
20.解：（1）证明：设，连接，在菱形中，为中点，且，
因为，所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）法1：作平面，以为轴，建立空间直角坐标系，
易知，则，
因为，所以为二面角的平面角，
所以，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则
取，则，所以，
设平面的法向量为，
则
取，则，所以，
设二面角为，则，
所以.
法2：几何法求解参照以上分数分配酌情给分.
21.（1）相关系数为
故与线性相关较强.
（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，
即购买电动汽车与车主性别无关.-
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于.
（3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为故
故的分布列为：
0 1 2
22.解：（1）即
若则不等式恒成立
若由得
令
在单调递增，在单调递减
即的取值范围是
（2）若曲线与轴有两不同的交点，
即函数有两个不同的零点，不妨设.且由（1）可得到
，则，即，同理由得
从而两条曲线与至少有两个交点
下面证明这两条曲线还有一个交点：
令，则
令
关于单调递增，
存在，使在递减，在递增，
又
有两个零点，不妨设，
令，即有且只有两个极值点.
从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
又
若，则，又由得矛盾
同理且.
又故
故在间存在唯一的使得
即两条曲线与还有一个交点
所以若曲线与轴有两不同的交点，
则两条曲线与共有三个不同的交点.