数学人教A版（2019）必修第二册8.6.3平面与平面垂直（共49张ppt）

(共49张PPT)
复习：直线与平面垂直的判定定理
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.
P
m
n
l
α
线线垂直 线面垂直
关键：找X
数学人教版 必修二
8.6 .3 平面与平面的垂直
猜谜语：
一头纤细直，
一头圆又尖，
砌房修墙好帮手。
（打一物品）
大家知道重锤线的理论根据是什么吗？
它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。
一 、 二面角及二面角的平面角的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分都叫做一个半平面.
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
1. 半平面——
2. 二面角——
l
α
l
棱
面
3.二面角的表示方法
l


A
B


二面角 －AB－


l
二面角 － l－
二面角C－AB－ D
A
B
C
D
5
3.二面角的表示方法
3个条件：
3）角的边都要垂直于二面角的棱
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
以二面角的棱上 任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
10


l
O
A
B


A
O
B
4.二面角的平面角
5.二面角的平面角的范围
[0。,180。]
6.直二面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
O
A
B
例:已知，如图所示锐二面角α-l-β，A为面α内一点，A到β的距离为2 ，A到l的距离为4. 求二面角α-l-β的大小.
解：连接BC,∠ACB是二面角α-l-β的平面角
所以sin∠ACB===
∴∠ACB=60°
C
利用平面角求二面角大小的步骤：
（1)作二面角的平面角
（2)证明该角为平面角
（3)归纳到三角形求值
简记：一作、二证、三求解
例：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，
且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．
解：∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
∴PA⊥BC
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC
又∵PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC
又PC在平面PAC内，∴PC⊥BC
又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角
由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形∴∠PCA=45°，
即二面角P-BC-A的大小是45°
1.定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，
就说这两个平面互相垂直.
二、平面与平面垂直
画法：两个平行四边形的一组边画成垂直
例：如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝ a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a. 求证：平面ABD⊥平面BCD.
解：取BD中点M,连接AM,
CM则∠AMC为二面角A-BD-C的平面角，
AM=CM= ,
在△AMC中，AC=a,AM +CM =AC ，
∴∠AMC=90°即二面角为直二面角，
∴平面ABD⊥平面BCD
总结：用定义证明两个平面垂直的步骤
利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：
①找出两个相交平面的平面角；
②证明这个平面角是直角；
③根据定义，这两个平面互相垂直．
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝______.
动一动，想一想
1．如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC.
求二面角E -BD -C的大小．
重锤线的理论根据是呢？
为什么能通过重锤线
来判断墙面是否垂直于地面呢？
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
α
β
a
A
线面垂直 则面面垂直
符号:
符号语言：
b
面面垂直
线面垂直
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
a α
a⊥l
练习二：如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
证明：平面AB1C⊥平面A1BC1
证明：∵四边形BCC1B1为梯形，∴BC1⊥B1C,又已知B1C⊥A1B,
A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1,又∵B1C在平面AB1C内，
∴平面AB1C⊥A1BC1
练习三：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.
证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图，因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD中点，所以BG⊥AD。又因为BG∩PG=G，所以AD⊥平面PGB。因为PB属于平面PGB，所以AD⊥PB。
（2）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD
如图设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF//PB.在菱形ABCD中GB//DE而EF属于平面DEF，DE属于平面DEF，EF∩DE=E，所以平面DEF//平面PGB，由（1）得AD⊥平面PGB，而AD属于平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD
规律方法 证明两两垂直常用的方法：
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直.
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
练习四：如图PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：AB⊥BC
证明：如图过点A作AD⊥PB于点D,
∵平面PAB垂直平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB
AD在平面PAB内∴AD⊥平面PBC又∵BC在平面PBC内
∴AD⊥BC又∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC内
∴BC⊥PA又∵AD∩PA=A∴BC⊥平面PAB,
又∵AB在平面PAB内∴BC⊥AB
，
探究二：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α有什么位置关系？
证明：我们知道，过一点只能做一条直线与已知平面垂直，因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合。如图，设α∩β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理，b⊥β，因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此a在α内。
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面_ 垂直_______
符号语言 a⊥l(a α) _a⊥β_______
图形语言
作用 ①面面垂直 线面垂直
②作面的垂线
平面与平面垂直的性质定理
例五：如图，已知平面α垂直平面β，直线a⊥β，a不在α内，判断a与α的位置关系。
解：在α内作垂直于α与β的直线b
∵α⊥β，∴b⊥β
又a⊥β∴a//b
又a不在α内
∴a//α
即直线a与平面α平行
例六：如图，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：BC⊥平面PAB
证明：如图，过点A作AE⊥PB,垂足为E
∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC
∴AE⊥平面PBC
∵BC在平面PBC内∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC内
∴PA⊥BC又PA∩AE=A
∴BC⊥平面PAB
例七：如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
证明（1）连接BD，如图，在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°∴△ABD为正三角形又∵G是AD的中点∴BG⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BG在平面ABCD内，∴BG⊥平面PAD
（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD
由（1）知BG⊥AD∴AD⊥平面PBG∴AD⊥PB
总结：应用面面垂直的性质定理，应注意三点：
①两个平面垂直是前提条件；
②直线必须在其中一个平面内；
③直线必须垂直于它们的交线.
一、如图所示，四棱锥P-ABCD是菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD。证明：平面PBE⊥平面PAB
课堂小验
证明：如图，连接BD,由四边形ABCD是菱形，且∠BCD=60°，知△BCD是
等边三角形。因为E是CD的中点，∴BE⊥CD，又AB//CD所以BE⊥AB
又因为PA⊥平面ABCD，BE在平面ABCD内，所以PA垂直BE
又PA∩AB=A，因此BE垂直平面PAB又BE在平面PBE内，
所以平面PBE⊥平面PAB
二、在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD垂直平面ABCD
证明：AB⊥平面VAD
证明：由于面VAD是正三角形设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD则VE⊥AB，又面ABCD是正方形，则AB⊥AD故AB面VAD。
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