辽宁省抚顺市六校协作体2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

高三考试数学试卷
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式、数列、三角函数与解三角形、平面向量与复数、立体几何与空间向量.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 复数的实部为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，为边上的中线，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为，高为，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在正三棱柱中，，分别是棱，的中点，若异面直线与所成的角是，则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是（ ）
A. B. C. D.
8. 对任意的正实数，，恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 一个锐角三角形的三边长为，，，则，，的值可能为（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列判断错误的是（ ）
A. 的图象关于轴对称 B. 的最小正周期是
C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递减
11. 已知函数（为整数），若，则的值可能是（ ）
A. －3 B. 0 C. 1 D. 5
12. 如图，在长方体中，，，分别是棱，的中点，点在侧面内，且，则三棱锥外接球表面积的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 已知复数满足，则_________.
14. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将正自然数中，能被3除余1且被2除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则_________.
15. 在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，写出一个满足条件的的值：_________.
16. 函数的最小值为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在等比数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（12分）
已知函数，的部分图象如图所示.
（1）求，的值；
（2）试问正弦曲线经过怎样的变换可以得到曲线？
19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面，，，，.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）
“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形的麦田里成为守望者.如图所示，为了分割麦田，他将，连接，经测量知，.
（1）霍尔顿发现无论多长，都为一个定值，请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（2）霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.
21.（12分）
如图，菱形的边长为2，，为的中点.将沿折起，使到达，连接，，得到四棱锥.
（1）证明：.
（2）当二面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
22.（12分）
已知函数.
（1）讨论在上的单调性；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围.
高三考试数学试卷参考答案
1. C 由题意可得，，则.
2. A 因为.
3. A 由题意可得，则由，得，即.由，即，得.故“”是“”的充要条件.
4. D ∵，∴.
5. D 因为.
6. D 设杯中水的高度为，则，解得，则，当时，.故当时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为.
7. B 如图，取的中点，连接，，易证，则是异面直线与所成的角，即.由正三棱柱的性质可知平面，则平面.设三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则，即，从而三棱柱的侧面积，其表面积，故.
8. C 依题意得.因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以，则的最小值为.
9. AD 因为，，，，所以选A，D.
10. ABD 由图可知，的图象关于直线对称，所以的最小正周期，所以，则.由五点作图法可知，所以，所以.将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则，则A，B错误.令，，解得，，当时，，则C正确.令，，解得，，则D错误.
11. ACD 设，则，所以.因为，所以.因为为整数，所以为偶数，则为奇数.
12. BCD 如图，连接，，，易证四边形是平行四边形，则点在线段上.取的中点，连接，，分别取，的中点，，连接，易知三棱锥外接球的球心在直线上，连接，，，.设三棱锥外接球的半径为，则.因为，所以，，所以，所以.则当与重合时，，此时三棱锥外接球的半径取得最小值；当与重合时，，此时三棱锥外接球的半径取得最大值.故三棱锥外接球表面积的取值范围是.
13. 设，则，所以，所以，解得，故，.
14. 115 由题意可得，是以1为首项，6为公差的等差数列，所以，.
15. 1（答案不唯一，只要即可） 因为，，所以点到直线的距离，解得.
16. （考生写，都不扣分） .令，设，则.当时，；当时，.
所以.
易证函数的最小值为，所以方程有解，故的最小值为.
17. 解：（1）设等比数列的公比为，因为，
所以，则，
又，所以，
故.
（2）
.
18. 解：（1）依题意可得，
，即，
则，即，
因为，所以.
（2）由（1）知.
正弦曲线的横坐标不变，将纵坐标变为原来的倍，得到曲线.
（方法一）得到的曲线的纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，得到曲线，
再将所得曲线向右平移个单位长度，得到曲线.
（方法二）将得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，
所得曲线各点的纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，得到曲线.
19. 解：（1）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为.
（2），设平面的法向量为，
则，即，
令，得.
易知是平面的一个法向量，
由，
得平面与平面夹角的余弦值为.
20.（1）证明：设，在中，由余弦定理得，
同理，在中，有，
所以，即，
所以.
（2）解：因为，
，
所以.
由（1）知，代入上式得，
化简得.
设，在中应满足，
在中应满足，所以.
由，得，
因为，所以，
所以当时，.
21.（1）证明：在菱形中，因为为的中点，，所以，
在翻折过程中，恒有，，
又，所以平面，
而平面，所以.
（2）解：由（1）知为二面角的平面角，记其为，则.
以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则
，，，，
设平面的法向量为，
则，得，
令，得.
，则.
令，，得，
，
当且仅当时，等号成立.
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
22. 解：（1）因为，所以.
当时，由，得；由，得.
则在上单调递减，在上单调递增.
当时，由，得；由，得.
则在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，即等价于恒成立.
设，则.
设，则.
设，则.
由，得，所以在上单调递增，
则，即，故在上单调递增.
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则.
故，即的取值范围是.